СХОДИМОСТЬ  ФУНКИОНАЛЬНЫХ  РЯДОВ  К  СВОЕЙ  СУММЕ

Корнеев  Антон  Александрович

студент  3  курса,  факультет  точных  наук  и  инновационных  технологий  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

E-mail:  predsedatel_2012@mail.ru

Дорошкевич  Ольга  Александровна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

 

Вводные  замечания

Пусть    —  числовая  варианта,  зависящая  от  ,  где  ,  а    —  функция  одной  действительной  переменной  ,  где  .

Исследуем  вопрос  равенства  пределов

 

 

Теорема  3.  Если  для  функции    существует  конечный  или  бесконечный  предел,  где    стремится  к  бесконечности  по  множеству  положительных  действительных  чисел,

 

 

то  для  этой  же  функции  существует  предел,  где    стремится  к  бесконечности  по  множеству  натуральных  чисел

 

 

равный  предыдущему  пределу

 

 

Доказательство.  Пусть  .  Тогда,  по  условию  теоремы,  .  Поэтому,  в  виду  того,  что  ,  .

На  примере  числового  ряда  рассмотрим  случай,  когда

 

 

Установим  сходимость  ряда

 

 

В  силу  того  что    ,  где  ,  и  ,  для  квадрата  тангенса  получаем  оценку

 

 

Здесь    может  быть  сколь  угодно  большим  конечным  числом,  ,  тогда  для  общего  члена  ряда  верна  оценка

 

 

Данный  ряд  сходится  по  теореме  сравнения  рядов  [1,  c.  264].

Любопытно  отметить,  что  сходимость  этого  ряда  нельзя  установить  с  помощью  интегрального  признака,  т.  к.  интегрируемая  функция  не  является  непрерывной  монотонно  убывающей  на  промежутке  .  Интегральный  признак  Маклорена-Коши  не  применим  [1,  с.  282].

 

 

Несобственный  интеграл

 

 

расходится,  хотя  необходимое  условие  сходимости  для  него  выполнено

 

 

Для  того  чтобы  убедиться  в  его  расходимости,  сформулируем  следующий  признак,  который  является  обобщением  признака  Коши  [1,  с.  561].

Признак  1.  Пусть  функция  для  достаточно  больших    имеет  вид

 

 

тогда  если  предел

 

 

равен  нулю,  то  несобственный  интеграл,  где 

 

 

сходится.

В  нашем  случае  для

 

 

получаем  следующую  оценку

 

Интеграл  расходится,  т.к.  предела

 

не  существует,  в  то  время  как

 

 

Пусть    —  предельная  функция,  определенная  в  точке  ,  а    —  предельная  функция,  определенная  в  точке  .

Исследуем  вопрос  их  равенства

 

 

Теорема  4.  Если  для  функции    существует  конечный  или  бесконечный  двойной  предел,  где    и    стремится  к  бесконечности  по  множеству  положительных  действительных  чисел,

 

 

то  для  этой  же  функции  существует  предел,  где  и    стремится  к  бесконечности  по  множеству  натуральных  чисел

 

 

равный  предыдущему  пределу

 

 

Доказательство.  Пусть  .  Тогда,  по  условию  теоремы,    и    и  .  Поэтому,  в  виду  того,  что  ,    и    и  .

Знакопостоянные  ряды

Сумму  бесконечного  функционального  ряда  обозначим  следующим  образом

 

 

И  его  частичную  сумму

 

 

Условия  поточечной  равномерности  и  непрерывности  предельного  члена  функционального  ряда  не  совпадают  с  условием  сходимости  ряда  и  с  условием  равномерной  сходимости  ряда,  они  являются  необходимыми  условиями  сходимости  функционального  ряда.  Когда  для  предельного  члена  функционального  ряда  будут  выполняться  необходимые  условия  сходимости  на  промежутке  ,  то  будем  говорить,  что  предельный  член  функционального  поточечно  равномерно  непрерывен  на  промежутке  .

В  следующей  теореме  показано,  как  соотносятся  понятия  поточечной  равномерной  непрерывности  предельного  члена  ряда  и  сходимости  его  к  своей  сумме

Теорема  5.  Если  предельный  член  ряда    поточечно  равномерно  непрерывен  на  промежутке    и  данный  ряд  сходится  хотя  бы  в  одной  точке  этого  промежутка,  отличной  от 

 

 

то  он  сходится  к  своей  сумме  на  этом  промежутке,  то  есть  допустим  предельный  переход  под  знаком  суммы

 

 

Доказательство.  Вопрос  о  сходимости  функционального  ряда  к  своей  сумме  на  промежутке    сводится  к  допустимости  предельного  перехода

 

 

который  в  силу  теоремы  2  правомерен,  и  к  равенству  повторных  пределов

 

 

первый  из  которых  равен  нулю  по  условию  теоремы  (ряд  сходится  хотя  бы  в  одной  точке  этого  промежутка)  и  второй  тоже  по  условию  (предельный  член  ряда  поточечно  равномерно  непрерывен).

