СОВРЕМЕННЫЕ  ПРОБЛЕМЫ  РАЗВИТИЯ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  АНАЛИЗА

Пешкичев  Юрий  Афанасьевич

канд.  физ.-мат.  наук,  исполнитель,  ООО  «Интеллект-Сервис»,  РФ,  г.  Бердск

E-mail: 

MODERN  PROBLEMS  OF  DEVELOPMENT  OF  MATHEMATICAL  ANALYSIS

Peshkichev  Yuriy  Afanasievich

candidate  of  phys.-math.  sciences,  assystant  of  “Intellect-Service”  LLC,  Russia  Berdsk

АННОТАЦИЯ

Излагается  авторское  видение  современных  проблем  развития  математического  анализа  в  Сибирском  регионе.

ABSTRACT

The  paper  deals  with  the  author  vision  on  modern  problems  of  development  of  mathematical  analysis  in  Siberian  region.

Ключевые  слова:  отображения  соболевских  классов;  комплексный  анализ;  матричное  дифференциальное  исчисление;  кривизна  математического  скалярного  поля.

Keywords:  mappings  of  Sobolev  classes;  complex  analysis;  matrix  differential  calculus;  curvature  of  mathematical  scalar  field.

Примером  определяющей  роли  математического  анализа  в  приложениях  математики,  включая  общественную  жизнь,  служит  деятельность  Лаборатории  медленных  процессов  в  ВолГУ,  организованной  В.М.  Миклюковым.  Теперь,  после  его  кончины,  она  является  своеобразным  памятником  воспитаннику  томской  математической  школы.  С  деятельностью  названной  лаборатории  сравнима  деятельность  Новосибирского  отделения  ПАНИ,  возглавляемого  математиком  академиком  ПАНИ  А.В.  Сычёвым.  Поскольку  оба  учёных  заметно  отметились  в  квазиконформном  анализе,  автор  начинает  обзор  состояния  и  перспектив  близких  ему  разделов  именно  с  этого  направления.

Квазиконформный  анализ

Ещё  в  советское  время  учёные  Института  математики  СО  АН  СССР,  развивая  квазиконформный  анализ,  основательно  освоились  в  многомерном  арифметическом  пространстве  Rⁿ.  Его  развитие  в  российский  период  вообще  сравнимо  с  выходом  человека  в  космос.  По  примеру  своих  западных  коллег  учёные  школы  академика  Ю.Г.  Решетняка  вышли  из  уже  освоенного  пространства  Rⁿ  в  пространство  метрическое.  На  это  указывают  работы  С.К.  Водопьянова  и  его  учеников.  Более  того,  само  направление  теперь  носит  название  геометрический  анализ  на  метрических  структурах.  Его  услугами  вполне  может  пользоваться  Лаборатория  геометрической  теории  управления  ИМ  СО  РАН,  так  что  направление  обеспечило  себе  достойные  приложения.  Необходимые  результаты  по  метрической  геометрии  поверхностей  разрабатывают  А.П.  Копылов,  В.А.  Александров  и  М.В.  Коробков.  На  это  направление  ориентируются  и  другие  сибирские  математики.  Топологическую  архитектуру  границ  открытых  множеств  в  Rⁿ  исследует  сургутский  математик  А.П.  Кармазин.  Тюменский  математик  Т.Г.  Латфуллин  изучает  квазиизометрии.

Пытаясь  сотрудничать  с  этим  направлением,  автор  ещё  в  советское  время  развил  понятие  многомерного  градиента,  в  результате  чего  основополагающее  неравенство  q-квазиконформности  отображения  f(x)=[f₁(x),f₂(x),…,f_n(x)]  приняло  вид

(∑_k||grad_n-1F_k(x)||²)^n/2  ≤  (n^1/2  q)ⁿ|gradf(x)|^n-1,

где  F_k(x)  —  вектор  размерности  n-1,  полученный  из  вектора  f(x)  выбрасыванием  координатной  функции  f_k(x),  k=1,2,…,n.  В  российский  период  автор  установил  связь  квазиконформного  анализа  с  теорией  устойчивости  систем  линейных  алгебраических  уравнений  из  монографии  С.К.  Годунова  [1].  Развивая  понятие  кривизны  скалярного  поля,  автор  вышел  на  его  приложения  в  квазиконформном  анализе  через  второй  дифференциал.  Автор  переориентировал  также  квазиконформный  анализ  с  отображений  на  векторные  поля  [7].

