КРАЕВАЯ  ЗАДАЧА  ГАЗЕМАНА  В  ДРОБНЫХ  ПРОСТРАНСТВАХ  БЕСОВА

Альсейтов  Амангельды  Гумарович

учитель  математики,  гимназия  «Умит»,  г.  Уральск,  Казахстан

E-mail: 

 

HASEMAN  BOUNDARU  VALUE  PROBLEM  IN  BESSOVʼS  FRACTIONAL  SPACES

Аlseitov  Аmangeldy

teacher  of  mathematics,  gymnasium  «Umit»,  Uralsk  city,  Каzakhstan

 

АННОТАЦИЯ

Настоящая  работа  посвящена  исследованию  краевой  задачи  Газемана  в  дробных  пространствах  Бесова.  Решение  поставленной  задачи  явно  выражено  через  интеграл  типа  Коши.  Доказана  полная  непрерывность  одного  интегрального  оператора  в  дробных  пространствах  Бесова.

ABSTRACT

This  work  is  devoted  to  the  research  of  Haseman  boundary  value  problem  in  Bessovʼs  fractional  spaces.  Solution  of  given  task  is  clearly  expressed  through  Cauchy-type  integral.  Is  was  completely  proven  continuity  of  a  certain  integral  operator  in  Bessovʼs  fractional  spaces.

 

Ключевые  слова:  краевая  задача  cо  сдвигом;  сингулярное  интегральное  уравнение;  интеграл  типа  Коши;  вполне  непрерывный  оператор;  краевая  задача  Газемана;  дробное  пространство.

Keywords:  boundary  value  problem  with  shift;  singular  integral  equation;  Cauchy-type  integral;  completely  continuous  operator;  Haseman  boundary  value  problem;  fractional  space.

 

Применение  дробных  пространств  к  изучению  разрешимости  краевых  задач  началось  в  начале  50-х  годов  прошлого  столетия.

В  настоящей  работе  изучается  одна  краевая  задача  со  сдвигом  в  дробных  пространствах  Бесова,  а  именно  задача  Газемана.  Краевыми  задачами  со  сдвигами  называются  задачи,  краевые  условия  которых  представляют  собой  линейные  соотношения  между  предельными  значениями  искомых  аналитических  функций,  вычисленными  в  различных  точках  границы.  С  такими  краевыми  задачами  тесно  связаны  сингулярные  уравнения,  линии  особенностей  которых  задаются  гомеоморфными  отображениями  контура  интегрирования  на  себя.

Впервые  краевую  задачу  со  сдвигом  предложил  рассматривать  С.  Газеман  в  работе  [13],  опубликованной  в  1907  г.  Поставленная  им  задача  обобщала  задачу  Римана  [6,  с.  106]  в  том  смысле,  что  предельное  значение  внутренней  компоненты  искомой  кусочно-аналитической  функции  вычислялось  в  точке  α(t),  полученной  из  t  сохраняющим  ориентацию  гомеоморфизмом  простого  замкнутого  гладкого  контура  Г  на  себя.  В  1932  г.  в  докладе  [14],  прочитанном  II  Международному  математическому  съезду,  Т.  Карлеман  поставил  носящую  ныне  его  имя  краевую  задачу  об  отыскании  аналитической  внутри  Г  функции  по  условию  линейного  сопряжения  её  граничных  значений  в  точках  t  и  a(t),  где  a(t)  —  изменяющий  ориентацию  на  Г  гомеоморфизм,  удовлетворяющий  условию  . 

Дальнейшее  развитие  теории  обеспечивалось  исключительно  трудами  математиков  бывшего  СССР.  Прежде  всего,  следует  отметить  основополагающие  работы  Д.А.  Квеселава  [7—10],  опубликованные  в  1946—1948  гг.  Используя  метод  интегральных  уравнений,  Д.А.  Квеселава  дал  для  случая  односвязной  области  полное  решение  задач  Газемана  и  Карлемана  для  ограниченной  односвязной  области  и  ещё  двух  аналогичных  задач. 

К  настоящему  времени  исследование  основных  краевых  задач  со  сдвигом  в  классической  постановке  приняло  почти  законченный  вид.  Но  до  сих  пор  остается  открытым  вопрос,  поставленный  Ф.Д.  Гаховым:  с  какого  максимально  широкого  класса  можно  взять  коэффициенты  задачи,  чтобы  решение  задачи  Римана  оставалось  в  классе  непрерывных  функций  [6,  с.  146].

