О  ПОЛУВНУТРЕННИХ  Ω-СПУТНИКАХ  Ω-РАССЛОЕННЫХ  ФОРМАЦИЙ  МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫХ  Т-ГРУПП

Сорокина  Марина  Михайловна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  БГУ  им.  И.Г.  Петровского,  РФ,  г.  Брянск

E-mail: 

ON  SEMI-INNER  Ω-SATELLITES  OF  Ω-FOLIATED  FORMATIONS  OF  MULTIOPERATOR  T-GROUPS

Marina  Sorokina

candidate  of  physico-mathematical  sciences,  associate  professor  of  Bryansk  State  University  I.G.  Petrovsky ,  Russia,  Bryansk

АННОТАЦИЯ

Работа  посвящена  исследованию  Ω-расслоенных  формаций  мультиоператорных  Т-групп  с  конечными  композиционными  рядами  (-формаций).  Свойства  таких  формаций  зависят  от  свойств  двух  описывающих  их  функций:  Ω-спутника  и  направления.  Целью  данной  статьи  является  исследование  полувнутренних  Ω-спутников  -формаций  для  фиксированного  направления.  При  исследовании  используются  методы  доказательств  теории  классов  групп.  В  статье  доказано  существование  максимального  полувнутреннего  Ω-спутника  -формации  с  b_Ar-направлением  для  некоторой  простой  -группы  А  и  получено  описание  его  строения.

ABSTRACT

This  article  is  devoted  to  Ω-foliated  formations  of  multioperator  T-groups  with  finite  composition  series  (-formations).  Properties  of  such  formations  depend  on  the  properties  of  the  two  functions  which  describe:  Ω-satellite  and  direction.  The  purpose  of  this  paper  is  to  study  semi-inner  Ω-satellites  of  -formations  for  a  fixed  direction.  In  the  study  used  methods  of  proof  of  the  theory  of  classes  of  groups.  In  this  article  we  proved  the  existence  of  the  maximum  semi-inner  Ω-satellite  of  -formation  with  b_Ar-direction  for  some  simple  -group  A,  and  described  its  structure.

Ключевые  слова :  мультиоператорная  Т-группа;  формация  Т-групп;  Ω-расслоенная  формация  Т-групп;  Ω-спутник  Ω-расслоенной  формации.

Keywords:  multioperator  T-group;  formation  of  T-groups;  Ω-foliated  formation  of  T-groups;  Ω-satellite  of  Ω-foliated  formation.

Аддитивная  группа  G  с  нулевым  элементом  0  называется  мультиоператорной  Т-группой  с  системой  мультиоператоров  Т  или,  коротко,  Т-группой,  если  в  G  задана  некоторая  система  n-арных  алгебраических  операций  Т  для  некоторых  n>0,  причем  t(0,…,0)=0  для  всех  t∈T  (см.,  например  [4,  с.  355]).  Частными  случаями  мультиоператорных  Т-групп  являются  такие  важные  виды  алгебр,  как  группы,  кольца,  модули,  мультикольца. 

В  теории  классов  конечных  групп  центральное  место  занимают  классы,  называемые  формациями.  Основные  положения  теории  формаций  конечных  групп  изложены  в  монографии  Л.А.  Шеметкова  [5].  В  2009  году  В.А.  Ведерниковым  были  введены  в  рассмотрение  Ω-расслоенные  формации  мультиоператорных  Т-групп  [1].  Изучением  различных  видов  Ω-расслоенных  формаций  Т-групп  занимались  Корпачева  М.А.,  Демина  Е.Н.,  Сорокина  М.М.  и  другие  (см.,  например  [2—3]). 

Как  отмечено  в  [1],  при  изучении  Ω-расслоенных  формаций  Т-групп  существенную  роль  играют  различные  виды  Ω-спутников.  В  [2]  изучается  строение  минимальных,  полных,  максимальных  внутренних  Ω-спутников  Ω-расслоенных  формаций  Т-групп.  Л.А.  Шеметков  и  А.Н.  Скиба  в  монографии  [6]  рассматривают  полувнутренние  экраны  композиционных  формаций.  Следуя  [6],  в  настоящей  работе  вводится  определение  полувнутреннего  Ω-спутника  Ω-расслоенной  формации  Т-групп  и  приводится  описание  строения  максимального  полувнутреннего  Ω-спутника  Ω-расслоенной  формации  Т-групп  с  b_Ar-направлением,  где  А  —  некоторая  простая  Т-группа. 

