УДИВИТЕЛЬНЫЕ  СВОЙСТВА  ПЕРВОЙ  ЧЕТВЕРКИ  ПРОСТЫХ  ЧИСЕЛ

Малаховский  Владислав  Степанович

д-р  ф.-мат.  наук,  заслуженный  деятель  науки  Российской  Федерации,  профессор  Балтийского  Федерального  университета  им.  И.  Канта,  г.  Калининград

E-mail: 

THE  AMAZING  PROPERTIES  OF  THE  FIRST  FOUR  PRIMES

Malakhovskii  Vladislav

doctor  of  physical  and  mathematical  Sciences,  Professor  Baltic  Federal  University.  I.  Kant.  Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

Показано,  что  простые  числа  2,3,5,7  удивительным  образом  порождают  конечные  подмножества  простых  чисел.

ABSTRACT

It  is  shown  that  the  primes  2,3,5,7  an  amazing  way  to  generate  a  finite  subset  of  Prime  numbers.

Ключевые  слова:  простое  число,  подмножество,  взаимозаменяемость.

Keywords:  a  Prime  number,  subset,  interchangeability

Ч.  Узерелл  утверждал,  что  всякий,  кто  изучает  простые  числа,  бывает  очарован  и  одновременно  ощущает  собственное  бессилие.  Определение  простых  чисел  так  просто  и  очевидно;  найти  очередное  простое  число  так  легко,  разложение  на  простые  сомножители  —  такое  естественное  действие.  Почему  же  простые  числа  столь  упорно  сопротивляются  попыткам  постичь  порядок  и  закономерности  их  расположения?  Может  быть,  в  них  вообще  нет  порядка,  или  же  мы  так  слепы,  что  не  видим  его?  [5].

В  рамках  теоретико-числовых  исследований,  связанных  с  всеобъемлющей  ролью  простых  чисел  в  математике  и  философии,  позволивших  автору  открыть  пять  удивительных  совокупностей  квадратных  трехчленов,  доказать  теорему  о  частичной  периодизации  и  получить  ряд  не  менее  значимых  результатов  [2],  обратимся  к  более  подробному  исследованию  первых  четырех  простых  чисел  2,3,4,5. 

Какие  же  закономерности,  неизвестные  доселе,  открывает,  казалось  бы,  тривиальная  числовая  последовательность?

Рассмотрим  подмножества  (1):

p*q  +  2^2n-1,

p*q  +  r*2^2n-1,

p  +  q*2^2n-1,

p  +  r*2^2n-1,

q+p*2^2n-1,

q+r*2^2n-1,

r  +  p*2^2n-1,

r  +p*2^2n-1,

r  +  q*2^2n-1,

где:  n=1,2,3,  а  p,  q,  r  —  попарно  различные  числа  из  множества  {3,5,7}.

Исследование  подмножеств  (1)  показало,  что  каждое  из  этих  подмножеств  состоит  из  трех  простых  чисел.

Действительно,  числа 

3*5  +  2^2n-1,

3*7  +  2^2n-1,

5*7  +  2^2n-1,

3*5  +  7*2^2n-1,

3*7  +  5*2^2n-1,

                                5*7  +  3*2^2n-1,                           (2)

3  +  5*2^2n-1,

5  +  3*2^2n-1,

7  +  3*2^2n-1,

3  +  7*2^2n-1,

5  +  7*2^2n-1,

7  +  5*2^2n-1,

при  n=  1,2,3  являются  различными  подмножествами  простых  чисел:

{17,  23,  47};

{23,  29,  53};

{37,  43,  67};

{29,  71,  239};

{31,  61,  181};

{41,  59,  131};

{13,  43,163};

{11,  29,  101};

{13,  31,103};

{17,  59,  227};

{19,  61,  229};

{17,  47,  167}.

Рассмотрим  следующие  подмножества,  образованные  посредством  исследуемой  четверки  простых  чисел:

3  +  5  +  7  +  2ⁿ  (n=  1,  2,3,4,5,  6  )  ;

3*5*7  +  2ⁿ  (n=  1,  2,3)

Оказывается,  что  они  также  состоят  из  простых  чисел:

{17,19,  23,  31,  47,  79};

{107,  109,  113}.

Порожденные  удивительной  четверкой  первых  простых  чисел  подмножества:

3  +  2ⁿ  (n=  1,  2,  3,  4)  ;

2  +  3ⁿ  (n=  0,  1,  2,  3,  4);

2*3  +  2ⁿ  +  3ⁿ  (n=  1,  2,  3,  4,  5);

2*5  +  5ⁿ  (n=  0,  1,  2,  3,  4);

2ⁿ  +  5ⁿ  (n=0,  1,  2);

5  +  2*3ⁿ  (n=  0,  1,  2,  3,  4,  5);

5  +  2*7ⁿ  (n=  0,  1,  2,  3);

3*  5ⁿ  +  2ⁿ  (n=  1,  2,  3);

3*  5  +  2ⁿ  (n=  1,  2,  3,  4,  5,  6);

3  +  2*5ⁿ  (n=  0,  1,  2);

3  +  2*7ⁿ  (n=  0,  1,  2);

3*5  +  2²ⁿ  (n=  0,  1,  2,  3,  4,  5)

также  являются  последовательностями  простых  чисел:

{5,  7,  11,19};

{3,  5,  11,  29,  83};

{11,  19,  41,  103,  281};

{11,  13,  19,  37};

{17,  23,  41};

{11,  17,  59,  353,  2401};

{7,  11,  31,  131,  631};

{2,  7,  29};

{7,  11,  23,  59,167,  491};

{7,  19,  103,  691};

{17,  79,  383};

{17,  19,  23,  31,  47};

{17,  19,  31,  271,  65551,  4294967311}

.

Из  изложенного  вытекает,  что  одним  из  наиболее  значимых  и  особенно  удивительных  свойств  исследуемых  простых  чисел  {3,5,7}  является  их  взаимозаменяемость  в  формулах  (1).

Список  литературы:

1. Малаховский  В.С.  Пространственная  модель  натуральных  чисел,  порожденная  подмножеством  простых  чисел.  Вестник  Калининградского  государственного  университета,  2000,  с.  106—112.
2. Малаховский  В.С.  Числа  знакомые  и  незнакомые.  Калининград,  Янтарный  сказ,  2004.  —  184  с.
3. Малаховский  В.С.,  Малаховский  Н.В.  О  компьютерном  моделировании  некоторых  числовых  систем  и  дискретных  семействах  пифагоровых  треугольников.  Вестник  Калининградского  государственного  университета  им.  И.  Канта,  серия  Информатика  и  телекоммуникации.  №  3,  2003,  С.  39—46.
4. Малаховский  В.С.  Подмножества  простых  чисел  в  обобщенных  арифметических  прогрессиях.  Вестник  Балтийского  федерального  университета  им.  И.  Канта.  Серия  физико-математические  науки,  №  10,  2011,  С.  128—131.
5. Уэзерелл  Ч.  Этюды  для  программистов.  М.  Мир,  1982.  —  288  с.