Эллиптические  системы  дифференциальных  уравнений  первого  порядка  на  плоскости  и  краевые  задачи,  а  также  основы  общей  теории  обобщенных  аналитических  функций  в  дробных  пространствах  Никольского-Бесова  изучены  Н.К.  Блиевым,  и  основные  результаты  исследований  изложены  в  монографиях  [5],  [12].  Полученные  Н.К.  Блиевым  результаты  вполне  применимы  к  изучению  в  дробных  пространствах  Бесова   многих  краевых  задач  теории  функций.  Некоторые  результаты  в  этом  направлении  получены  И.А.  Абитбековым  [1],  [2].  Изучение  дифференциальных  уравнений  и  краевых  задач  к  ним  в  дробных  пространствах  без  предположения  достаточной  гладкости  коэффициентов  начато,  по-видимому,  в  работах  Н.К.  Блиева.

Рассмотрим  следующий  интегральный  оператор:

 

,  (1)

 

где:  Г  —  простой  замкнутый  контур  класса  Ляпунова  ,  ,  ограничивающий  конечную  область  точек    комплексной  плоскости,  а   a(t) обозначает  некоторую  непрерывную  функцию,  заданную  на  Г  и  переводящую  взаимно  однозначно  контур  Г  в  самого  себя  с  сохранением  направления.  Будем  считать,  что  функция  сдвига   a(t) имеет  производную    отличную  от  нуля  всюду  на  Г  и  принадлежащую  классу  Бесова    .

Известно,  что  если  a'(t)  из  класса  Гельдера,  то  оператор  K  вполне  непрерывен  [6],  [11].  Это  тем  более  верно,  когда  a'(t)  из  класса  бесконечно  дифференцируемых  в  Г  функций.  Ниже  рассмотрим  оператор  K  в  пространствах   . 

Рассмотрим  ядро  оператора  (1)

 

  (2)

 

и  оценим  её. 

Совершив  над  ядром    преобразование  и  учитывая  очевидные  равенства

 

,

,

 

Получим

 

.  (3)

 

По  условию  задачи  существует  производная  .  Как  известно,    [3],  т.е.  функция    является  непрерывной  на  .  Применяя  формулу  Лагранжа  о  конечных  приращениях,  имеем

 

  (4)

 

где:    и    на  контуре  .  Заметим,  что  .  Действительно,  по  условию    непрерывная  и  нигде    на  ,  поэтому  можно  подобрать  такое  число  ,  что  .  Отсюда  в  свою  очередь  следует,  что  .

 

Оценим  числитель  правой  части  (3) 

 

где:    —  независимая  постоянная. 

Далее,  обозначив,    будем  иметь 

 

     (5)

 

Для  получения  второго  неравенства  в  (5)  использовалось  неравенство  Гельдера.  Отметим,  что  оценку  (5)  можно  было  бы  получить,  рассматривая,  так  называемую  стандартную  дугу  контура    [11,  с.  16].

Объединив  (4)  и  (5)  получим  оценку  ядра

 

    (6)

где:  ,  а    как  и  выше  минимум  функции    на  контуре  .

Теперь  нетрудно  показать  ограниченность  оператора 

 

,  (1)

 

точнее,  верна  следующая  лемма.

Лемма  1.  В  пространстве    справедлива  следующая  оценка  нормы  оператора  : 

 

,  (7)

 

где:    ‒  независимая  постоянная.

Доказательство.  Используя  оценку  (6)  имеем

 

 

,

где:  —  полунорма  в  пространстве    [5,  с.  16].  Отсюда  следует  справедливость  оценки  (7). 

Теперь  перейдем  к  доказательству  основной  леммы. 

Лемма  2  (основная  лемма).  Пусть  .  Тогда  оператор    вполне  непрерывен  в  пространствах  . 

Доказательство.  Множество  бесконечно  дифференцируемых  на  контуре    функций    плотно  в  пространствах    [4].  В  силу  этого  существует  такая  последовательность  функций    из  пространства  ,  что

 

.  (8)

 

Очевидно,  что  при  каждом    оператор

 

  (9)

 

есть  вполне  непрерывный  оператор,  переводящий  в  себя. 

