КОММУТИРУЮЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПОРЯДКОВ 4 И 6

Статья опубликована в рамках:

XIII Международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире» (Россия, г. Новосибирск, 09 декабря 2013 г.)

Выходные данные сборника:

«Естественные и математические науки в современном мире»: сборник статье по материалам XIII международной научно-практической конференции. (09 декабря 2013 г.)

КОММУТИРУЮЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПОРЯДКОВ 4 И 6

Байчорова  Фатима  Хасановна

ассистент  КЧГУ  им.  У.Д.  Алиева,  РФ,  г.  Карачаевск

E-mail: 

COMMUTING  DIFFERENTIAL  OPERATORS  OF  ORDER  4  AND  6

Baichorova  Fatima  Khasanovna

assistant  of  U.D.  Aliev  Karachay-Cherkess  State  University,  Russia  Karachaevsk

АННОТАЦИЯ

Рассматривается  модельная  задача  о  паре  коммутирующих  диффе­ренциальных  операторах  порядков  4  и  6,  Полученные  результаты  применяются  для  обобщения  известной  коммутирующей  пары  из  работы  Диксмье  на  случай  рацио­нальных  коэффициентов.

ABSTRACT

We  consider  a  model  problem  of  a  pair  of  commuting  differential  operators  of  orders  4  and  6,  The  results  are  used  to  generalizations  of  the  commuting  pair  of  work  in  the  event  of  Dixmier  rational  coefficients.

Ключевые  слова:  коммутирующие  дифференциальные  операторы;  дифференциальные  опе­раторы  порядков  4  и  6.

Keywords:  commuting  differential  operators;  differential  operators  of  order  4  and  6.

В  данной  работе  рассматривается  задача  о  паре  многочленов    и    с  постоянными  коэффициентами,  удовлетворяющих  функциональному  уравнению:

         (1)

Здесь    формальная  переменная,  а  векторы    и    в    считаются  за­данными.  Для  дифференциального  оператора    с  частными  производными    имеет  место  формула    —многочлен)

                     (2)

Из  этой  формулы  следует,  что  функциональное  уравнение  (1)  эквивалентно  условию  коммути­рования  пары  дифференциальных  операторов  с  частными  производными,  полуинвариантных  относительно  группы  сдвигов:

                       (3)

В  теории  коммутативных  колец  дифференциальных  операторов  с  одной  независимой  пере­менной  специальные  операторы  вида  (3)  могут  играть  роль  модели  (см.  [4]).  В  одномер­ном  случае  полиномиальное  уравнение  (1)  принимает  вид:

  (4)

Его  можно  переписать  за  счет  растяжения  z  с  коэффициентом    в  следующем  виде

   (5)

При  взаимно  простых    задача  о  коммутирующих  дифференциальных  операторах  порядков    и  изучена  довольно  хорошо.  В  частности,  в  рассматриваемом  случае  при  фиксированных  небольших    и    полные  списки  многочленов,  удовлетворяющих  уравнению  (5)  приведены  в  работе  [4].  Характерное  свойство  этих  многочленов  заключается  в  том,  что  их  корни  являются  целыми  числами  при  .  Помимо  указанного  нормировочного  условия,  в  списках  учитывается,  что  переход  к  сопряженным  операторам  не  нарушает  их  коммутирования. 

Интерес  к  более  сложному  случаю    в  последнее  время  заметно  усилился.  В  основном  речь  идет  о  коммутирующих  дифференциальных  операторах  с  полиномиальными  коэффициентами,  обобщающими  известный  пример  Диксмье  [2]  (обзор  соответствующей  лите­ратуры  можно  найти  в  [4]).

В  рассматриваемой  нами  модельной  задаче  уравнения  (4)  и  (5)  позволяют  полностью  решить  вопрос  о  парах  коммутирующих  операторов  порядков  4  и  6.  Установлено  в  частности,  что  каноническую  форму  в  этом  случае  могут  определять  операторы:

Их  общей  собственной  функцией    является,  как  легко  видеть,  функция  Бесселя  нулевого  порядка  при    удовлетворяет  уравнению

.                (6)

Можно  показать,  что  нечетные    (и  четные  )  приводят,  соответственно,  к  полуцелым  и  целым  значениям  ,  в  уравнении  Бесселя  (6).

Лемма  1.  Решения  полиномиального  уравнения

можно  перемножать.

Основным  результатом  работы  является  решение  полиномиального  уравнения  (5)  при  ,  которое  приводит  к  следующему  списку  коммутирующих  дифференциальных  операторов  порядков  4  и  6:

  Учитывая  Лемму  1,  рассмотрим  более  подробно  уравнение 

  (7)

для  операторов  четвертого  и  шестого  порядков.  В  этом  случае  перестановочные  многочлены  имеют  вид:

Приравнивая  коэффициенты  при  соответствующих  степенях  ,  получим  систему  уравнений  на  коэффициенты    многочлена    Положим  .  Решая  систему,  получим  следующие  многочлены

И  переходя  к  операторам  получим  дополнительный  список  коммутирующих  дифференциальных  операторов 

Список  литературы:

1.Шабат  А.Б.,  Эльканова  З.С.  О  коммутирующих  дифференциальных  операторах//  ТМФ.  —  2013.  —  Т.  162(3).  —  С.  334—344.

2.Burchnall  J.L.,  Chaundy  T.W.  Commutative  ordinary  differential  operators,  II,  The  identity//  Proc.  Roy.  Soc.  London.  —  1932.  -  ser.  A,  134  №  824.  —  P.  471—485.

3.Dixmier  J.  Sur  les  algebra  de  Weyl//  Bull  Soc.  Math  96.  1968.  —  P.  209—242.

4.Mokhov  O.I.  Commuting  ordinary  differential  operators  of  arbitrary  genus  and  arbitrary  rank  with  polynomial  coefficients.  arXiv:  1303,  4263.