УСТОЙЧИВОСТЬ  РЕШЕНИЙ  ДИНАМИЧЕСКИХ  СИСТЕМ  ПО  ЧАСТИ  ПЕРЕМЕННЫХ

Королев  Владимир  Степанович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент,  Санкт-Петербургский  Государственный  Университет,  РФ,  г.  Санкт- Петербург

E-mail : 

STABILITY  SOLUTION  OF   DYNAMICAL  SYSTEMS  ON  A  PART  OF  THE  VARIABLES

Vladimir  Korolev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  assistant  professor,  Saint-Petersburg  State  University,  Russia,  Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются  математические  модели  динамических  систем  классической  механики  и  биофизики  на  основе  нелинейных  дифференциальных  уравнений,  их  новые  модификации  и  преобразования.  Исследованы  свойства  уравнений,  особенности  решений,  стационарные  неравновесные  состояния  и  поведение  решений  в  окрестности  положений  равновесия. 

ABSTRACT

The  nonlinear  differential  equations  systems  are  investigated  for  mathematical  models  in  classical  mechanics  and  biodynamics,  their  new  modifications  and  conversions.  The  properties  of  equations  are  investigated  for  equilibrium  stationary  state  solutions  and  the  behavior  of  the  solutions  in  the  neighborhood  of  the  equilibrium.

Ключевые  слова:   динамические  системы;  устойчивость  решений. 

Keywords:   dynamical  systems;  stability  of  solution.

Под  динамической  системой  подразумевается  изменение  состояния  во  времени  в  процессе  движения  или  развития,  которое  можно  описать  обыкновенными  дифференциальными  уравнениями.  Если  результаты  наблюдений  или  измерений  позволяют  однозначно  определить  значения  параметров  системы,  то  говорят  о  детерминированных  динамических  системах.  Если  параметры  или  дополнительные  воздействия  можно  выбирать  по  своему  усмотрению,  то  имеют  управляемую  систему.  При  исследовании  нелинейных  динамических  систем  важно  знать  поведение  решений  на  качественном  уровне:  существуют  ли  состояния  равновесия,  какие  из  них  устойчивы,  возможны  ли  колебательные  режимы  и  при  каких  условиях  [1,  2].  Свойства  устойчивости  решений  зависят  от  постановки  задачи,  выбора  обобщенных  координат  и  записи  уравнений,  которые  описывают  процесс.  Они  могут  не  сохраняться  при  замене  переменных,  в  том  числе  при  изменении  размерности  пространства  при  введении  дополнительных  переменных,  а  также  для  канонических  преобразований  исходной  системы  с  использованием  первых  интегралов.

Во  многих  случаях  характер  поведения  решений  можно  определить  по  фазовым  портретам,  в  которых  множества  траекторий  разбиваются  на  классы.  Для  построения  фазовых  портретов  в  задачах  классической  механики  с  потенциальными  силами  используют  свойства  функции,  которая  определяет  потенциальную  энергию.  Для  получения  основных  свойств  решений  уравнений  в  задачах  механики  используют  также  первые  интегралы  (энергии,  площадей,  циклические),  если  они  существуют.  Хорошо  исследованы  классические  уравнения  в  динамике  механических  систем  с  одной  степенью  свободы:  гармонический  осциллятор  при  действии  упругой  силы  на  точку  или  колебания  материальной  точки  с  учетом  сил  сопротивления,  а  также  нелинейные  уравнения  колебаний  материальной  точки  с  учетом  сил  сопротивления  и  вынуждающей  силы

В  первом  случае  получаем  периодические  функции,  которые  определяют  замкнутые  фазовые  траектории  в  окрестности  положения  равновесия  и  устойчивость  решений  по  Ляпунову.  Во  втором  случае  имеется  асимптотическая  устойчивость  положения  равновесия.  При  наличии  малых  возмущений  периодического  или  случайного  характера  получим  затухание  собственных  колебаний,  а  поведение  решения  (рис.  1)  и  фазовые  траектории  (рис.  2)  определяются  возмущением.

Рисунок  1.  Поведение  решения  при  малых  периодических  возмущениях

Рисунок  2.  Фазовый  портрет  при  малых  периодических  возмущениях

Можно  также  получить  ограничения  на  параметры  процесса,  в  том  числе  для  случая  резонанса  частот.  Режим  управления  процессом  позволяет  изменить  характер  и  свойства  решений.

Движение  называется  устойчивым  по  Ляпунову,  если  малые  отклонения  в  начальных  данных  фазовых  переменных  приводят  к  малым  уклонениям  в  дальнейшем.  Орбитальная  устойчивость  или  устойчивость  по  части  переменных  показывает,  что  фазовая  траектория  или  её  проекция  на  соответствующее  подпространство  остается  в  достаточной  близости  от  опорной  траектории,  хотя  изображающие  точки  могут  сколь  угодно  разбегаться,  удаляясь  друг  от  друга  со  временем. 