Поступая  так  же,  как  и  выше  приведем  ядро

 

  (10)

 

оператора    к  виду  (3) 

 

  (11)

и  рассмотрим  разность  ядер  (2)  и  (10) 

 

=

+

  .  (12)

 

В  силу  того,  что    и  ,  1,  2,  …  ,  непрерывно  дифференцируемые  функции,  применяя  теорему  о  конечных  приращениях,  имеем  оценку

 

  ,  (13)

 

где:  ,    —  положительная  постоянная.  В  силу    на    и    при    можем  считать,  что,  начиная  с  некоторого  номера  все  .

  Выше  (лемма  1)  было  доказано  нами,  что  оператор    ограничен  в  .  В  силу  этого  и  формул  (7)—(13)  будем  иметь 

 

+

+

,

 

где:    и  как  отмечено  выше  все    на  .

Откуда  в  силу  (8)  следует,  что

 

  при  .

 

Следовательно,  оператор    вполне  непрерывен  в  пространстве  ,    как  равномерный  предел  вполне  непрерывных  операторов    по  норме  этого  пространства.  Основная  лемма  доказана.

Перейдем  теперь  к  основному  вопросу  нашей  работы,  к  следующей  задаче  линейного  сопряжения  со  сдвигом,  называемой  также  краевой  задачей  Газемана.

Дан  замкнутый  простой  контур  класса  Ляпунова    ,  ,  делящий  комплексную  плоскость  на  две  части:  внутреннюю  область  ,  содержащую  начало  координат  и  внешнюю  область  ,  содержащую  бесконечно  удаленную  точку.  Положительным  направлением  на  контуре    будем  считать  то  направление,  которое  область    оставляет  слева.  На  контуре    заданы  функции    и    из  класса  Бесова  ,  ,  причем,    не  обращается  в  нуль  нигде  на  .  Считаем,  что    удовлетворяет  условию  .  Пусть  функция  ,  заданная  на  контуре    и  имеющая  отличную  от  нуля  производную  ,  ,  взаимно  однозначно  отображает  контур    на  себя  с  сохранением  направления.    будем  называть  функцией  сдвига.  Через    обозначим  функцию,  обратную  .  Легко  убедиться,  что  свойства    такие  же,  как  и  у  функции  .

Постановка  задачи:

Найти  кусочно-аналитическую  функцию  ,  имеющую  конечный  порядок  на  бесконечности,  удовлетворяющую  на    краевому  условию

 

.  (14)

 

  и  обозначают  пределы  ,  когда    стремится  к  точке  ,  соответственно,  из    и  . 

Эта  задача  представляет  естественное  обобщение  краевой  задачи  Римана  в  дробных  пространствах  Бесова,  рассмотренной  И.А.  Абитбековым  [1],  которая  соответствует  случаю  .

Законченное  решение  задачи  в  классическом  случае  впервые  было  дано  Д.А.  Квеселава  [7].  Позже  Ф.Д.  Гахов  решил  ее  несколько  иным  путем,  комбинируя  для  решения  задачи  метод  интегральных  уравнений  с  методом  конформного  склеивания  [6].  Мы  будем  следовать  методу  интегральных  уравнений,  предложенному  Д.А.  Квеселава  [7].

В  настоящей  работе  рассмотрим  задачу  Газемана  с  коэффициентом  и  свободным  членом  ,  принадлежащими  классу  непрерывных  функций  из  пространства  Бесова  Ì_®,  ,  но  _®  при  любом  ,  т.е.  в  нашем  случае    и    являются  непрерывными  на  ,  но  не  являются  непрерывными  по  Гельдеру.  Производная  функции  сдвига  ,  .  Как  увидим  ниже,  краевые  значения    и    искомой  кусочно-аналитической  функций  являются  непрерывными  (не  гельдеровыми)  функциями  на  .

Имеет  место  следующая  лемма  [7].

Лемма  3.  Если  кусочно-аналитическая  функция  ,  ограниченная  на  бесконечности,  удовлетворяет  на    краевому  условию

 

,

 

то    тождественно  равна  постоянному.

Если  ,  то  решением  задачи,  как  легко  видеть,  будет  функция  тождественно  равная  нулю.

