ОБ  ОДНОЙ  МНОГОТОЧЕЧНОЙ  КРАЕВОЙ  ЗАДАЧЕ  ВЫСОКОГО  ПОРЯДКА

Митрохин  Сергей  Иванович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент,  старший  научный  сотрудник  НИВЦ  МГУ  им.  М.В.  Ломоносова,  г.  Москва

E-mail: 

ABOUT  ONE  MULTIPOINT  BOUNDARY  VALUE  PROBLEM  OF  HIGH-ORDER

Sergey  Mitrohin

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  associate  professor,  senior  research  scientist  of  Research  Computing  Center  of  M.V.  Lomonosov  Moscow  State  University,  Moscow

АННОТАЦИЯ

В  работе  изучена  краевая  задача  для  дифференциального  оператора  нечётного  порядка  с  суммируемым  потенциалом  с  нерегулярными  граничными  условиями.  Получено  уравнение  на  собственные  значения,  изучена  индикаторная  диаграмма,  выведена  асимптотика  собственных  значений  изучаемой  краевой  задачи.

ABSTRACT

The  article  studies  a  boundary  value  problem  for  a  differential  operator  of  odd  order  with  summable  potential  with  irregular  boundary  conditions.  An  equation  on  eigenvalues  was  established;  an  indicator  diagram  was  studied;  asymptotics  of  eigenvalues  of  the  boundary  value  problem  in  question  was  found. 

Ключевые  слова:  Дифференциальный  оператор,  краевая  задача,  индикаторная  диаграмма,  собственные  значения,  асимптотика  решений.

Keywords:  differential  operator;  boundary  value  problem;  indicator  diagram;  eigenvalues;  asymptotics  of  solutions. 

Изучим  следующую  краевую  задачу  для  дифференциального  оператора  седьмого  порядка:

           (1)

с  многоточечными  граничными  условиями

            (2)

в  предположении,  что  потенциал    является  суммируемой  функцией  на  отрезке  :    почти  всюду  на  отрезке  .        (3)

Пусть  ,  причём  зафиксируем  ту  ветвь  арифметического  корня,  дл  я  которой  .  Пусть  ,  т.е.    —  различные  корни  седьмой  степени  из  единицы:

(4)

Впервые  дифференциальные  операторы  (второго  порядка)  с  суммируемым  потенциалом  изучались  в  работах  [1],  [2].

Методами  работ  [3—5]  доказывается  следующее  утверждение.

Теорема  1.  Общее  решение  дифференциального  уравнения  (1)  имеет  следующий  вид: 

            (5)

где:    —  произвольные  постоянные,  причём  при    справедливы  следующие  асимптотические  формулы:

                     (6)

                       (7)

            (8)

(9)

Из  формул  (7)—(9)  видно,  что 

                (10)

Из  формул  (5)  –  (10),  используя  граничные  условия  (2),  получаем: 

            (11)

Система  (11)  —  однородная  система  из  семи  линейных  уравнений  с  семью  неизвестными  .  Из  метода  Крамера  следует,  что  такая  система  имеет  ненулевое  решение    только  в  том  случае,  когда  её  определитель  равен  нулю.  Поэтому  справедлива  следующая  теорема.

Теорема  2.  Уравнение  на  собственные  значения  краевой  задачи  (1)—(2)  с  условием  суммируемости  потенциала  (3)  имеет  следующий  вид:

             (12)

причём  асимптотики  функций    определены  формулами  (6)—(10).

Подставляя  формулы  (6)—(7)  в  уравнение  (12),  разлагаем  определитель    на  сумму  определителей  по  столбцам,  находим:

                        (13)

где 

                     (14)

,  где    получается  из  определителя    из  (14)  заменой  -го  столбца  на  столбец  ,  при  этом  в  (14)  введено  обозначение

.                                     (15)

Основное  приближение  уравнения  (13)—(15)  имеет  вид  .  (16)

По  правилам  вычисления  определителей  имеем:

  (17)

при  этом  коэффициент  ,  т.  к.  перестановка  чисел    четная,  коэффициент    в  силу  того,  что  перестановка  чисел    нечётная.

В  общем  виде  уравнение  (14)—(17)  можно  выписать  в  следующем  виде:

                    (18)

где:  ,    —  знак  перестановки  чисел  ,  при  этом    при  .

Из  общей  теории  нахождения  асимптотики  корней  уравнений  вида  (12)—(13)  (см.  [6,  глава  12])  следует,  что  необходимо  изучить  индикаторную  диаграмму  уравнения  (14)  (или,  что  то  же  самое,  уравнения  (18)).