Основные  определения  и  обозначения,  используемые  в  работе,  можно  найти  в  [1].  Приведем  лишь  некоторые  из  них.  Через    обозначается  класс  всех  мультиоператорных  Т-групп  с  конечными  композиционными  рядами  [1,  с.  4].  Все  рассматриваемые  здесь  группы  принадлежат  классу  .  Формацию  (группу),  содержащуюся  в    (принадлежащую  ),  называют  -формацией  (-группой).  Пусть    —  класс  всех  простых  -групп,  Ω  —  непустой  подкласс  класса  ,  (G)  —  класс  всех  -групп,  изоморфных  композиционным  факторам  -группы  G;  _Ω=(G∈  |  (G)⊆Ω).  Пусть  A∈.  Тогда  A'=\(А),  _A=_(A).  Через  Gобозначается  —  радикал  -группы  G,  где    –  непустой  класс  Фиттинга  -групп.  O_A(G)  и  O_Ω(G)  —  _A-радикал  и  _Ω-радикал  -группы  G  соответственно.  Пусть  ₁  и  ₂  —  классы  -групп.  Тогда  ₁₂=(G∈:  G  имеет  идеал  N∈₁  с  G/N∈₂).  Пусть  f:Ω∪{Ω'}→{-формации},  g:→{-формации},  φ:→{непустые  -формации  Фиттинга}  —  ΩF-функция,  F-функция  и  FR-функция  соответственно.  Все  рассматриваемые  функции  принимают  одинаковые  значения  на  изоморфных  -группах  из  области  определения.  -формация  ΩF(f,φ)=(G∈C:  G/O_Ω(G)Îf(Ω')  и  G/G_φ(A)Îf(A)  для  всех  АÎΩÇ(G))  называется  Ω-расслоенной  -формацией  с  Ω-спутником  f  и  направлением  φ;  -формация  F(g,φ)=(G∈C:  G/G_φ(A)Îg(A)  для  всех  АÎ(G))  называется  расслоенной  -формацией  со  спутником  g  и  направлением  φ  [1,  с.  8].  Направление  φ  Ω-расслоенной  -формации  называется  b_Ar-направлением,  где  A∈,  если  φ  является  b_A-направлением,  т.  е.  φ(A)_A=φ(A),  и  φ  является  r-направлением,  т.  е.  _B'  φ(B)=φ(B)  для  любой  простой  -группы  B  [1,  с.  10].

Определение  1.  Следуя  [6,  с.  149],  Ω-спутник  f  Ω-расслоенной  -формации    назовем  полувнутренним  Ω-спутником,  если  из  f(A)=  следует,  что  f(A)⊆,  для  всех  А∈{Ω'}ÈΩ.  Аналогично,  f  —  полувнутренний  спутник  расслоенной  -формации  ,  если  из  f(A)  следует,  что  f(A)⊆,  для  любой  -группы  А∈. 

Максимальным  полувнутренним  Ω-спутником  (спутником)  Ω-расслоенной  (расслоенной)  -формации    называется  максимальный  элемент  множества  всех  полувнутренних  Ω-спутников  (спутников)  -формации  .

Теорема  1.   Пусть    –  Ω-расслоенная  -формация  с  b_Ar-направлением  φ,  где  А∈Ω  Тогда    обладает  максимальным  полувнутренним  Ω-спутником  f,  удовлетворяющим  условию:  если  f(A)  ,  то  f(A)=_А  h(A),  где  h  –  произвольный  полувнутренний  Ω-спутник  -формации 

Доказательство.  Ввиду  леммы  6  [1,  с.  9],  Ω-расслоенная  -формация    обладает  внутренними  Ω-спутниками.  Поскольку  всякий  внутренний  Ω-спутник  -формации    удовлетворяет  определению  1,  то  множество  всех  полувнутренних  Ω-спутников  -формации    не  пусто.  Пусть  h  —  произвольный  полувнутренний  Ω-спутник  -формации  ,  А∈Ω  Так  как  φ—b_A-направление,  то  по  лемме  9  [1,  с.  18]  -формация    обладает  Ω-спутником  f  таким,  что  f(A)=_Аh(A)  и  f(B)=h(B),  для  всех  BÎ{Ω'}È(Ω\(A)). 

