ТЕОРИЯ  ПРЕДЕЛЬНЫХ  ФУНКЦИЙ

Корнеев  Антон  Александрович

студент  3  курса,  факультет  точных  наук  и  инновационных  технологий  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

E-mail:  predsedatel_2012@mail.ru

Дорошкевич  Ольга  Александровна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

 

Пусть    —  функция  двух  переменных,  определенная  на  множестве  .  Все  точки  области  определения  этой  функции  разделим  на  три  группы:

,  где    и 

Эти  точки  являются  внутренними  точками  множества  .

,  где    и 

В  окрестности  таких  точек  не  существует  точек,  отличных  от  их  самих,  поэтому  точки  такого  вида  являются  изолированными  точками  [1,  c.  64].

,  где    и 

Окрестность  существует  только  для    в  смысле  .

,  где    и 

Окрестность  существует  только  для    в  смысле  . 

Поэтому  любая  окрестность  таких  точек  содержит  бесконечно  много  точек  из  ,  то  есть  точки  такого  вида  являются  предельными  точками  [1,  c.  64].

Класс  функций,  определенных  в  предельных  точках,  назовем  классом  предельных  функций.

Функции,  заданные  в  области  ,  будут  предельными

И  функция,  заданная  в  области 

Непрерывность  предельных  функций  на  промежутке

Предельную  функцию    назовем  непрерывной  на  промежутке  или  ,  если  для  всех  точек  или    из  этого  промежутка  существует  повторный  предел  равный  одной  константе  на  всем  промежутке

 

 

Предельный  переход  к    и  или    осуществляется  при  фиксированном  или  .

Если  же  значение  повторного  предела  не  равно  константе  или  равно  константе  не  равной  ,  в  какой  либо  точке  промежутка,  то  предельная  функция  в  этой  точке  терпит  разрыв.

Повторный  предел,  очевидно,  имеет  вид

 

 

Где

 

 

Исследуем  на  непрерывность  предельные  функции,  заданные  в  области 

 

 

Т.  к.

 

 

то,  предельная  функция  непрерывна  в  заданном  промежутке.

Т.  к.

 

 

И

 

 

то  предельная  функция  непрерывна  на  промежутке    и  терпит  разрыв  в  точке  .

Т.  к.

 

 

то,  предельная  функция  непрерывна  в  заданном  промежутке.

Т.  к.

 

 

то,  предельная  функция  непрерывна  в  заданном  промежутке.

  И  функцию,  заданную  в  области 

Т.  к.

 

 

И

 

 

то  предельная  функция  непрерывна  на  интервале    и  терпит  разрыв  в  точках  .

Равномерность  предельных  функций  на  промежутке

Особенно  интересен  характер  поведения  предельной  функции    в  точке  ,  в  которой  существует  конечный  простой  предел  равный  константе

 

 

Здесь  возникает  следующий  вопрос:  будет  ли  предельная  функция    равномерной  в  этой  точке?  То  есть  точка    будет  являться  потенциальной  точкой  неравномерности  предельной  функции  .

Сформулируем  определение  равномерности  для  предельной  функции  для  некоторого  промежутка  на  «языке  »:

Определение  1.  Если  для  любого  числа    существуют  такие    и  ,  что  для  всех  точек  ,  координаты  которых  удовлетворяют  неравенства

 

  и 

 

где:  ,  выполнятся  неравенство

 

 

то  предельная  функция    равномерна  по    в  замкнутом  промежутке  .

Или  что  тоже

Определение  1*.  Предельная  функция    равномерна  по    в  замкнутом  промежутке  ,  если  для  нее  существует  двойной  предел  при    и    ,  где  ,  равный  одной  константе  всем  промежутке

 

 

Равномерность  предельной  функции  не  гарантирует  ее  непрерывность,  обратное  же  утверждение  в  общем  (но  не  в  частном)  случае  неверно.  Имеет  место  менее  сильное  определение  равномерной  непрерывности  предельной  функции.