Пространственные  отображения  соболевских  классов

Это  направление  является  преемником  школы  Лаврентьева-Белинского  в  Институте  математики  СО  АН  СССР.  В  настоящее  время  его  возглавляют  А.В.  Сычёв  и  В.В.  Асеев.  Его  сибирская  география  включает  города  Омск,  Томск,  Тюмень.  Направление  использует  интегрально-геометрический  метод  (устаревшее  название  —  метод  модулей).  Этот  метод  позволяет  изучать  отображения,  квазиконформные  в  среднем,  отображения  с  ограниченным  в  среднем  искажением,  отображения  с  ограниченным  потенциалом  градиента.  Во  времена  сотрудничества  с  этим  направлением  автор  установил,  что  для  соболевских  гомеоморфизмов  квазиконформность  в  среднем  и  ограниченность  интеграла  Дирихле  являются  взаимно-обратными  понятиями.  В  анизотропном  соболевском  классе  отображений  решил  обратную  задачу  дифференцирования  для  автоморфизма  n-мерного  куба.  На  взгляд  автора,  ещё  не  исчерпаны  возможности  интегрально-геометрического  метода.  Например,  с  его  помощью  автор  дал  новое  толкование  непрерывности  по  Гёльдеру  пространственного  гомеоморфизма  и  вышел  на  понятие  непрерывности  по  Кудрявцеву  [5].

Комплексный  анализ

Ещё  в  советское  время  мечтой  томских  математиков  школы  П.П.  Куфарева  было  решение  проблемы  Бибербаха.  Первым  из  математиков  эту  мечту  реализовал  франко-американский  математик  Луи  де  Бранж.  Затем  его  успех  повторил  И.А.  Александров.  В  российский  период  томские  математики  воссоздали  полную  картину  выхода  отечественных  и  зарубежных  математиков  к  намеченной  цели.  Для  автора  сияющей  высотой  комплексного  анализа  был  выход  на  понятие  послешварцевой  производной

f’’’’/f'  –  9(f’’/f’)³  –  8f’’’f’’/(f’)².

Как  и  производная  Шварца,  она  нашла  применение  в  дифференциальной  геометрии  плоских  кривых  [6].  У  томских  математиков  есть  своя  богатая  история  исследования  кривизны  линий  уровня,  о  чём  свидетельствует  недавняя  статья  С.А.  Копанева  [2].  Автор  предлагает  перейти  к  рассмотрению  второй  кривизны  линий  уровня  по  примеру  статьи  [7].

Матричное  дифференциальное  исчисление

Названное  направление  уже  нашло  эффектное  применение  в  статистике  и  эконометрике  [3].  Основой  его  развития  в  Сибирском  регионе  служит  книга  академика  С.К.  Годунова  [1].  Полученные  на  её  основе  результаты  могут  найти  применение  в  вычислительной  математике  и  в  теории  погрешностей  векторных  полей,  которые  в  настоящее  время  основаны  на  конечно-разностных  методах  линейной  алгебры,  но  не  на  полноценном  матричном  дифференциальном  исчислении.  Автор  уже  получил  некоторые  первоначальные  результаты  в  матричном  дифференциальном  исчислении.  Например,  конечно-разностное  неравенство  для  обусловленности  определителя  detA(x)  [1,c.150]  приняло  вид

|grad  detA(x)|/|detA(x)|≤n  condA(x)||ln  gradA(x)||.

Кривизна  математического  скалярного  поля

Вначале  это  понятие  для  гладкого  скалярного  поля  u(M)  в  открытой  области  G  пространства  Rⁿ  рассматривалось  только  как  качественное  понятие.  Оно  не  упоминается  в  советской  пятитомной  математической  энциклопедии.  Количественно  же  оно  проявлялось  через  среднюю  кривизну

H  =  -  divτ/n,  τ=gradu/|gradu|

уровенной  поверхности  σ(r)  =  {u(x)=r=const}.  Касательный  якобиан  отображения  Гаусса  τ  :  σ(r)  →  {|x|=1}  представляет  собой  полную  кривизну  k  уровенной  поверхности.  Так  как  |k|  <  const  (||hesu||/|gradu|)^n-1,  где  hesu  –  матрица  Гессе  скалярного  поля  u(x),  то  естественно  назвать  скаляр

