ЧИСЛЕННЫЕ УСЛОВИЯ НАЛИЧИЯ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

NUMERICAL CONDITIONS OF EXISTENCE OF ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF SYSTEMS OF LINEAR DIFFERENCE EQUATIONS WITH VARIABLE COEFFICIENTS

Zhumagul Zheentaeva

сandidate of Science,

manager of chair of the Kyrgyz-Uzbek University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

По аналогии с известными результатами для решений начальных задач для линейных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием аргумента, в статье найдены достаточные численные условия наличия асимптотического разложения решений систем двух разностных уравнений на «специальное» и затухающее решения.

ABSTRACT

By analogy with well-known results for solutions of initial value problems for linear differential equations with bounded delay, sufficient numerical conditions for existence of asymptotical expansion of solutions of systems of two difference equations into “special” and fading ones.

Ключевые слова: разностное уравнение; начальная задача; асимптотика.

Keywords: difference equation; initial value problem; asymptotic.

Для решений начальной задачи для линейного дифференциального уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента, в ряде работ (см. обзор в [4; 5]) были найдены условия, когда существует такое одномерное подпространство решений (названных «специальными»), что любое решение стремится при увеличении аргумента к одному из специальных решений.

В статье [6] был построен пример, показывающий, что данное явление имеет место не всегда. В [1] нами показано, что для поиска более широких условий, когда имеет место – это явление, можно использовать численные эксперименты на компьютере.

В связи с этими результатами мы выдвинули гипотезу о том, что аналогичные результаты должны иметь место для более фундаментальных – разностных уравнений.

Еще отметим, что для решений линейных автономных эволюционных уравнений вопрос о структуре пространства решений сводится к исследованию характеристических алгебраических уравнений. Поэтому мы рассматриваем существенно неавтономные уравнения.

Будем рассматривать систему двух разностных уравнений

x_n+1= a_n x_n + b_n y_n, y_n+1= c_n x_n + d_n y_n,n=0,1,2,…(1)

с ограничениями

a_n∈A=[a_–,a₊]; b_n∈B=[b_–,b₊]; c_n∈C=[c_–,c₊]; d_n∈D=[d_–,d₊].(2)

Требуется найти условия на интервальные числа A, B, C, D, при которых существует одномерное подпространство «специальных решений».

ТЕОРЕМА 1. Если существует такое число w, что

1)  q_– := [A + B[–w,w]] _– >0; 2) |C+[–w,w]D|≤ wq_–,

то существует такое решение {X, Y}, что

(∀n∈N)( X_n ³ q_–ⁿ; |Y_n|≤ wX_n).                                         (3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим X₀=1, Y₀=0, тогда соотношения (3) выполняются при n=0. Имеем:

X₁= a₀ X₀ + b₀ Y₀ ∈AX₀ +BY₀ ∈AX₀ + B[–w,w]X₀ = (A + B[–w,w])X₀ ³ q_– X₀;

|Y₁|= |c₀ X₀ + d₀ Y₀ |∈|CX₀ + DY₀ |∈|CX₀ + D[–w,w]X₀ |=|(C + D[–w,w]) X₀ |≤

≤ w q_– X₀ ≤ q_– X₁.

Далее доказательство проводится по индукции.

Поскольку рассматривать (восьмимерное) пространство интервальных чисел A, B, C, D       слишком затруднительно, введем обозначения b:=|B|, c:=|C|, d:=|D|, тогда условия Теоремы 1 переписываются в виде 1) q_– := a_– – wb>0; 2) c+wd ≤ wq_–.

ТЕОРЕМА 2. Если 1) d<a_–; 2) (a_– – d)² >4bc, то выполняются условия 1), 2) Теоремы 1. Можно взять

 (4)

тогда .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условий 1) и 2) число  определено и поло-жительно. Проверим выполнение условия 1) Теоремы 1:

 > 0.

Проверим выполнение условия 2) Теоремы 1:

Число w является решением уравнения

Преобразуем его к виду

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 3. Если , то для любого решения {x, y} и спе-циального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1, существует предел

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем:

в скобках – определитель Казоратти (см. например [2]).

Преобразуем его к виду

в скобках – аналог определителя Вронского (см. например [3]).

Введем еще обозначение D_n := a_n d_n– b_n c_n, тогда получим, используя формулу (17) из [6, с. 550]:

 (5)

Введем еще одно обозначение  тогда из (5) следует

               (6)

Теорема доказана.

Из (6) также следует

 (7)

ТЕОРЕМА 4. Если выполняются условия Теорем 2 и 3, то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1,

                      (8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем:

Из первого уравнения (1) и из Теоремы 1 получаем:

Теорема доказана. Отсюда сразу следует

ТЕОРЕМА 5. Если выполняются условия Теорем 2 и 3 и

,                                                                    (9)

то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1, будет  

Поскольку A>0, получаем следующую оценку (неулучшаемую в рамках принятых обозначений):

                                                    (10)

Поскольку получение конкретных оценок из приведенных формул и соотношений слишком затруднительно, была написана программа с учетом вычислительной погрешности на языке pascal. Исходными данными для нее являются неотрицательные числа a_- ≤ a₊, b, c, d, и она выдает сообщения: выполняются ли условия Теоремы 2, Теоремы 3, Теоремы 5.

Например:

ТЕОРЕМА 6. Если 0.9≤ a_n ≤ 1.1, |b_n| ≤ 0.2, |c_n| ≤ 0.3, |d_n| ≤ 0.3, то система (1) имеет специальные решения и для них выполняется асимптотическое свойство Теоремы 5.

Список литературы:

1.  Жээнтаева Ж.К. Алгоритмы для экспериментального исследования асимптотики решений линейных уравнений с запаздывающим аргументом и их использование // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественно-научного образования: сборник статей Международной конференции 15–18 декабря 2014 г. – Москва: Российский университет дружбы народов, 2015. – С. 219–223.

2.  Ласунский А.В. Разностные уравнения. – Великий Новгород: Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, 2011. – 62 с.

3.  Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев, А.С. Ющенко. – Москва: Высшая школа, 1971. – 808 с.

4.  Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – Москва: Наука, 1972. – 351 с.

5.  Панков П.С. Асимптотическая конечномерность пространства решений одного класса систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 1977, том 13, № 4. – С. 455–462.

6.  Панков П.С. Пример линейного однородного дифференциального уравнения с запаздыванием, не имеющего конечномерного экспоненциально устойчивого при t →¥ пространства решений // Исследования по интегродифференциальным уравнениям. – Фрунзе: Илим, 1977. – С. 117–125.