Здесь  следует  отметить,  что  условие  равномерной  сходимости  является  достаточным  условием  сходимости  ряда  к  своей  сумме,  хотя  оно  не  является  необходимым.  То  есть  ряд  может  сходиться  к  своей  сумме,  даже  в  случае  неравномерной  сходимости.  Условие  же  поточечной  равномерной  непрерывности  общего  члена  ряда  вместе  с  условием  сходимости  этого  ряда  является  необходимым  и  достаточным  условием  сходимости  его  к  своей  сумме  и  распространяется  на  все  классы  знакопостоянных  и  знакопеременных  рядов.

1)  Установим  допустимость  предельного  перехода  под  знаком  суммы  для  ряда  на  промежутке 

 

 

В  силу  того,  что

 

 

Ряд  сходится  к  своей  сумме  на  промежутке    по  теореме  сравнения  рядов  [2,  c.  264].  При    предельный  член  ряда  терпит  разрыв

 

 

поэтому  он  является  расходящимся.

Заметим,  что  предельная  функция  в  этой  точке  равномерна,  хотя  не  является  непрерывной  (не  определена  в  этой  точке)

 

 

Обобщая  признак  1  на  случай  несобственных  интегралов  с  параметром  можно,  в  частности,  получить  признак,  в  котором  условие  поточечной  равномерности  общего  члена  ряда  объединено  с  условием  сходимости  ряда:

Признак  2.  Пусть  для  достаточно  больших    общий  член  функционального  ряда    имеет  вид

 

 

тогда  если  предельная  функция    поточено  равномерно  непрерывна  на  промежутке  ,  то  есть

 

 

то  ряд    сходится  к  своей  сумме  на  этом  промежутке,  то  есть  допустим  предельный  переход  под  знаком  суммы.

Рассмотрим  пример  на  применение  этого  признака

2)  При  каких    и    ряд  сходится  к  своей  сумме  на  промежутке  ,  в  предположении,  что 

 

 

Предельная  функция    непрерывна  на  всем  промежутке

 

 

и  поточечно  равномерна  на  промежутке 

 

 

ряд  сходится  к  своей  сумме  на  этом  промежутке  при    и    или    и  .  Найдем    и  ,  при  которых  двойной  предел  равен  нулю  для 

 

 

Полагая 

 

 

и  переходя  к  полярным  координатам,  получаем 

 

 

Ряд  сходится  к  своей  сумме  при    и    или    и  .

Следующий  признак  является  обобщением  предыдущего  на  более  широкий  класс  функций 

Признак  3.  Пусть  для  достаточно  больших    общий  член  функционального  ряда    имеет  вид

 

 

тогда  если  предельная  функция    поточено  равномерно  непрерывна  на  промежутке  ,  то  есть

 

 

то  ряд    сходится  к  своей  сумме  на  этом  промежутке,  то  есть  допустим  предельный  переход  под  знаком  суммы.

Следующая  теорема  устанавливает  допустимость  дифференцирования  под  знаком  суммы

Теорема  6.  Если  предельный  член  ряда

 

 

поточечно  равномерно  непрерывен  на  промежутке    и  данный  ряд  сходится  хотя  бы  в  одной  точке  этого  промежутка,  отличной  от 

 

 

то  для  ряда    допустимо  дифференцирование  под  знаком  суммы  на  этом  промежутке

 

 

Доказательство.  Вопрос  о  сходимости  функционального  ряда  к  своей  сумме  на  промежутке    сводится  к  допустимости  предельного  перехода

 

 

который  в  силу  теоремы  2  правомерен,  и  к  равенству  повторных  пределов

 

 

первый  из  которых  равен  нулю  по  условию  теоремы  (ряд  сходится  хотя  бы  в  одной  точке  этого  промежутка)  и  второй  тоже  по  условию  (предельный  член  ряда  поточечно  равномерно  непрерывен).

