ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАЙТХИЛЛА ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ИРРЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF A SINGULARLY PERTURBED EQUATION TYPE LIGHTHILL FIRST ORDER WITH AN IRREGULAR SINGULAR POINT

Makhabat Narmatova

candidate of Physics and Mathematics. Sciences, Kyrgyz-Russian Slavic University

them. B. Yeltsin,

Kyrgyzstan, Bishkek

Bekzhan Temirov

doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В статье методом сращивания строится главная асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения типа Лайтхилла первого порядка с иррегулярной особой точкой.

ABSTRACT

In the article the method of matching asymptotic solution is constructed main singularly perturbed type Lighthill first order with an irregular singular point.

Ключевые слова: сингулярно-возмущенное уравнение; асимптотика решения; иррегулярная особая точка.

Keywords: singularly perturbed equation; asymptotic behavior of solutions; irregular singular point.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим задачу Коши для сингулярно- возмущенного уравнения типа Лайтхилла вида:

,                (1)

,                                                           (2)

где: – малый параметр, – заданная постоянная,

 –независимая переменная, – неизвестная функция,

Определение 1. Если , то для невозмущенного уравнения (1)  

(3)

Точка  является иррегулярной особой точкой. Далее будем предполагать, что

                                                        (4)

т. е. – представляется в виде:

                                         (5)

Тогда решение задачи (3) представляется в виде:

(6)

где:

Выражение (6) можно представить в виде:

,                                   (7)

где:  

. Далее, пусть

Отметим, что к задаче типа (1) сводятся многие задачи физики и техники, в частности, задача о построении периодического решения релаксационных колебаний нелинейной механики [3] в окрестности точки срыва. Кэррэр [5] изложил общую идею исследования таких задач методом малого параметра и метода Лайтхилла на конкретных примерах.

2. Построение внешнего решения.

Определение 2. Переменная  называется внешней переменной задачи (1), а решение, зависящее от нее внешним решением.

Внешнее решение ищется в виде:

 (8)

где:  – пока неопределённые функции.

Подставляя (8) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , для неизвестных функций  имеем уравнения:

              (9.1)

(9.2)

(9.n)

Эти задачи имеют единственные решения и определяются последовательно следующими формулами:

(10.k)

При  получим

Отсюда, с учетом (7) имеем

                     (11.1)

Подставляя это выражение в (10.2) и решая его получим

                          (11.2)

где:  – некоторая постоянная.

Далее, методом полной математической индукции доказывается, что

 (11.n)

где: – постоянные.

Поэтому главную асимптотику внешнего решения (8) можно представить в виде:

(12)

Из этой формулы следует, что внешнее решение сохраняет асимптотический характер на отрезке , где  – решение уравнения

                                                       (13)

Решая это уравнение получим:

 (13^*)

Таким образом, доказано.

Теорема 1. Пусть 1) ; 2)

Тогда внешнее решение задачи (1) – (2) представимо в виде (8) и оно является асимптотическим рядом на отрезке , где -определяется из (13).

3. Внутренне-внутреннее решение.

Теперь в (1) сделаем следующее промежуточное преобразование:

                            (14)

где: . После подстановки (14) в (1) получим уравнение:

(15)

Решение этого уравнения можно искать по степеням , тогда невозмущенное уравнение имеет вид:

Общее решение этого уравнения представляется в виде:

,                      (16)

где: c – постоянная интегрирования.

Экспоненциальное решение этого уравнения имеет асимптотику:

,                                             (16^*)

Это решение должно сращиваться с главной асимптотикой внешнего решения, т. е.

,                                   (17)

Из первого выражения (16) следует, что если , тогда  Если , то сращивания невозможно.

Очевидно, что второе условие (17) эквивалентно условию (13).

Из (16) и (16^*) имеем:

                                (18.1)

,                                 (18.2)

Теперь, чтобы получить решение задачи (1) – (2) в точке , мы введем внутреннюю переменную  которая изменяется около нуля, через замену переменных:

, ,                            (19)

Тогда уравнение (1) имеет вид:

 или

Теперь  выберем из условия

Тогда предыдущее уравнение примет вид:

 (20)

невозмущенное  уравнение (19) имеет вид:

Отсюда получим  (21)

где: – постоянная сращивания. Сращивая (21) с (18.2) с учетом (19) имеем:

Следовательно,

Следовательно, . Таким образом, доказано.

Теорема 2. Пусть выполнено условие теоремы 1. Тогда решение задачи (1) – (2) существует на отрезке  и .

Список литературы:

1. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. – М.: Наука.1989. – 334 с.
2. Мищенко Е.Ф., Розов И.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. – М.: Наука, 1975. – 248 с.
3. Нарматова М.Ж. Об асимптотике решения сингулярно-возмущенного уравнения типа Лайтхилла первого порядка с иррегулярной особой точкой. Современное общество, образование и наука: сб. науч. тр. по мат-лам Междунар. науч.-практ. конф. 31 марта 2015 г.: Часть 1. Тамбов, 2015, С. 106–110.
4. Коул Дж. Методы возмущений в механике и жидкости. – М.: Мир.1972. – 76 с.
5. Carrier G.F. Boundary layes problems in applied mathematics // Comm. Appl.Math. 1954. – V. 7 – P. 11–17.