Простейший  пример:  движение  материальной  точки  при  отсутствии  действующих  сил.  Получается  прямая  на  фазовой  плоскости,  по  которой  с  постоянной  скоростью  движется  точка: 

Точка  (0,0)  и  все  точки  на  оси  x₁  являются  положением  покоя,  для  которых  нет  устойчивости. 

При  малых  отклонения  в  начальных  данных  получим  близкую  прямую  . 

Расстояние  между  изображающими  точками  на  этих  прямых  увеличивается,  хотя  остается  частичная  устойчивость  по  одной  из  фазовых  переменных.

При  наличии  малых  периодических  возмущений  в  уравнениях  имеем

Аналогичные  свойства  проявляются  для  уравнений  движения  материальной  точки  в  центральном  гравитационном  поле.  Траектории  близки,  но  движение  происходит  с  разной  скоростью.

В  общем  случае  системы  уравнений  динамики  в  нормальной  форме  имеют  особые  точки    при  условии,  что  правые  части  обращаются  в  ноль:

Устойчивость  решений  проверяют  разными  способами  для  различных  типов  уравнений  в  задачах  динамики.  Уравнения  Лагранжа  второго  рода  для  консервативных  механических  систем  позволяют  использовать  для  оценки  устойчивости  вид  функции  П(х)  для  потенциальной  энергии  из  условий  минимума  по  фазовым  переменным.  При  наличии  циклических  интегралов  порядок  системы  уравнений  уменьшается,  а  устойчивость  оценивают  для  оставшихся  обобщенных  координат.

В  случае  приведения  уравнений  к  виду  канонических  систем  можно  проверять  аналогичные  условия  для  функции  Гамильтона  Н(х),  которая  определяет  правые  части  уравнений  движения.

Если  уравнения  записаны  в  каноническом  виде  и  существует  n  первых  интегралов,  то  по  теореме  Арнольда  фазовые  траектории  лежат  на  n-мерном  торе,  а  движение  системы  является  условно  периодическим.  В  общем  случае  для  системы  дифференциальных  уравнений  в  нормальной  форме  могут  выполняться  первые  интегралы,  которые  определяют  интегральные  многообразия  как  пересечение  соответствующих  поверхностей.  Это  множество  называют  равновесным  режимом  системы  или  стационарным  движением.

Необходимо  обратить  внимание  на  возможные  изменения  свойств  и  условий  устойчивости  решений  новых  уравнений  при  замене  переменных.  В  случае  контактных  преобразований  при  выборе  нужной  производящей  функции  получаем  в  новых  переменных  уравнения,  где  правые  части  равны  нулю,  а  новые  переменные  определяют  набор  произвольных  постоянных  для  решений  первоначальной  системы  канонических  уравнений.  Следовательно,  при  любых  допустимых  начальных  условиях  они  остаются  постоянными,  сохраняя  малые  начальные  отклонения. 

Более  общий  вид  имеют  известные  математические  модели  динамики  в  задачах  биофизики  (в  том  числе  модели  Лотки,  Вольтера,  Базыкина,  Новоселова),  которые  описывают  изменение  параметров  физических  и  химических  процессов  системой  линейных  или  нелинейных  дифференциальных  уравнений  [2—5].  В  правой  части  системы  нелинейных  уравнений  можно  выделить  линейную  и  квадратичную  зависимость  от  фазовых  переменных

где  элементы  матриц  А  и  В  предполагаются  постоянными.  При  условии,  что  правые  части  обращаются  в  ноль  в  области  допустимых  значений  для  фазовых  переменных,  получаем  множества  возможных  положений  равновесия  или  состояния  покоя.

Можно  проводить  исследование  положений  равновесия  и  возможные  стационарные  неравновесные  состояния,  которые  могут  возникать  в  открытых  биологических  системах,  обменивающихся  с  окружающей  средой  энергией  или  веществом.  Процесс  обмена  может  носить  характер  возмущений  или  управляющих  стабилизирующих  воздействий.  Предлагаются  модификации  или  дополнения  для  оценки  устойчивости  выделенных  решений.

Классическая  модель  биофизики  Вольтера  [5]  взаимодействия  видов  «хищник-жертва»  описана  уравнениями

Система  имеет  два  стационарных  решения.  В  случае    получается  особая  точка,  которую  на  фазовой  плоскости  окружают  замкнутые  кривые  периодических  колебаний  численности  конкурирующих  видов  в  зависимости  от  начальных  условий.  Влияние  возмущений  и  управляющих  воздействий  может  изменить  характер  решений.

Модификация  модели  с  учетом  самоограничения  численности  дает

Начало  координат  является  особой  точкой  типа  «неустойчивый  узел».  Существуют  еще  три  варианта  возможных  особых  точек,  из  которых  два  соответствуют  ситуациям  отсутствия  жертв  или  хищников.  В  третьем  случае  по  начальным  данным  определяются  замкнутые  кривые  на  фазовой  плоскости,  которые  показывают  периодические  колебания  в  системе  «хищник-жертва».

