СХОДИМОСТЬ  ПЕРВОЙ  НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ  ЗАДАЧИ  С  НЕЛОКАЛЬНЫМ  ЛИНЕЙНЫМ  ИСТОЧНИКОМ

Саиег  Тимур  Хайтам

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  кафедры  «Высшая  Алгебра  и  Геометрия»,

Северо-Кавказского  федерального  университта,  РФ,  г.  Ставрополь

E-mail:  dr.timor@mail.ru

CONVERGENCE  OF  FIRST  INITIAL  BOUNDARY  VALUE  PROBLEM  WITH  NONLOCAL  LINEAR  SOURCE

Timur  Haitham  Saieg

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  associate  professor  of  Higher  Algebra  and  Geometry  department,  North-Caucasus  Federal  University,  Russia  Stavropol

АННОТАЦИЯ

Получена  априорная  оценка  для  решения  первой  краевой  задачи  для  уравнения  теплопроводности  с  нелокальным  линейным  источником,  откуда  следует  сходимости  метода  Ротэ.

ABSTRACT

There  is  deduced  a  prior  estimate  for  the  solution  of  the  first  boundary  value  problem  for  a  heat  conduction  equation  with  a  nonlocal  linear  source  which  implies  the  convergence  of  Rothe’s  method

Ключевые  слова:  Априорная  оценка;  метод  Ротэ.

Keywords:  prior  estimate;  Rothe’s  method. 

В  области    рассмотрим  задачу 

              (1)

                                          (2)

                                               (3)

где  ,  ,    —  известные  достаточно  гладкие  в    функции.

Пусть  задача  (1)-(3)  имеет  регулярное  решение.  Умножим  уравнение  (1)  скалярно  на  :

       (4)

Преобразуем  каждое  слагаемое  тождество  (4)

Оценим  внутренний  интеграл

Или

Подставляя  последние  соотношения  в  тождество  (4,)  находим

  —  любое  число.

Так  как 

То  имеем

.

Пусть  ,  тогда

            (5)

Проинтегрируем  (5)  по  τ  от  0  до  t,  тогда  получим

     (6)

Оценим  интегральный  член  в  соотношении  (6)  таким  образом:

Подставляя  последнее  в  (6),  получаем

                   (7)

Из  (7)  имеем 

или,

                           (8)

При  получении  априорных  оценок  решений  различных  нестационарных  задач  часто  используется  следующая 

Лемма.  Пусть  неотрицательная  абсолютно  непрерывная  функция  Y(t)  удовлетворяет  для  почти  всех    неравенству

где    —  суммируемые  на  [0,T]  неотрицательные  функции.  Тогда

Доказательство  леммы  приведено  в  [1].

Применяя  к  неравенству  (8)  лемму,  получаем 

С  помощью  последней  оценки  из  (7)  находим  априорную  оценку

              (9)

В  частности,  из  оценки  (9)  следует  единственность  решения  исходной  задачи  (1)-(3).

Введём  на    сетку 

Задаче  (1)-(3)  поставим  в  соотвествие  схему  Ротэ

                                  (10)

где    —  шаг  сетки  по  времени.

Для  доказательства  сходимости  метода  Ротэ,  получим  дискретный  аналог  оценки  (9).  Для  чего  умножим  уравнение  (10)  скалярно  на  .

. (11)

Преобразуем  интегралы,  входящие  в  (11)  следующим  образом:

                               (12)

Оценим  интеграл  таким  образом:

.

Стоящую  в  правой  части  (12)  сумму  оценим  теперь  так:

С  учётом  этих  соотношений  из  тождества  (11)  получаем

Откуда,  с  учётом  неравенства

Находим

Суммируя  последнее  неравенство  по    от  1  до  ,  получаем 

Откуда

Или

                                 (13)

Лемма  2.  Пусть  функции,  заданные  на  -неотрицательная  неубывающая  функция  ,  тогда  из  неравенства 

следует 

На  основании  леммы  2  из  (13),  при  малом  ,  находим

               (14)

где    —  постоянная,  не  зависящая  от  .

Обозначим  через  ,  тогда  для  погрешности  я  имеем  задачу 

                                                 (15)

где  .

Применяя  оценку  (14)  к  задаче  для  погрешности  (15)  находим 

Откуда  следует  сходимость  метода  Ротэ  со  скоростью  .

Список  литературы:

1.Андреев  В.Б.  О  сходимости  разностных  схем,  аппроксимирующих  третью  краевые  задачи  для  эллиптических  уравнений.  Ж.  Вычислительная  математика  и  математическая  физика.  —  1968,  —  8  №  6,  —  с.  1218—1231.

2.Вольтерра  В.  Математическая  теория  борьбы  за  существование.  М.:  Наука  1976,  —  286  с.

3.Кожанов  А.И.  Параболические  уравнения  с  нелинейным  нелокальным  источником.  сиб.  матем.  журн.,  —  1994,  —  Т.  35,  —  №  5,  —  С.  1062—1073.

4.Самарский  А.А.  теория  разностных  схем.  М.:  Наука,  1989.  —  616  с.