Покажем,  что  f  является  полувнутренним  Ω-спутником  -формации  .  Действительно,  для  любого  BÎ{Ω'}È(Ω\(A))  либо  h(B)=,  либо  h(B)⊆.  Поэтому  из  f(B)  следует,  что  f(B)⊆,  для  всех  BÎ{Ω'}È(Ω\(A)).  Далее,  если  h(A)=,  то  f(A)=_А  h(A)=_А=.  Пусть  h(A).  Тогда  по  определению  1  h(А)⊆.  Покажем,  что  f(A)⊆.  Допустим,  f(A)⊈  и  G—-группа  с  наименьшей  длиной  главного  ряда  из  f(A)\.  Тогда  G  является  монолитической  группой  с  монолитом  P=G.  Покажем,  что  G/O_A(G)∈.  Если  O_A(G)={0},  то  из  G∈f(A)=_Аh(A)  следует,  что  G∈h(A),  и  ввиду  h(А)⊆,  получаем  G∈.  Противоречие.  Следовательно,  O_A(G){0}.  Тогда  P⊆O_A(G)  и  G/O_A(G)@(G/P)/(O_A(G)/P)∈.  Таким  образом,  G/O_A(G)∈.  Поскольку  G∈f(A),  то  G/G_φ(A)  ∈f(A)=_Аh(A).  Согласно  лемме  9  [1,  с.  18],  O_A(G/G_φ(A))={0}.  Следовательно,  G/G_φ(A)@(G/G_φ(A))/O_A(G/G_φ(A)∈h(A).  Так  как  φ  является  r-направлением,  то  по  лемме  7  [1,  с.  10]  получаем  G∈ΩF(h,φ)=.  Противоречие.  Следовательно,  f(A)⊆,  и  значит,  f  является  полувнутренним  Ω-спутником  -формации  .  Из  строения  Ω-спутника  f  вытекает,  что  h≤f  .  Поэтому  f  —  максимальный  полувнутренний  Ω-спутник  -формации  .  Теорема  доказана.

Следствие  1.   Пусть    –  расслоенная  -формация  с  b_Ar-направлением  φ,  где  А∈  Тогда    обладает  максимальным  полувнутренним  спутником  f,  удовлетворяющим  условию:  если  f(A),  то  f(A)=_А  h(A),  где  h  —  произвольный  полувнутренний  спутник  -формации  .

Список  литературы:

1.Ведерников  В.А.,  Демина  Е.Н.  W-расслоенные  формации  мультиоператорных  Т-групп  //  Препринт.  М.:  МГПУ,  —  2009.  —  №  4.  —  С.  1—27.

2.Ведерников  В.А.,  Демина  Е.Н.  Ω-расслоенные  формации  мультиоператорных  Т-групп  //  Сиб.  матем.  ж.  —  2010.  —  Т.  51.  —  №  5.  —  С.  990—1009.

3.Корпачева  М.А.,  Сорокина  М.М.  О  критических  Ω-биканонических  и  Ω-канонических  формациях  мультиоператорных  Т-групп  //  Тезисы  докладов  международной  конференции  по  алгебре  и  геометрии,  посвященной  80-летию  со  дня  рождения  А.И.  Старостина.  Екатеринбург,  2011.  —  с.  92—94.

4.Общая  алгебра.  Т.  2.  Под  редакцией  Л.А.  Скорнякова.  М.:  Наука.  1991.  —  480  с.

5.Шеметков  Л.А.  Формации  конечных  групп.  М.:  Наука,  1978.  —  272  с.

6.Шеметков  Л.А.,  Скиба  А.Н.  Формации  алгебраических  систем.  М.:  Наука,  1978.  —  256  с.