СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ БЕЗ ИЗОЛИРОВАННЫХ ТОЧЕК В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

EXISTENCE OF NON-HOMOGENEOUS SUBSPACES WITHOUT ISOLATED POINTS IN KINEMATICAL SPACES

Adahаmjan Joraev

candidate of Science, assistant professor of Kyrgyz-Uzbek University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Приводится определение кинематического пространства. Доказано, что всякое кинематическое пространство имеет локально неоднородное подпространство без изолированных точек.

ABSTRACT

The definition of a kinematical space is cited. It is proven that every kinematical space contains a locally non-homogeneous subspace without isolated points.

Ключевые слова: кинематическое пространство; топологическое пространство; неоднородное пространство.

Keywords: kinematical space; topological space; non-homogeneous space.

Приведем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. [1]. Кинематическим пространством называется множество G точек и множество K маршрутов. Каждый маршрут M состоит из числа T_M >0 (время маршрута) и функции m_M: [0, T_M] → G (траектория маршрута). При этом:

(K1) Для любых различных z₀ и z₁ существует такое M∈K, что m_M(0) = z₀ и m_M(T_M) = z₁, и множество значений T_M для таких M ограничено снизу положительным числом (т. е. передвижение между любыми точками возможно, но сколь угодно быстрое передвижение невозможно).

(K2) Если M= {T_M, m_M(t)} ∈ K, то {T_M, m_M(T_M - t)} ∈ K (т.е. возможно движение в обратном направлении).

(K3) Если M= {T_M, m_M(t)} ∈ K и T*∈ (0, T_M), то пара: T* и функция m*(t)=m_M(t) (0 ≤ t ≤ T*) также принадлежит K (т.е. можно остановиться в любой момент).

(K4) Если {T₁, m₁(t)} ∈ K, {T₂, m₂(t)} ∈ K и m₁(T₁)=m₂(0), то пара: число T* = T₁ + T₂ и функция m*(t)= m₁(t) ( 0 ≤ t < T₁); m*(t)= m₂(t-T₁) ( T₁ ≤ t ≤ T₁+T₂)

также принадлежит K (транзитивность).

Для любой функции – траектории маршрута m_M: [0, T_M] →G множество ее значений будем называть линией.

Известно понятие однородного пространства – множества X вместе с заданным на нем транзитивным действием некоторой группы G: задана такая группа G автоморфизмов g:X→X, что для любых двух элементов x₁, x₂∈X существует такое g₁₂∈G, что g₁₂(x₁)= x₂. В этом случае любые два элемента (вместе с положением в пространстве в целом) неразличимы.

Различные обобщения этого понятия рассмотрены в [5]. Все они связаны с различными преобразованиями пространства в целом. Поэтому в [2] предложены более общие понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если две точки топологического пространства имеют гомеоморфные окрестности, то они называются локально однородными.

Соответственно, в [4] предложено

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если хотя бы две точки x₁∈X, x₂∈X не являются локально однородными, то пространство X в целом называется локально неоднородным.

Достаточные условия локальной неоднородности получены в [3] и [4] на языке кинематических пространств.

ЛЕММА 1. Для любой функции – траектории маршрута m_M : [0, T_M] → G такой, что m_M(0) ≠ m_M(T_M), существует такая функция, также траектория маршрута m*: [0, T*] → G, что для некоторых 0≤ t₁<t₂≤ T_M выполняются условия 1) m*(t)= m_M(t + t₁) (t₁≤ t ≤ t₂); 2) m*(0)= m_M(0); m*(T*)= m_M(T_M); 3) m*(t) ¹ m_M(0); m*(t) ≠m_M(T_M) (t₁< t < t₂).

Кинематическое пространство является линейно связным (без изолированных точек) метрическим топологическим пространством с метрикой

ρ_K (z₀ , z₁) = inf {T_M :M∈ K, m_M(0) = z₀ и m_M(T_M) = z₁ }.

Условия существования локально неоднородных кинематических пространств были найдены в [4; 6].

Пусть Х – линейно связное множество на плоскости R², маршруты – непрерывные отображения m отрезков в Х такие, что

||m(x₁) – m(x₂)||≤ || x₁ –x₂||.                                    (1)

Тогда Х – кинематическое пространство.