Дифференциальные  уравнения  статистической  модели  возбуждения  мышцы,  полученные  в  работах  Новоселова  В.С.  [3,  4],  можно  представить  в  виде

где  возмущения  могут  зависеть  от  управляющих  параметров  или  функций  u(t).

Под  мышечным  возбуждением  понимают  напряжение  или  укорачивание  мышцы  при  разряде  двигательного  нейрона  на  поверхности  мембраны  мышечного  волокна.  К  нему  может  присоединиться  головка  толстого  мышечного  волокна.  Тем  самым  создается  активный  центр  ферментной  реакции.  В  результате  реакции  гидролизирующих  ферментов  происходит  превращение  в  энергию  напряжения  и  в  работу  сокращения  мышцы.  Предполагаются  все  структурные  элементы  мышцы  статистически  одинаковыми.  Управление  процессом  мышечного  сокращения  осуществляется  нервными  импульсами  посредством  изменения  вероятности  концентрации  ионов,  а  также  за  счет  окисления  молекул  органических  веществ  кислородом  с  переносом  электронов  по  цепи  дыхательных  ферментов  с  учетом  изменением  режима  работы  легких  по  командам  центральной  или  периферийной  нервной  системы.

Полученная  система  8  нелинейных  дифференциальных  уравнений  исследуется  для  стационарного  режима  в  фазе  напряжения  мышцы,  когда  существует  стационарное  неравновесное  напряжение  мышцы,  а  также  численными  методами  для  оценки  поведения  решений  в  окрестности  положений  стационарного  равновесия.  Изменение  концентрации  определяется  скоростью  ферментной  реакции  в  центрах  контакта.  В  зависимости  от  начальных  условий  и  значений  коэффициентов  системы  уравнений  в  качестве  отклика  на  приложенный  импульс  или  серию  импульсов  могут  проявляться  устойчивые  и  неустойчивые  колебательные  режимы  по  соответствующим  группам  переменных.  Различают  два  вида  мышечного  сокращения:  изометрическое,  когда  мышца  развивает  усилие  без  изменения  длины  (при  этом  в  ней  растёт  напряжение  и  расходуется  энергия),  и  изотоническое,  когда  мышца  укорачивается  и  утолщается,  а  напряжение  её  практически  не  изменяется.  Например,  при  совершении  работы  по  перемещению  груза  мышца,  как  правило,  сокращается  сначала  изометрически,  а  затем  изотонически.  В  случае  изометрического  сокращения  система  принимает  более  простой  вид.  Характеристический  полином  для  матрицы  ,  которая  определяет  поведение  в  первом  приближении,  имеет  вид:

.

Коэффициенты    будут  положительны,  что  является  необходимым  условием  отрицательности  корней  полинома.  Достаточное  условие  может  быть  получено  с  использованием  критерия  Рауса-Гурвица.  При  отсутствии  чисто  мнимых  собственных  чисел,  система  уравнений  имеет  целое  семейство  положений  равновесия,  которое  заполняет  3-мерное  пространство.  Если  при  этом  выполняются  условия: 

,  ,  ,  ,

то  каждое  из  положений  равновесия  определяет  5-мерное  подпространство,  заполненное  движениями  системы,  асимптотически  приближающимися  к  нему.

Особенностью  системы  уравнений  является  существование  линейных  по  фазовым  переменным  интегралов,  которые  позволяют  понизить  порядок  и  проводить  дальнейшее  исследование  устойчивости  по  упрощенным  уравнениям  для  оставшихся  фазовых  переменных  после  исключения.  Это  позволяет  получить  критерии  условной  устойчивости  для  начальной  системы,  а  также  критерии  устойчивости  для  упрощенной  системы  в  случае  изометрического  сокращения.  Рассмотрено  множество  численных  решений  для  системы  при  различных  начальных  данных  и  управляющих  воздействиях,  а  также  поведение  системы  при  отклонении  от  положения  равновесия.

Список  литературы :

1.Воротников  В.И.  К  теории  устойчивости  по  отношению  к  части  переменных  //  Прикладная  математика  и  механика.  —  Т.  59(4),  —  1995.  —  С.  553—561.

2.Зубов  И.В.  Методы  анализа  динамики  управляемых  систем.  М.:  Физматлит,  2003.  —  224  с.

3.Новоселов  В.С.  Статистическая  динамика.  СПб:  СПбГУ,  2009.  —  393  с.

4.Новоселов  В.С.,  Королев  В.С.  Модель  возбуждения  мышцы  //  Труды  международной  конференции  «Идентификация  систем  и  задачи  управления».  М.:  ИПУ  РАН,  2005,  —  с.  367—374.

5.Романовский  Ю.М.,  Степанова  Н.В.,  Чернавский  Д.С.  Математическое  моделирование  в  биофизике.  Москва-Ижевск:  Институт  компьютерных  исследований,  2004.  —  472  с.