ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

INVESTIGATION OF SOLUTIONS OF PARTIAL OPERATOR-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF DERIVED HIGH ORDER

Aizharkyn Ashirbaeva

doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of Department of Applied mathematics, Osh technological university named after the M. Adyshev,

Kyrgyzstan, Osh

Elmira Mamaziaeva

a senior lecturer Applied Mathematics, Osh technological university named after the M. Adyshev,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Предложена общая схема исследования нелинейных дифференциальных и интегро–дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка на основе метода дополнительного аргумента

ABSTRACT

A scheme to investigate nonlinear partial differential and integro-differential equations on the base of the method of additional argument is proposed.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, нелинейное уравнение, операторно-дифференциальное уравнение, метод дополнительного аргумента, принцип сжимающих отображений.

Keywords: partial differential equation, operator-differential equation, method of additional argument, contracting mappings principle.

Введение

В [1] рассмотрено решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента.

Основы метода дополнительного аргумента систематически изложены в монографии М.И. Иманалиева [2].

Постановка задачи.

Рассматривается нелинейное операторно–дифференциальное уравнение в частных производных вида:

где: n,mÎN, TÎR₊₊ – некоторое заданное число,

такой оператор, что при любой функции u возникает функция, зависящая только от t. Для строгости в определениях операторов будем записывать: функция каких переменных получается; на функцию скольких переменных действует оператор (по аналогии с записью интегралов); связанные переменные в этой функции. Например:

F(t;u(t,x):x)=1+ u(t, ½); G(t;u(s,x):s,x)=t² + u(¼, ½ );

H(u(s,x):s,x) =  (если интеграл сходится).

В частности, если n=m=1, то операторно-дифференциальное уравнение (1) принимает вид (с краткой записью производных):

Обозначим через – класс функций, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до к-го порядка.

Рассмотрим уравнение (1) с начальными условиями:

 (2)

где: заданные функции  такие что, для них выполняются следующие условия (3)

,                                                   (4)

Введем следующие обозначения

           (5)

Представим основные этапы применения метода дополнительного аргумента в виде лемм. При этом будем пользоваться обозначением:

                                   (6)

Исследуется решение задачи (1) – (5) в пространстве функций  Заметим, что для всякой функции  имеет место соотношение u(t,x)ÎLip(L|_x), поскольку производная u_x(t,x) ограничена.

Основные результаты.

Лемма 1. Для справедливо тождество

                     (7)

Доказательство. Из (7) имеем следующее:

Обозначим  

Тогда имеем:

Переписываем эту оценку в виде

                                (8)

Из интегрального неравенства (8) для неотрицательной функции, в котором переменные  играют роль параметров, вытекает тождество

и справедливость (7).

Введя обозначение  в (6) имеем

                                            (9)

Если имеет место равенство

                                                   (10)

то из (9) вытекает соотношение

.                                                (11)

Будем использовать стандартное обозначение метода дополнительного аргумента:

Введем оператор

(12)

Лемма 2. Если имеют место равенства (10),

(13)

                                                   (14)

то функция является решением задачи (1) – (5), и наоборот.

Доказательство. Обозначая через

запишем уравнение (1) в виде

.                                (15)

Введем функции  

Тогда уравнение (14) принимает вид:

                                     (16)

Уравнение (16) с условиями (2) – (5) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению интегро-дифференциального уравнения

.                                      (17₁)

В самом деле, дифференцируя уравнение (17₁), получаем уравнение (16).

Полагая  в (17₁), получаем

Если функция  – решение уравнения

,                             (17₂)

то она является решением задачи (17₁), (2), (3), (4), (5).

Дифференцируя уравнение (17₂) по t и по x, получаем справедливость интегро-дифференциального уравнения (17₁).

Продолжая этот процесс, предположим, что  

является решением следующего уравнения:

Покажем, что функция

                                (17_m)

удовлетворяет интегральному уравнению

и начальным условиям (2) – (5).

В этом можем убедиться, дифференцируя (17_m) по t и x.

Таким образом, введя функции , из (15) вывели (17_m).

 Обратно, применяя m раз оператор  для уравнения (17_m), получаем справедливость (15), (2), (3), (4),(5).

Теперь из (17_m) выведем (13). Для этого введем дополнительные функции:

Тогда уравнение (17_m) принимает вид:

. (18)

Уравнение (18) с условиями (2)-(5) с помощью метода дополнительного аргумента сводится к решению интегрального уравнения

.             (19₁)

В самом деле, дифференцируя (19₁), получаем

.

В силу (11) доказано выполнение (18). Полагая t=0 в (19₁),

получаем

Если функция – решение уравнения

, (19₂)

то она является решением уравнения (19₁) с условиями (2) – (5).