ТЕОРЕМА 1. [4]. Если 1) внутренность множества Х не пуста; 2) в кинематическом пространстве Х существуют такие точки A, B, C, D, и такая линия [AC], что любая линия [BD] имеет хотя бы одну общую точку с этой линией, то Х не является открытым множеством в R². Таким образом, Х является локально неоднородным кинематическим пространством.

В [6] этот результат обобщен на многомерный случай.

Поставим более общий вопрос: какие локально однородные топологические пространства имеют локально неоднородные подпространства?

Для этого понадобятся следующие результаты и ранее введенные нами определения [3].

ЛЕММА 2. В регулярном топологическом пространстве множество, получающееся исключением из связного замкнутого множества конечного количества точек, не может быть замкнутым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Y – связное замкнутое множество, Y’={x₁,…, x_n}⊂ Y. Предположим, что Y₀ = Y \ Y’ - замкнутое множество. По определению регулярного топологического пространства, существуют такие открытые окрестности V₁, …,V_n множества Y₀ , и U₁, …,U_n точек x₁,…, x_n соответственно, что V₁∩ U₁=∅,…, V_n∩ U_n=∅. Положим V₀ = V₁∩ …∩V_n, U₀ = U₁∩ …∩U_n.

Тогда имеем: V₀ является окрестностью множества Y₀, U₀ является ок-рестностью множества Y’, V₀ ∩ U₀=∅ . Следовательно, Y = Y₀ ∪ Y’ – несвязное множество, что противоречиво. Лемма доказана.

В связи с доказанным результатом вводится

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Множество, получающееся исключением из связного замкнутого множества конечного количества точек, будем называть конечно-почти-связно-замкнутым. Множество, получающееся исключением из связного замкнутого множества n точек, будем называть n-почти-связно-замкнутым.

ПРИМЕЧАНИЕ. Такое множество может быть, как связным, так и несвязным.

ЛЕММА 3. По заданному n-почти-связно-замкнутому множеству Y₀ исключенные точки определяются однозначно: его объединение с конечным множеством К таким, что К∩ Y₀ =∅, будет связным и замкнутым тогда и только тогда, когда множество К совпадает с множеством исключенных точек.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В обозначениях доказательства Леммы 1 обозначим Y”= К∩Y’, Z = К\ Y’, тогда Y₀ ∪K = (Y₀ ∪ Y”)∪ Z. По построению, Z ∩Y’=∅, по условию Z∩ Y₀ =∅. Отсюда Z ∩Y=∅.

Если Z ≠∅, то, как и в доказательстве Леммы 1, получим, что существуют такие открытые окрестности V множества Y (и тем самым множества Y₀ ∪ Y”) и U множества Z, что V∩ U=∅. то есть множество Y₀ ÈK несвязно, что противоречиво. Таким образом, доказано, что Z =∅.

Если Y”¹ Y’, то Y₀ ∪Y”= (Y₀ ∪Y’)\(Y’\Y”)= Y\(Y’\Y”) – не связно по Лемме 1, что противоречиво.

Из Z =∅ и Y”= Y’ следует, что К=Y’. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА 2. Всякое не-дискретное отделимое топологическое пространство имеет локально неоднородное подпространство.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию, существует точка x₁ ∈Х, любая окрестность которой непуста. Выберем любую другую точку x₂∈Х. Существуют такие окрестности V₁ точки x₁ и V₂ точки x₂ , что V₁∩ V₂=∅ .

Тогда V₁ ∪{ x₂} ⊂Х - локально неоднородное подпространство: в нем точки x₁ и x₂ имеют негомеоморфные системы окрестностей. Теорема доказана.

Для получения более содержательных результатов потребуем, чтобы подпространство не содержало изолированных точек.

ТЕОРЕМА 3. Всякое метрическое пространство без изолированных точек имеет локально неоднородное подпространство без изолированных точек.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем две точки x₁ и x₂∈Х. Существуют такие окрестности V₁ точки x₁ и V₂ точки x₂ , что V₁∩V₂=∅.