Теорема  1.  Предельная  функция    равномерно  непрерывна  по    в  замкнутом  промежутке  ,  если  существует  простой  предел  по    как  функция  одной  переменной 

 

 

и  повторный  предел,  равный  одной  константе  на  всем  промежутке

 

 

По  самому  определению  равномерности  предельной  функции  приходим  к  следующему  утверждению

Теорема  2.  Если  предельная  функция    равномерно  непрерывна  по    на  некотором  промежутке  ,  то  есть

 

 

то  допустим  предельный  переход

 

 

Поточечная  равномерность  предельных  функций  на  промежутке

Для  класса  предельных  функций  понятие  их  равномерности  на  промежутке  отлично  от  понятия  равномерности  в  точке.  К  примеру,  при  определении  равномерности  предельной  функции    в  точке  ,  может  случиться  так,  что  двойной  предел  в  этой  точке  будет  равен  константе  и  не  будет  равен  двойному  пределу  на  промежутке  ,  то  есть

 

 

Хотя

 

 

Поэтому  если  попытаться  переформулировать  определение  1  со  случая  равномерности  предельной  функции  на  промежутке  для  случая  равномерности  предельной  функции  в  точке,  то  точка  неравномерности  функции  будет  принята  за  точку  равномерности,  что  обязательно  приведет  к  ошибке.  Поэтому  класс  рассматриваемых  функций  должен  быть  сужен.  Необходимо  положить  ,  тогда  для  повторного  предела  будем  иметь

 

 

Сформулируем  определение  равномерности  для  предельной  функции  в  точке    на  «языке  »:

Определение  2.  Если  для  любого  числа    существуют  такие    и  ,  что  для  всех  точек  ,  координаты  которых  удовлетворяют  неравенствам

 

  и 

 

выполнятся  неравенство

 

 

то  предельная  функция    равномерна  в  точке  .

Или  что  тоже

Определение  2*.  Предельная  функция    равномерна  в  точке  ,  если  для  нее  существует  двойной  предел  при    и    равный  нулю

 

 

Требование  равномерности  предельной  функции  в  любой  точке  промежутка  сильнее  требования  равномерности  предельной  функции  на  промежутке.

Предельную  функцию    будем  называть  поточечно  равномерной  по    на  некотором  промежутке  ,  если  она  равномерна  в  любой  точке  этого  промежутка.

Сформулируем  определение  поточечной  равномерности  предельной  функции  на  промежутке  на  «языке  »:

Определение  3.  Если  для  любого  числа    существуют  такие    и  ,  что  для  всех  точек  ,  координаты  которых  удовлетворяют  неравенствам

 

  и 

 

где:  ,  выполнятся  неравенство

 

 

то  предельная  функция    поточечно  равномерна  по    в  замкнутом  промежутке  .

Или,  что  тоже

Определение  3*.  Предельная  функция    поточечно  равномерна  по    в  замкнутом  промежутке  ,  если  она  равномерна  в  любой  точке  этого  промежутка,  то  есть  существует  двойной  предел  при    и    ,  где    ,  равный  нулю

 

 

Исследуем  на  равномерность  предельные  функции,  заданные  в  области

 

По  теореме  1  получаем

 

 

Полагая    в

 

 

Получаем

 

 

А  переходя  к  полярным  координатам  ,  будем  иметь

 

 

Отсюда  следует,  что  предельная  функция  поточечно  равномерна  в  заданном  промежутке.

По  теореме  1  получаем

 

 

Полагая    в

 

 

Получаем

 

 

А  переходя  к  полярным  координатам  ,  будем  иметь

 

 

Отсюда  следует,  что  предельная  функция  поточечно  равномерна  на  промежутке    и  неравномерна  в  точке  .

По  теореме  1  получаем

 

 

Полагая    в

 

 

Получаем

 

 

А  переходя  к  полярным  координатам  ,  будем  иметь

 

 

Отсюда  следует,  что  предельная  функция  поточечно  равномерна  на  промежутке    и  неравномерна  в  точке  .

По  теореме  1  получаем

 

 

Полагая    в

 

 

Получаем

 

 

А  переходя  к  полярным  координатам  ,  будем  иметь

 

 

Отсюда  следует,  что  предельная  функция  поточечно  равномерна  на  промежутке    и  неравномерна  в  точке  .

  И  предельной  функции,  заданной  в  области 

 

 

По  теореме  1  получаем

 

А  для    имеем

 

 

Отсюда  следует,  что  предельная  функция  поточечно  равномерна  на  интервале    и  неравномерна  в  точках  .

 

Список  литературы:

1.Колмогоров  А.Н.,  Фомин  С.В.  Элементы  теории  функций  и  функционального  анализа.  —  7-е  изд.  —  М.:  ФИМАТЛИТ,  2012.  —  572  с.  —  ISBN  978-5-9221-0266-7.

2.Фихтенгольц  Г.М.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления:  учебник:  в  3  т.  Т.  1.  —  9-е  изд.,  стер.  —  СПб.:  Лань,  2009.  —  608  с.:  ил.  —  (Учебники  для  вузов.  Специальная  книга).