Дифференцируя (19₂) по t и по x, получаем

В силу (11) доказана справедливость (19₁).

Продолжая этот процесс, предположим, что

 (19_n-1)

является решением следующего уравнения:

Покажем, что уравнение (13) удовлетворяет интегральному уравнению (19_n-1) и начальным условиям (2) – (5).

Из (13) имеем

Следовательно, в силу (11) доказано выполнение (19_n-1).

В (14) при t=0 имеем: .

Таким образом, введя функции , из (1) вывели (14).

Обратно, применяя n раз оператор  для уравнения (14), получаем справедливость (17_m), (2), (3),(4).

Лемма доказана.

Лемма 3. Функция  являющаяся при

0£ t £ T*£ T решением интегрального уравнения (13), будет удовлетворять (10), а функция , определенная согласно (14), удовлетворяет (11).

Доказательство. Пусть  обращает интегральное уравнение (13) в тождество. Непосредственным дифференцированием из (13) выводится тождество

,

где:

Из тождества следует равенство . Отсюда следует (9). Полагая t=t в (3), из Леммы 2 получаем (11). Лемма доказана.

Лемма 4. Если 1) оператор F – непрерывный по первой переменной;

2) он удовлетворяет условию Липшица: существует такое L>0, что для любого T*£ T

3)  то уравнение (13) при достаточно малом T* имеет решение в  

Доказательство. Перепишем уравнение (13) в виде

                            (20)

где:

Имеем при t £ T*£ T:

где:

Далее, при t£ t £ T*£ T:

|J(t,t; v₁(s,w,x): s,w)- J(t,t;v₁(s,w,x): s,w)|=

=|A(t, p(t,t,x;v₁(s,t,x):s);v₁(s,w,x):s,w)- A(t, p(t,t,x;v₂(s,t,x):s);v₂(s,w,x): s,w)|£

где:

Таким образом, условия Леммы 4 выполняются и получаем, что уравнение (13) имеет решение в пространстве функций с нормой не более 2W₀(T*).

Лемма доказана.

Лемма 5. Если выполняются условия Леммы 4, то решение уравнения (13) при достаточно малых t имеет непрерывные производные по всем переменным.

Доказательство. Формально дифференцируя (13) по x и обозначая V₃(t,t,x)= v_x (t,t,x), получаем

Как и в доказательстве Леммы 4, доказываем, что это уравнение имеет непрерывное решение при достаточно малых t. Тогда интегрированием получаем, что функция

V(t,t,x)=v(t,t,0)+ ,                      (22)

где: v(t,t,x) – решение уравнения (13), также удовлетворяет (13), и, следовательно, совпадает с v(t,t,x). Из (22) следует дифференцируемость v(t,t,x) по x.

Формально дифференцируя (22) по t и обозначая V₂(t,t,x)= v_t (t,t,x), получаем

(23)  

Как и в доказательстве Леммы 4, доказываем, что это уравнение имеет непрерывное решение при достаточно малых t. Тогда интегрированием получаем, что функция

V(t,t,x)=x+                                       (24)

удовлетворяет (13), и, следовательно, совпадает с v(t,t,x). Из (24) следует дифференцируемость v(t,t,x) по t.

Из (6) видно, что правая часть (13) при заданной непрерывной функции v(t,t,x) дифференцируема по t. Отсюда следует дифференцируемость v(t,t,x) по t.

Лемма доказана.

Продолжая этот процесс, получаем справедливость соотношений

 для

Таким образом, по индукции, из Леммы 5 следует

Лемма 6. При наличии производных соответствующего порядка у всех функций j₀(х), y_k(x) функция v(t,t,x) имеет производные такого же порядка.

Из доказанных лемм следует

Теорема. Если выполняются условия Леммы 4, то задача (1) – (5) имеет решение в пространстве функций  для достаточно малого T*£T.

Пример. Расс мотрим частный случай уравнения (1), где оператор F(t;u) взят в виде функции, n=m=1:

с начальными условиями

Рассматриваемая задача методом дополнительного аргумента сводится к интегральному уравнению

, (*)

Используя (20), из интегрального уравнения (*) имеем

.

Отсюда получаем интегральное уравнение

.

Интегрируя по t от 0 до t, имеем:

.

Находим

.

Следовательно, решение поставленной задачи имеет вид:

Список литературы:

1. Аширбаева А.Ж., Мамазиаева Э.А. Решение нелинейного операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка методом дополнительного аргумента // Вестник Кыргызско-Российского славянского университета. – Бишкек. – 2015. – Т. 15, Вып. 5. – С. 61–64.
2. Иманалиев М.И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с частными производными. – Бишкек: Илим, 1992. – 112 с.