Для  изучения  индикаторной  диаграммы  необходимо  ответить  на  два  вспомогательных  вопроса:  1)  когда  достигается    и  2)  когда  достигается  ?  Имеем:

       (19)

при  этом  в  силу  формулы  (4)  получаем:

  (20)

  (21)

причём 

Из  формул  (19)—(21)  нетрудно  сообразить,  что    достигается,  если    (всего  8  комбинаций)  и  равен  он 

,  а    будет  в  случае      и  равен  он    (всего  одна  точка).  Изучая  эти  восемь  комбинаций,  получаем  вертикальный  отрезок  индикаторной  диаграммы  уравнения  (18):  точки  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  где    ,  при  этом  эти  точки  соответствуют  таким  перестановкам  чисел  :  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .

Понятно,  что  вторые  координаты  этих  точек  вычисляются  в  точном  виде: 

;,  и  т.  д.

Точка  ,  которой  соответствует  ,  имеет  координаты  ,  получается  при  перестановке  .

Изучая  более  подробно  индикаторную  диаграмму,  выясняем,  что  она  представляет  собой  14-ти-угольник  (правильный!!!)  ,    совпадает  с  точкой  ,    совпадает  с  точкой  ,    совпадает  с  точкой  ,  причём  все  эти  точки  расположены  на  окружности  с  центром    и  радиусом  .

Из  общей  теории  (см.  [6,  глава  12])  следует,  что  корни  уравнения  на  собственные  значения  (т.  е.  корни  уравнения  (13)—(15))  находятся  в  14-ти  секторах  бесконечно  малого  раствора,  биссектрисы  которых  являются  серединными  перпендикулярами  к  сторонам  индикаторной  диаграммы.

Изучим  асимптотику  собственных  значений  в  секторе  ,  который  соответствует  вертикальному  отрезку  индикаторной  диаграммы.  Из  общей  теории  следует,  что  справедлива  следующая  теорема.

Теорема  3.  Уравнение  на  собственные  значения  в  секторе    записывается  в  следующем  виде:

  (22)

Если  элементы  определителя    из  (12)  обозначить  ,  где  ,  то  с  помощью  формулы  (14)  обнаруживается  следующее  соответствие:  .  Поэтому  уравнение  (22)  можно  переписать  в  следующем  виде:

  (23)

Перегруппировывая  слагаемые,  уравнение  (23)  можно  записать  в  следующем,  более  удобном  виде:

               (24)

Таким  образом,  уравнение  (22)  на  собственные  значения  в  секторе    имеет  следующие  решения:

                          (25)

Например,  первые  из  уравнений  в  (25)  можно  выписать  более  подробно: 

            (26)

Более  подробно  уравнение  (26)  в  силу  формул  (6)  –  (7)  выглядит  так:

      (27)

Изучая  уравнение  (27)  методами  работ  [3]  -  [5],  доказываем  утверждение.

Теорема  4.  Асимптотика  собственных  значений  краевой  задачи  (1)—(2)—(3)  в  секторе    (серия  1)  имеет  следующий  вид:

            (28)

причём 

                (29)

Формулы,  аналогичные  формулам  (28)  и  (29),  справедливы  и  для  остальных  секторов  и  серий.

В  работе  [7]  изучалась  аналогичная  задача  для  оператора  четвёртого  порядка  с  гладким  потенциалом.

Список  литературы:

1.Винокуров  В.А.,  Садовничий  В.А.  Асимптотика  любого  порядка  собственных  значений  и  собственных  функций  краевой  задачи  Штурма-Лиувилля  на  отрезке  с  суммируемым  потенциалом  //  Дифференциальные  уравнения.  —  1998.  —  Т.  34,  —  №  10.  —  С.  1423—1426.

2.Винокуров  В.А.,  Садовничий  В.А.  Асимптотика  любого  порядка  собственных  значений  и  собственных  функций  краевой  задачи  Штурма-Лиувилля  на  отрезке  с  суммируемым  потенциалом  //  Известия  РАН.  Серия:  матем.  —  2000.  —  Т.  64,  —  №  4.  —  С.  47—108.

3.Митрохин  С.И.  Асимптотика  собственных  значений  дифференциального  оператора  четвёртого  порядка  с  суммируемыми  коэффициентами.  Вестник  Московского  университета.  Сер.1,  математика,  механика.  —  2009.  —  №  3.  —  С.  14—17.

4.Митрохин  С.И.  Спектральные  свойства  краевых  задач  для  функционально-дифференциальных  уравнений  с  интегрируемыми  коэффициентами.  Дифференциальные  уравнения,  —  2010.  —  Т.  46,  —  №  8.  —  С.  1085—1093.

5.Митрохин  С.И.  О  спектральных  свойствах  дифференциальных  операторов  нечётного  порядка  с  суммируемым  потенциалом  //  Дифференциальные  уравнения,  —  2011.  —  Т.  47,  —  №  12.  —  С.  1808—1811.

6.Беллман  Р.,  Кук  К.Л.  Дифференциально-разностные  уравнения.  М.:  Мир,  1967.  —  548  с.

7.Белабасси  Ю.  Регуляризованный  след  многоточечной  задачи  //  Вестник  Московского  университета.  Серия:  математика.  —  1981.  —  №  2.  —  С.  35—41.