Следующая  теорема  устанавливает  допустимость  интегрирования  под  знаком  суммы

Теорема  7.  Если  предельный  член  ряда

 

 

поточечно  равномерно  непрерывен  на  промежутке    и  данный  ряд  сходится  хотя  бы  в  одной  точке  этого  промежутка,  отличной  от 

 

 

то  для  ряда    допустимо  почленное  интегрирование  на  этом  промежутке

 

 

Доказательство.  Вопрос  о  сходимости  функционального  ряда  к  своей  сумме  на  промежутке    сводится  к  допустимости  предельного  перехода

 

 

который  в  силу  теоремы  2  правомерен  и  к  равенству  повторных  пределов

 

 

первый  из  которых  равен  нулю  по  условию  теоремы  (ряд  сходится  хотя  бы  в  одной  точке  этого  промежутка)  и  второй  тоже  по  условию  (предельный  член  ряда  поточечно  равномерно  непрерывен).

Сходимость  знакопеременных  рядов

Пусть  предельная  функция  имеет  вид

 

 

где:  ,  отличная  от  нуля,  и 

.  Для  предельных  функций  такого  вида  условия  равномерности  и  непрерывности  тождественны,  то  есть  повторный  предел  всегда  равен  двойному  пределу

 

 

Знакочередующийся  ряд  представим  в  следующем  виде

 

 

Разделяя  общий  член  ряда  по  четным  и  нечетным  индексам  (члены  ряда  в  данном  случае  не  переставляются),  получаем

 

 

Данное  преобразование  подразумевает  что

 

 

Ввиду  вышеизложенного  справедлив  следующий  признак,  который  является  обобщением  теоремы  Лейбница  [2,  c.  302].

Теорема  8.  Если  члены  знакопеременного  функционального  ряда  монотонно  убывают  по  абсолютной  величине  для  всех    на  промежутке  :

 

 

и  предельный  член  ряда  непрерывен  по  абсолютной  величине:

 

 

то  ряд  сходится  к  своей  сумме  на  этом  промежутке,  то  есть,  допустим,  предельный  переход  под  знаком  суммы. 

Проверим  допустимость  предельного  перехода  под  знаком  суммы  на  промежутке    для  следующих  рядов

 

 

В  силу  того,  что

 

 

и  того,  что  члены  функционального  ряда  монотонно  убывают  для  всех    на  данном  промежутке,  то  ряд  сходится  к  своей  сумме  на  всем  промежутке.

 

 

В  силу  того,  что

 

 

и  того,  что  члены  функционального  ряда  монотонно  убывают  для  всех    на  данном  промежутке,  то  ряд  сходится  к  своей  сумме  на  всем  промежутке.

 

3)   

 

В  силу  того,  что

 

 

нулевой  член  ряда  для    непрерывен

 

 

и  того,  что  члены  функционального  ряда  монотонно  убывают  для  всех    на  данном  промежутке,  то  ряд  сходится  к  своей  сумме  на  всем  промежутке.

4)

 

 

В  силу  того,  что

 

 

нулевой  член  ряда  для    терпит  разрыв

 

 

и  того,  что  члены  функционального  ряда  монотонно  убывают  для  всех    на  промежутке  ,  то  ряд  сходится  к  своей  сумме  на  этом  промежутке.  Предельный  переход  под  знаком  суммы  в  точку    не  допустим.

5)

 

 

В  силу  того,  что

 

 

нулевой  член  ряда  для    непрерывен

 

 

и  того,  что  члены  функционального  ряда  монотонно  убывают  для  всех    на  данном  промежутке,  то  ряд  сходится  к  своей  сумме  на  всем  промежутке.

6)

 

В  силу  того,  что

 

 

нулевой  член  ряда  для    непрерывен

 

 

и  того,  что  члены  функционального  ряда  монотонно  убывают  для  всех    на  данном  промежутке,  то  ряд  сходится  к  своей  сумме  на  всем  промежутке.

Фихтенгольцем  было  показано,  что  ряды  3),  5),  6)  сходятся  неравномерно  к  своей  сумме,  а  ряд  4)  неравномерно  не  к  своей  сумме  в  точке  .  Этим  показано,  что  теория  предельных  функций  является  более  общей  теорий  в  установлении  допустимости  предельного  перехода  под  знаком  суммы,  чем  теория  равномерной  сходимости  рядов.

 

Список  литературы:

1.Корнеев  А.А.,  Дорошкевич  О.А.  Теория  предельных  функций  //  Вопросы  естественных  и  математических  наук:  мат-лы  междунар.  науч.-практ.  конф.

2.Фихтенгольц  Г.М.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления:  учебник:  в  3  т.  Т.  2.  —  9-е  изд.,  стер.  —  СПб.:  Лань,  2009.  —  800  с.:  ил.  —  (Учебники  для  вузов.  Специальная  книга).