Статья опубликована в рамках: XLII Международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире» (Россия, г. Новосибирск, 04 мая 2016 г.)
Наука: Математика
Секция: Геометрия и топология
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
ОСНАЩЕНИЕ Э. БОРТОЛОТТИ SH – РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
EQUIPMENT E. BORTOLOTTI OF SH – DISTRIBUTION
Andrey Budylkin
Baltic federal university of I. Kant, graduate student, institute of applied mathematics and information technologies,
Russia, Kaliningrad
АННОТАЦИЯ
Построен двойственный образ SH – распределения [1]. Введено оснащение Э. Бортолотти Λ-подрасслоения. Изучение SH-распределений актуально, так как эти образы являются обобщениями специальных классов регулярных гиперполос [2; 3], гиперповерхностей и гиперполосных распределений [4]. Индексы принимают значения:
;I, J, K,…
σ,ρ,τ,…=
i, j, k,…
; α,β,γ,…
.
ABSTRACT
Built dually SH – distribution [1]. Permission equipment E. Bortolotti Λ-sub-bundle. Study of SH-relevant distributions, as these images are generalizations of the special classes of regular hyperstrips [2; 3], hypersurfaces and hyperband distribution [4]. The indices take the values:
;I, J, K,…
σ,ρ,τ,…=
i, j, k,…
; α,β,γ,…
.
Ключевые слова: распределение; тензор; квазитензор; нормализация; квазинормаль; геометрический объект.
Keywords: distribution; tensor; quasi tensor; normalization; quasi normal; geometric object.
- Двойственный образ SH – распределения
Рассмотрим SH – распределение [1], для которого плоскость L(A0) в каждом центре А0 является характеристикой H – плоскости при смещении центра вдоль кривых принадлежащих плоскости Λ(А0). В этом случае тензор
. (1)
SH – распределение при условии (1) задается уравнениями [1]:
,
(2
,
Введем в рассмотрение систему из (n+1)2 форм Пфаффа :
(3)
где:
.
Формы удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства и задают ифинитезимальные перемещения тангенциального репера
, (4)
где:
.
Докажем, что преобразование форм проективного пространства по закону (3) является инволютивным, т. е.
-1. Действительно, прежде всего из формул
согласно уравнениям (1), (3) находим
(6)
,
,
.
В силу (6) имеем
Из дифференциальных уравнений (2), записанных относительно тангенциального репера (5), с использованием (4) соответственно имеем:
(7)
(8)
Наконец, из соотношений
согласно формулам (6)-(8), находим еще две группы необходимых нам соотношений между объектами, отнесенными к различным реперам и
:
(9)
(10)
Теперь, используя соотношения (6)-(10), из формул (1),(3) получаем формулы, определяющие преобразование
(13)
Итак, из соотношений (1) и (13) получаем, что -1. Дифференциальные уравнения регулярного
– распределения, двойственного данному регулярному SН – распределению, имеют аналогичный вид (без соответствующих замыканий):
(14)
.
Таким образом, доказана
Теорема 1. Регулярное SН – распределение проективного пространства Pn во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует:
1) проективное пространство , двойственное исходному проективному пространству
относительно инволютивного преобразования
форм
по закону (3),
2) регулярное распределение ⊂
, двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (4) – (5) имеют вид (14), аналогичный уравнениям SН – распределения проективного пространства
[1].
В разных дифференциальных окрестностях можно построить поля фундаментальных и охваченных объектов двойственного многообразия ⊂
, используя те же формулы охватов. Построенные поля геометрических объектов определяют внутреннюю геометрию многообразия
⊂
, двойственную геометрии исходного SН – распределения проективного пространства
.
Двойственная теория имеет место и на оснащенном SН – распределении в . Пусть основные структурные подрасслоения SН – распределения нормализованы полями квазитензоров
В силу (2), и соотношений
убеждаемся, что функции
(15)
(16)
удовлетворяют соответственно дифференциальным уравнениям:
(17)
где:
Таким образом, всякая нормализация SН – распределения индуцирует двойственную ей нормализацию. При этом оснащающие объекты (,
), (
,
) связаны соотношениями (15) – (16).
В результате справедлива
Теорема 2. Нормализация одного из регулярных распределений ⊂
и SН ⊂
равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями (15) – (17).