Выберем любую точку y₁∈V₁ \ { x₁ } и исключим из V₂ все такие точки y, что ρ( y, x₂)= ρ( y₁, x₁).

Далее, найдем любую точку z∈ V₂ \ { x₂ } такую, что ρ( z, x₂)< ρ( y₁, x₁) /2 и точку y₂∈V₁ \ { x₁ } такую, что ρ( y₂, x₁)< ρ( z, x₂), и исключим из V₂ все такие точки y, что

ρ( y, x₂)= ρ( y₂, x₁).

Продолжим этот процесс. Если уже определены y₁, y₂,…, y_n, то найдем любую точку z∈V₂ \ { x₂ } такую, что ρ( z, x₂)< ρ( y_n, x₁) /2, и любую точку y_n+1∈V₁ \ { x₁ } такую, что ρ( y_n+1, x₁)< ρ( z, x₂), и исключим из V₂ все такие точки y, что ρ( y, x₂)= ρ( y_n+1, x₁), и т. д.

В получившемся подпространстве пространства Х

• все точки не изолированы, поскольку все точки, обозначенные z, сколь угодно близкие к x₂, не исключены;
• все окрестности точки x₂ не изометричны никаким окрестностям точки x₁, поскольку они не содержат расстояний – чисел из множества {ρ(y_n, x₁): n=1,2, …}.

Следовательно, точки x₂ и x₁ локально неоднородны. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 4. Всякое кинематическое пространство, рассматриваемое как топологическое, имеет локально неоднородное подпространство без изолированных точек.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем две точки x₁ и x₂∈ Х. Пусть L – соединяющая их линия, удовлетворяющая условиям Леммы 1.

Существуют такие окрестности V₁ точки x₁ и V₂ точки x₂ , что V₁∩ V₂=∅.

Возьмем в качестве L₁₁ любую связную замкнутую часть линии L, находящуюся в V₁\ { x₁ }; найдем такую окрестность V₁₂ точки x₁, что V₁₂∩ L₁₁ =∅; возьмем в качестве L₁₂ любую связную замкнутую часть линии L, находящуюся в V₁₂\ { x₁ } и т. д.

Таким образом, получаем последовательность связных замкнутых множеств { L_1n:n=1,2, …}, сходящуюся к точке x₁.

Аналогично построим последовательность связных замкнутых множеств {L_2n:n=1,2, …}, сходящуюся к точке x₂.

Используя Определение 4, исключим из каждого множества L_kn (k+2n) точек, k=1,2; n=1,2,3, …, обозначим полученные множества через D_kn.

Рассмотрим следующее подпространство пространства Х;

{ x₁ }∪(D₁₁∪ D₁₂∪ D₁₃∪…)∪{ x₂ }∪(D₂₁∪ D₂₂∪ D₂₃∪…).

В силу Леммы 3, никакое множество D_1n не гомеоморфно никакому множеству D_2m, m, n = 1,2,3 … Следовательно, никакая окрестность точки x₁ не гомеоморфна никакой окрестности точки x₂. Таким образом, точки x₂ и x₁ локально неоднородны. Теорема доказана.

Список литературы:

1. Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. – Бишкек: Кыргызский государственный национальный университет, 1999. – 131 с.
2. Борубаев А.А., Панков П.С. Распознаваемость размеченных топологических пространств // Вестник Кыргызского национального университета. – 2007. – Серия 3, выпуск 4. – С. 5–8.
3. Жораев А.Х. Кинематическое построение и исследование топологических пространств. – Автореферат дисс. канд. физико-матем. наук. – Бишкек, 2012. – 16 с.
4. Жораев А.Х. Условия существования неоднородных кинематических пространств // Вестник Международного Университета Кыргызстана. – № 1(27). – 2015. – С. 45–47.
5. Hart K.P., Nagata J.-I., Vaughan J.E. Encyclopedia of General Topology. Elsevier Science Ltd, 2004. – h 4 Homogeneous Spaces. – P. 376–378.
6. Zhoraev A. Conditions of existence of multidimensional locally non-homo-geneous kinematical spaces // Abstracts of the Issyk-Kul International Mathematical Forum. – Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2015. – P. 22.