||hesu||/|gradu|  аналитической  кривизной  скалярного  поля  u(x).  Если  использовать  введённое  автором  [7]  понятие  матричного  ротора,  то  rot(gradu)  —  нулевая  матрица.В  отличие  от  дивергенции,  матричный  ротор  rotτ  характеризует  кривизну  не  самой  уровенной  поверхности,  а  всего  скалярного  поля.  Так,  в  случае  скалярного  поля  функции  расстояния  до  замкнутого  выпуклого  множества  модуль  его  градиента  тождественно  равен  единице  во  внешности  этого  множества,  и  поэтому  rotτ=0.  При  этом  виртуальное  движение  уровенной  поверхности  при  увеличении  параметра  аналогично  поступательному  движению  твёрдого  тела  в  теоретической  механике.  Значит,  при  rotτ  ≠0  упомянутое  виртуальное  движение  является  аналогом  винтового  движения  твёрдого  тела,  т.  е.  включает  и  вращательное  движение.  Рассмотрим  интеграл  кривизны

J(u,G)  =  ∫∫∫|k|^n/(n-1)dG.

Дополним  пространство  Rⁿ  до  пространства  Rⁿ⁺¹  c  помощью  координаты  r.  Гауссово  изображение  N(σ(r))  рассмотрим  на  (n-1)-  сфере  {|x|=1,  r=const}  в  пространстве  Rⁿ.  Объединение  N(∑)  всех  таких  N(σ(r))  назовём  гауссовым  изображением  семейства  ∑  уровенных  поверхностей.  Оно  представляет  собой  область  на  цилиндре  |x|=1  в  пространстве  Rⁿ⁺¹  n-мерного  объёма

mesN(∑)  =  ∫mes_n-1N(σ(r))dr.

Если  для  гладкого  скалярного  поля  u(x)  с  регулярным  векторным  полем  τ(х)

конечны  интеграл  кривизны  и  многократный  интеграл  D(u,G)  =  ∫∫∫|gradu|ⁿdG,  то  выполняется  неравенство

J(u,G)^n-1D(u,G)  ≥  (mesN(∑))ⁿ.

Доказательство  основано  на  использовании  неравенства

∫∫|k|dσ(r)  ≥  mes_n-1N(σ(r).

Нужно  провести  его  интегрирование  по  параметру  r,  использовать  теорему  Фубини  и  применить  для  многократного  интеграла  неравенство  Гёльдера  с  показателем  p  =  n/(n-1).

Если  u(x)  —  экстремальная  функция  в  определении  конформной  ёмкости,  то  установленное  неравенство  даёт  её  оценку  снизу.  Так  получается  выход  на  теорию  квазиконформных  отображений.  Если  же  u(x)  —  одна  из  координатных  функций  q  —  квазиконформного  гомеоморфизма  f:G→Rⁿ  c  конечным  объёмом  |f(G)|,  то  (mesN(∑))ⁿ/  J(u,G)^n-1≤  q|f(G)|. 

Так  проявляется  принципиальная  возможность  оценивания  через  дилатацию  квазиконформного  отображения  числовых  характеристик,  связанных  с  рассмотрением  второго  дифференциала.

Список  литературы: 

1.Годунов  С.К.  Современные  аспекты  линейной  алгебры.  Новосибирск:    Научная  книга,  1997.  —  389  с.

2.Копанев  С.А.  Заметка  о  кривизне  линии  уровня  относительно  конформного    отображения  //  Вестник  Томского  государственного  университета.    Математика  и  механика.  —  2013.  —  №  3.  —  С.  34—36.

3.Магнус  Я.Р.,  Нейдеккер  Х.  Матричное  дифференциальное  исчисление  с  приложениями  к  статистике  и  эконометрике.  Пер.  с  англ.  /  Под  ред.  С.А.  Айвазяна.  М.:  Физматлит,  2002.  —  496  с.

4.Пешкичев  Ю.А.  Анизотропные  соболевские  классы  в  теории  отображений//  Сибирский  математический  журнал.  —  1993.  —  Т.  34.  —  №  1.  —  С.  121—124.

5.Пешкичев  Ю.А.  Непрерывность  по  Кудрявцеву  квазиконформных  отображений  //Известия  вузов.  Математика.  —  2001.  —  №  9(472).  —  С.  48—50.

6.Пешкичев  Ю.А.  Геометрические  аспекты  введения  понятия  послешварцевой  производной  в  комплексном  анализе  //  Новый  университет.  Серия  «Вопросы  естественных  наук».  —  2011.  —  №  2.  —  С.  6—9.

7.Пешкичев  Ю.А.  Прикладные  аспекты  теории  математического  матричного  поля  //  Теоретические  и  практические  аспекты  естественных  и  математических  наук.  Материалы  международной  заочной  научно-практической  конференции.  Новосибирск:  СибАК.  2012.  —  С.  7—11.