Пусть  .  В  этом  случае  краевое  условие  (14)  примет  вид

 

.  (15)

 

Будем  искать  решение  этой  задачи  в  виде

 

  (16)

где    –  искомая  функция  точек  контура  ,  принадлежащая  ,  ,    —  произвольный  полином. 

В  силу  леммы  [5,  с.  59],  ,  .  Любой  полином  есть  функция  класса  ,  ,  .  Отсюда  и  из  леммы  [5,  с.  61],  следует,  что  Ì_®,  а  краевые  значения    и    принадлежат  пространству  Ì_®,  .

Из  формул  (16),  пользуясь  формулами  Сохоцкого,  справедливость  которых  в  классах  Бесова  доказана  Н.К.  Блиевым  [5,  с.  64],  получим

 

 

Подставляя  эти  выражения  в  краевое  условие  (15),  имеем:

 

.  (17)

 

По  основной  лемме  это  интегральное  уравнение  Фредгольма.  На  основании  леммы  3  однородное  уравнение    не  имеет  (нетривиального)  решения.  Следовательно,  неоднородное  уравнение  (17)  разрешимо  для  любой  правой  части.  Любой  полином    есть  функция  класса  ,  .  Нетрудно  доказать,  что  для    и  ,  ,  решение  уравнения  (17)  также  будет  из  этого  класса.  Согласно  следствия  1.4.2  [5,  с.  62],  особый  интеграл  с  ядром  Коши  переводит  функции  класса  ,    в  себя.  Это  тем  более  справедливо  для  интеграла  с  более  слабой  особенностью.  Любому  решению  уравнения  (17)  формула  (16)  приводит  в  соответствие  кусочно-аналитическую  функцию  ,  являющуюся  некоторым  решением  задачи  сопряжения  (15).

Пользуясь  леммой  3,  получим:

Теорема  1.  Любое  кусочно-аналитическое  решение  задачи  сопряжения  (16),  имеющее  конечный  порядок  на  бесконечности,  дается  формулами  (16),  где  —  произвольный  полином,  а    —  решение  интегрального  уравнения  (17).

Легко  заметить,  что  задача  сопряжения  (15)  имеет  единственное  решение,  исчезающее  на  бесконечности.  Это  решение  дается  формулой  (16),  где  нужно  положить  ,  а  под    подразумевается  решение  уравнения  (17)  при  .

Рассмотрим  теперь  задачу  сопряжения  с  однородным  краевым  условием

 

.  (18)

 

Число  ,  определяемое  формулой 

 

,

 

где  символ  [  ]_Г  обозначает  приращение  выражения,  заключенного  в  скобки,  при  обходе  контура    один  раз  в  положительном  направлении,  назовем  как  обычно,  индексом  заданной  на    функции  ,  или  индексом  задачи  сопряжения.

Предполагая,  что  точка    расположена  в  области  D⁺,  рассмотрим  функцию 

 

G₀(t)=  t^-χ  ×  G(t),

 

где  χ  индекс  функции  .  Очевидно,  что  индекс  функции    равен  нулю,  поэтому  под    на  контуре    будем  понимать  одну  определенную  произвольно  выбранную  ветвь,  непрерывно  меняющуюся  на  .  Функция    принадлежит  классу  ,    [1].

Функция,  определяемая  формулами

 

         (19)

  (20)

где:  —  решение  уравнения  ,  является  некоторым  (частным)  решением  однородной  задачи  сопряжения  (18).  Действительно,  из  формул  (20),  пользуясь  формулами  Сохоцкого,  получим

 

 

Подставляя  эти  выражения  в  (19),  имеем

 

  (21)

 

Рассмотрим,  далее,  задачу  сопряжения

 

  (22)

 

Запишем  ее  в  виде 

 

  (23)

 

Функция    имеет  нулевой  индекс.  Логарифмируя  (23),  получим

 

 

Учитывая  (21),  будем  иметь

 

  (24)

 

Определив  отсюда  ,  затем  по  формулам  (19)  и  (20)  найдем  .  Из  самого  хода  рассуждения  видно,  что  найденная  функция    является  решением  задачи  сопряжения  (22).  Эта  функция  ,  называемая  каноническим  решением  однородной  задачи  (18),  как  видно  из  (19),  нигде  на  конечном  расстоянии  в  нуль  не  обращается.  Порядок  канонического  решения  на  бесконечности  равен  (-χ).