В первых трех дифференциальных окрестностях мы построили (без применения теории двойственности) различные внутренние инвариантные нормализации SН – распределения проективного пространства [1]. Теперь, утверждаем: в силу двойственности теории SН – распределения, зная закон охвата объекта нормали первого (второго) рода (
) любого ассоциированного распределения с данным SН – распределением, можно построить внутренним образом определенную соответствующую нормаль второго (первого) рода
(
) рассматриваемого ассоциированного распределения по следующей схеме [3; 4]. Построим охват квазитензора
(
) двойственного образа
⊂
, аналогичный охвату
(
), после чего по закону (3) найдем соответствующую нормаль
(
). В этом случае будем говорить, что поля нормалей
и
двойственны друг другу по отношению к инволютивному преобразованию
[3].
- Инвариантное оснащение базисного Λ – подрасслоения данного SH – распределения в смысле Э. Бортолотти
Определение. Λ – подрасслоение m – мерных линейных элементов Λ(А0) данного SH – распределения, назовем оснащенным в смысле Э. Бортолотти [7], если каждому центру А0 SH – распределения поставлена в соответствие гиперплоскость Bn-1(A0), не проходящая через точку А0.
Гиперплоскость Э. Бортолотти Bn-1(A0) зададим относительно репера R1 уравнением:
(18)
Компоненты полей объектов , определяющих гиперплоскость Bn-1(A0), удовлетворяют уравнениям:
(19)
(20)
(21)
Согласно уравнениям (19) получаем, что в качестве охвата квазитензора {} можно взять квазитензор {
}, где
,
(22)
Это равносильно тому, что оснащающая гиперплоскость Bn-1(A0) проходит через первую ось Кенигса Kn-m-2(A0) = [Kα] = [] подмногообразия H(Λ) [3].
В силу соотношений (3), систему уравнений (19) – (21) представим в двойственном виде:
(23)
(24)
(25)
где: функции ,
,
, учитывая
,
имеют следующее строение
Сравнивая уравнения (23) – (25) с соответствующими уравнениями (19) – (21), видим, что оснащение в смысле Э. Бортолотти H(Λ)- подрасслоения полем гиперплоскостей определяет поле плоскостей
(A0), оснащающих в смысле Э. Картана двойственное подмногообразие
в
[8]. Это поле задается полями объектов
(важно при этом заметить, что плоскость
имеет размерность m).
Поле плоскостей определяется неоднозначно потому, что квазитензор
:
(26)
двойственный квазитензору , можно охватить не единственным образом. В частности, уравнениям (23) удовлетворяют компоненты квазитензора
, где
;
, (27)
при этом
(28)
Так как охват определяет в каждом центре первую ось Кенигса
[Kα] Λ – подрасслоения, то по двойственности охват (28) определяет (m+1) – мерную инвариантную плоскость
, содержащую в каждом центре А0 текущий элемент базисного Λ- подрасслоения: Λ(А0)⊂Km+1(А0).
Плоскость К m+1 (А0), по аналогии с плоскостью назовем второй осью Кенигса Λ- подрасслоения в его центре А0.
Плоскость Картана двойственного подмногообразия
при охвате (28) есть m – мерная плоскость Km(A0), содержащаяся во второй оси Кенигса Km+1(A0): Km(A0)
. Так как Km
и Λ(А0)
, то Km
Λ(А0) =
.
Таким образом, справедлива
Теорема 3. При охвате (28) оснащение в смысле Бортолотти Н(Λ) – подрасслоения полем гиперплоскостей Bn-1, равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа полем m – мерных плоскостей Кm, принадлежащих полю вторых осей Кенигса распределения
.
Отметим, что оснащение Λ – подрасслоения в смысле Э. Бортолотти влечет за собой его оснащение полем нормалей 2-го рода {. Обратно, если на Λ – подрасслоении задано поле нормалей 2-ого рода {
}, то такое оснащение подмногообразия Λ определяет его оснащение в смысле Э. Бортолотти, ибо в качестве одного из возможных охватов функции
можно взять:
(29)
При охвате (29) функции оснащающую гиперплоскость
(А0) назовем гиперплоскостью Кенигса нормали
.
