ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ МЕТОДАМИ ЧАСТОТНОГО АНАЛИЗА ПО ОСТАТКАМ

ESTIMATION OF THE DISTRIBUTION OF PRIME NUMBERS METHODS OF FREQUENCY ANALYSIS OF THE REMAINDERS

Gennady Shishkin

сandidate of Science, Associate Professor of the department of physics and medical informatics, Kirov State Medical Academy,

Russia, Kirov

Andrei Shishkin

junior researcher of the laboratory of topological quantum phenomena in superconducting systems MIPT,

Russia, Dolgoprudny

АННОТАЦИЯ

В статье представлено исследование плотности распределения простых чисел на множестве нечетных чисел по остаткам при целочисленном делении. Вводится понятие условно простых чисел. Введено понятие периода для условно простых чисел.

ABSTRACT

In the article represented a study of the density of distribution of prime numbers on the set of odd numbers on the remainders with the integral division. The concept of conditionally prime numbers is entered. The concept of period is entered for conditionally prime numbers.

Ключевые слова: простые числа; условно простые числа; плотность распределения; остатки при делении.

Keywords: prime numbers; conditionally prime numbers; distribution density; remainders with the division.

Рассмотрим таблицу (рис. 1), в которой по вертикальной оси (столбцу – y) записаны нечетные числа натурального ряда, начиная с числа три. По горизонтальной оси (верхней строке – x) нечетные числа аналогично. В таблице представлены только нечетные числа, поскольку единственным простым четным числом является число два. В ячейках на пересечениях строк и столбцов определены остатки при целочисленном делении чисел по вертикальной оси на числа, расположенные по горизонтальной оси.

Рисунок 1. Таблица распределения остатков при целочисленном делении нечетных чисел

Получается треугольная таблица, содержащая остатки при целочисленном делении.

Остатки по отдельно взятым столбцам имеют строгий порядок. По строкам получается совершенно другая картина. В тех строках, что идут от простых чисел – нет нулей, кроме нулей по гипотенузе, что естественно. В строках от составных чисел в ячейках имеются нули помимо ячеек гипотенузы.

Видно, что образовались три области. Первая область имеет ступенчатый вид. Она образована по квадратам множества нечетных натуральных чисел.

Составные числа по строкам имеют суммарно в областях 1 и 2 четное количество нулей. То есть количество нулей в строке в области 1 равно количеству нулей в области 2. Объясняется просто. Рассмотрим, например, число 27. 27/3=9. В соответствующей ячейке области 1 остаток ноль. Но и 27/9=3. В соответствующей ячейке области 2 будет своего рода зеркально отображенный ноль, или сопряженный ноль. Следствие известного свойства a·b=b·a. Для квадратов нечетных чисел нули совпадают.

Из этих соображений следует, что для определения простого числа по остаткам можно обойтись областью 1.

Понятно, что особых преимуществ такой способ нахождения простых чисел не дает.

Но, с помощью закономерностей распределения остатков по ячейкам таблицы можно дать оценку плотности распределения простых чисел.

На рис. 2, в качестве примера, представлена таблица, состоящая по строкам из 120 нечетных чисел от 3 до 241. Всего 120 чисел по столбцу с указателем «№». Делители 3;5;7 указаны в верхней строке «х». В ячейках на пересечениях строк «у» и столбцов «х» указаны остатки при целочисленном делении «у»/«х».

Видно, что по делителям 3;5;7 таблица будет периодически повторяться с периодом в 3·5·7 = 105 нечетных чисел от числа 3 до числа 211. Простые числа по делителям 3;5;7 без нулей в остатках располагаются по столбцу «у» от числа 11 до числа 79 (сравни рис. 1 и рис. 2). Указанная область на рис. 2 выделена затемнением. Всего 18 простых чисел по накопительному столбцу . Остальные (от числа 81 до числа 241) будут как истинно простые, так и (назовем) условно простые по делителям 3;5;7. Например, числа 121 и 169 – условно простые по указанным делителям. Всего сумма простых и условно простых чисел в данном периоде – 48 (см. столбец ). Здесь в учет указанной суммы не вошли числа 3;5;7 по столбцу «у», как имеющие нули по диагонали таблицы рис. 2. Первым простым числом в указанном периоде является число 11 (см. столбец ).

Рисунок 2. Таблица распределения остатков при целочисленном делении нечетных чисел на делители 3;5;7

Сумму общего количества чисел и суммы простых и условно простых чисел легко определить, используя законы комбинаторики для распределения остатков по столбцам. Общее количество чисел в периоде для примера по рис. 2 будет по столбцу «y» n=3·5·7=(2m+1)!!=105 (см. столбец «№»). Сумма истинно простых и условно простых чисел определится по формуле  (см. столбец «»). В данном примере количество делителей m=3. Относительная частота простых и условно простых чисел по делителям 3;5;7 на множестве нечетных чисел от 9 до 211 будет определена как . Минус три в знаменателе учитывает факт наличия нулей в остатках по делителям для этих же чисел 3;5;7 по столбцу «y», т.е. собственно числа 3;5;7 учитывать не следует. Распределение по общему количеству простых и условно простых чисел на указанном периоде относительно равномерное.

Относительная частота истинно простых чисел по столбцу «y» от числа 9 до числа 79 по делителям 3;5;7 будет 18:36=0,500. Это несколько больше, чем найденная выше средняя плотность на периоде от 9 до 211.

Аналогично можно определить плотность распределения простых чисел по делителям 3;5;7;11, 3;5;7;11;13 и т.д. Например, для множителей 3;5;7;11;13 это будет  на периоде. Минус 6 в знаменателе учитывает факт наличия нулей в остатках по делителям для этих же чисел 3;5;7;13 по столбцу «y». В диапазоне для истинно простых чисел от 19 до 17² = 289 плотность будет 55/136 = 0,404, что также несколько больше, чем в среднем на периоде от 17 до 510511.

Общая формула оценки плотности простых чисел π(n) будет иметь вид

где: p_i – простые числа. Плотность распределения простых чисел π(n) удвоена, так как рассматривается на множестве нечетных чисел.

На рис. 3 показаны таблицы нечетных чисел по делителям 3;5;7 (рис. 3 под номерами 3.1; 3.2; 3.3) и по делителям 3;5;7;11 (рис. 3.4; 3.5; 3.6). В ячейках собственно не нулевые остатки не показаны для удобства рассмотрения. Получилась мозаика из нолей. В таблицах представлены нечетные числа по вертикальной оси «у» в первой тройке от 1 до 241, во второй тройке от 1 до 2341. На рис. 3.1 – начало таблицы, на рис. 3.2 – середина таблицы, на рис. 3.3 – конец таблицы. Рис. 3.4; 3.5; 3.6 следует рассматривать аналогично.

Период по делителям 3;5;7 будет равен 2·(3·5·7)+1 = 211. По порядковому номеру 3·5·7 = 105. Период по делителям 3;5;7;11 равен 2·(3·5·7·11)+1 = 2311. По порядковому номеру 3·5·7·11 = 1155.

На указанных таблицах можно заметить области симметрии по нулевым остаткам. На рис. 3.1; 3.2; 3.3 линия раздела симметричных областей проходит по числу 104 (№ 52). Также есть линия раздела симметричных областей в конце периода (пунктир) между числами 209 и 211. Аналогичные области имеются на рис. 3.4; 3.5; 3.6.

Рисунок 3. Две таблицы распределения нулевых остатков при целочисленном делении нечетных чисел на делители 3;5;7 и 3;5;7;11

Список литературы:

1. Ингам А.Э. Распределение простых чисел. – СПб.: Либроком, 2009. – 162 с.