Переписав  краевое  условие  (18)  в  виде

 

 

и  используя  теорему  1,  получим: 

Теорема  2.  Любое  кусочно-аналитическое  решение  однородной  задачи  сопряжения  (18),  имеющее  конечный  порядок  на  бесконечности,  дается  формулами 

 

 

где:    —  произвольный  полином, 

  —  каноническое  решение  задачи  (18)  и 

  —  решение  интегрального  уравнения  .

Если  χ£0,  то  однородная  задача  сопряжения  (18)  не  имеет  (нетривиального)  решения,  исчезающего  на  бесконечности;  если  χ  >  0,  то  она  имеет  ровно  χ  линейно  независимых  решений,  исчезающих  на  бесконечности. 

Перейдем  теперь  к  неоднородной  задаче  (14).  Пусть    —  каноническое  решение  однородной  задачи,  получаемой  из  (14)  при  .  Тогда  краевое  условие  (14)  можно  записать  в  виде

 

 

и  на  основании  теоремы  1  получается

Теорема  3.  Любое  кусочно-аналитическое  решение  неоднородной  задачи  сопряжения  (14),  имеющее  конечный  порядок  на  бесконечности,  дается  формулами

 

 

где:    —  произвольный  полином, 

  —  каноническое  решение  соответствующей  однородной  задачи  и 

  —  решение  интегрального  уравнения 

 

Список  литературы:

1.Абитбеков  И.А.  О  задаче  линейного  сопряжения  для  многосвязной  области  в  дробных  пространствах  //  Функциональный  анализ,  дифференциальные  уравнения  и  их  приложения  //  Сб.  научн.  тр.  —  Алматы,  —  1982.  —  С.  3—9.

2.Абитбеков  И.А.,  Блиев  Н.К.  О  разрешимости  обобщенной  задачи  Римана-Гильберта  для  многосвязной  области  в  дробных  пространствах  //  Изв.  АН  Каз  ССР.  —  Сер.  физ.  -мат.  —  1983.  №  1.  —  С.  1—4.

3.Бесов  О.В.  Об  условиях  существования  классического  решения  волнового  уравнения  //  Сиб.  матем.  журн.  —  1967.  —  Т.  8.  №  2.  —  С.  243—256.

4.Бесов  О.В.,  Ильин  В.П.,  Никольский  С.М.  Интегральные  представления  функций  и  теоремы  вложения.  М.:  Наука,  1975.  —  480  с.

5.Блиев  Н.К.  Обобщенные  аналитические  функции  в  дробных  пространствах.  Алма-Ата:  Наука,  1985.  —  160  с.

6.Гахов  Ф.Д.  Краевые  задачи.  —  М.:  Наука,  1977.  —  640  с.

7.Квеселава  Д.А.  Решение  одной  граничной  задачи  теории  функций  //  Докл.  АН  СССР.  —  1946.  —  Т.  53.  —  №  8.  —  С.  683—686.

8.Квеселава  Д.А.  Об  одной  граничной  задачи  теории  функций  //  Сообщ.  АН.  Груз.  ССР.  —  1946.  —  Т.  7.  —  №  9—10.  —  С.  609—614.

9.Квеселава  Д.А.  Решение  одной  граничной  задачи  теории  функций  Т.  Карлемана  //  Докл.  АН  СССР.  —–  1947.  —  Т.  55.  —  №  8.  —  С.  683—686.

10.Квеселава  Д.А.  Некоторые  граничные  задачи  теории  функций  //  Труды  Матем.  ин-та.  Груз.  ССР.  —  1948.  —  Т.  16.  —  С.  39—80.

11.Мусхелишвили  Н.И.  Сингулярные  интегральные  уравнения.  М.:  Физматгиз,  1968.  —  512  с.

12.Bliev  N.  Generalized  analytic  functions  in  fractional  Spaces.  —  Addison  Wesley  Longman  inc.,  1997.

13.Haseman  C.  Anwendung  der  Theorie  der  Integralgleichungen  auf  einige  Randwertaufgaben.  —  Göttingen,  1907.  —  192  p.

14.Karleman  T.  Sur  la  théorie  des  equations  intégrales  et  ses  applications  //  Verhandl.  des  Internat.  Mathem.  Kongr.  I.  —  Zürich,  —  1932.  —  P.  138—151.