Запишем условия неподвижности оснащающей плоскости Бортолотти:
(31)
, (32)
. (33)
Подставляя вместо функций с чертой их выражения через функции без черты, получим соотношения, равносильные (31) – (33)
(34)
(35)
, (36)
. (
Одновременное выполнение (36) и (37) является условием того что при смещении точки А0 гиперплоскость (А0) «вращается» вокруг нормали второго рода.
Покажем, что при m>1, следуя работе [3], это условие эквивалентно тому, что оснащающая гиперплоскость Бортолотти (А0) является неподвижной.
Действительно, замыкая уравнения
равносильные соотношениям (37), с исползованием условий (36) получим:
(38)
Соотношения (39), в силу линейной независимости каждой из систем форм ,
, при m>1 равносильны соотношениям (35).
Уравнения (19) в силу соотношений (36) можно переписать в следующем виде:
Замыкая полученные уравнения, с использованием условий (38), получим соотношения (34).
Теорема 4. На Λ – подрасслоении (при m>1) данного SH – распределения оснащающая гиперплоскость Э. Бортолотти (А0) неподвижна тогда и только тогда когда она «вращается» вокруг нормали второго рода Кm-1(А0)
Запишем условия (37) при К= :
Свертывая эти соотношения по индексам , найдем охват квазитензора
.
Запишем условия (36) при К = j:
Свертывая последние равенства с тензором , с учетом
,
получим:
(39)
Теорема 5. Если на регулярном Λ – подрасслоение данного SН - распределения оснащающая гиперплоскость неподвижна, то она в каждом центре А0 является плоскостью Кенигса нормали
второго рода.
Из соотношений (37) следует, что неподвижная оснащающая гиперплоскость Э. Бортолотти, то есть плоскость Кенигса нормали второго рода, определяется следующим охватом
. (40)
Таким образом, получаем, что в случае неподвижности оснащающей плоскости Э. Бортолотти на Λ – подрасслоении охваты 40 и 39, определяют одну и ту же плоскость Кенигса нормали
Определение. Λ – подрасслоение SH – распределения назовем сильно оснащенным, если оно оснащено в смысле Э. Бортолотти и Э. Картана одновременно [5].
Сильное оснащение Λ – подрасслоения влечет за собой его нормализацию. Справедливо и обратное утверждение: всякая нормализация Λ – подрасслоения в смысле Нордена – Чакмазяна индуцирует его сильное оснащение полями плоскостей Кенигса Кn-m-1 нормалей первого и второго рода соответсвенно.
Определение. Λ – подрасслоение SH – распределения назовем согласовано оснащенным, если оно сильно оснащено и при этом в каждой точке А0 оснащающие плоскости Картана Кn-m-1 и Бортолотти Bn-1 инцидентны [6].
Определяющие плоскость Картана точки:
,
принадлежат плоскости Бортолотти
тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению
Следовательно, аналитическим условием согласованности оснащения подмногообразия Λ является обращение в нуль относительного инварианта :
.
Отметим, что согласованное оснащение Λ – подрасслоения является сильным: обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Список литературы:
- Будылкин А.А. Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространства // Естественные и математические науки в современном мире / г. Новосибирск, 2015. вып. № 2 (26) –С. 24–33.
- Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространство. Учебное пособие, издание 2-ое. Изд-во БФУ им. Им. Канта, Калининград, 2011. – 122 с.
- Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий; Монография 2-е изд. / Чуваш. Ин-т, Чебоксары 1994 г. 290 с.
- Cтоляров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов. – В кн.: Проблемы геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), – М., 1975, Т. 7, С 117–151.
- Фисунов П.А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов. – Чебоксары, 1999. – 33 с. – Деп. В ВИНИТИ РАН 1999. – № 1835–В99.
- Фисунова С.В. Двойственные линейные связности на распределении гиперплоскостных элементов. // Дифференц. Геометрия многообразий фигур. – Калининград, 1999, № 30. – С. 94–97.
- Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spati; applicazione alla geometria metrica differenziale delle cngruenze di rette // Rend. Semin. Sci. Univ. Cagliari. – 1933, – V. 3, – P. 81–89.
- Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. – М., 1937. – Вып. 4. – С. 147–159.
дипломов
Оставить комментарий