РАЗЛОЖЕНИЕ  ДВОЙНЫХ  ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ  РЯДОВ  КОМПЛЕКСНОГО  И  ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО  ПЕРЕМЕННОГО  ПО  БЕСКОНЕЧНЫМ  ДИАГОНАЛЯМ

Корнеев  Антон  Александрович

студент  3  курса,  факультет  точных  наук  и  инновационных  технологий  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

E-mail:  predsedatel_2012@mail.ru

Дорошкевич  Ольга  Александровна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

Разложение  двойных  рядов  по  бесконечным  диагоналям  [3,  с.  61]  справедливо  и  для  двойного  функционального  ряда.

Теорема  4.  Если  двойной  функциональный  ряд 

сходится  равномерно  по    и  для  всех  действительных  значений    (или  комплексных  чисел  ),  лежащих  внутри  интервала    (или  принадлежащих  некоторому  открытому  множеству  комплексных  чисел  ),  где    (),то  имеет  место  разложение  данного  ряда  по  бесконечным  диагоналям

Доказательство.  Учитывая  то,  что  подобное  разложение  имеет  место  для  числовых  рядов  [4]и,  используя  возможность  предельного  перехода  под  знаком  суммы  для  равномерно  сходящихся  рядов,  можно  обобщить  его  на  случай  функциональных  рядов  действительного  и  комплексного  переменного.  Необходимость  условия  равномерной  сходимости  очевидна,  ибо  в  противном  случае  был  бы  недопустим  предельный  переход  к  некоторому  ,  лежащему  внутри  интервала    (или  к  некоторому  ,  принадлежащему  некоторому  открытому  множеству  комплексных  чисел  ).

Заметим,  что  если  ряд  разделим  по  индексам,  нам  достаточна  равномерная  сходимость  каждого  ряда  в  отдельности  [4].

  Вычислим  сумму  двойного  функционального  ряда  действительного  переменного,  разложив  его  по  бесконечным  диагоналям, 

Т.  к.  двойной  ряд  разделим  по  индексам

И  в  заданных  интервалах  ряды  сходятся  равномерно,  то  допустимо  разложение

Приведение  разложения  двойных  функциональных  комплексных  рядов  по  бесконечным  диагоналям  к  рядам  лорановского  типа

Нами  доказана  справедливость  данного  разложения

Приведем  формулу  разложения  двойных  функциональных  рядов  комплексного  переменного  по  бесконечным  диагоналям  к  другому  виду

Во  второй  сумме

заменим    на

и  на 

Окончательно  получаем  разложение  в  следующем  виде

  при    и    при 

Если  для  разложения  двойных  функциональных  рядов  комплексного  переменного  по  бесконечным  диагоналям  выполняется  условие:

  или

,  где;  ;  и  —  комплексные  числа,  то  данное  разложение  есть  разложение  в  ряд  Лорана

где  коэффициент    определяется  следующим  образом

Заметим,  что  если    для  всех    и  ,  то

Когда  в  разложении  данное  равенство  будет  иметь  место,  то  будем  полагать  ,  ибо  в  таких  случаяхкоэффициент  однозначно  определяется  для  и  .

Если  положить  ,  то  будем  иметь 

Далее  будем  рассматривать  аналитически  продолженные  функции  [2,  с.  74].

  Рассмотрим  производящую  функцию    для  бесселевых  функций  [1,  с.  14],  где    и    —  независимые  комплексные  переменные,

Первый  ряд  в  произведении  сходится  равномерно  для  всех  конечных  и    по  признаку  Вейерштрасса  [2,  с.  21],  ибо  найдутся  такие  и,  при  которых  будет  выполняться  неравенство

Второй  ряд  сходится  равномерно  для  всех  и  ,  за  исключением  ,  по  признаку  Вейерштрасса,  ибо  найдутся  такиеи,  при  которых  будет  выполняться  неравенство

Т.  к.  двойной  ряд  сходится  равномерно  и  условие  приведения  разложения  к  ряду  лорановского  типа  выполнено,  то  получаем

для  целых    имеем

а  для  целых 

  Найдем  сумму  ряда,  где    —  независимая  комплексная  переменная

Данный  ряд  можно  представить  в  форме  повторных  рядов

Они  сходятся  равномерно  по  признаку  Вейерштрасса  в  силу  того,  что  найдется  такое  ,  при  котором  будут  выполняться  неравенства

В  силу  равномерной  сходимости  получаем

Или,  используя  свойство

Имеем

Где  ряды,  полученные  разделением  четных  и  нечетных  индексов  ,  очевидно,  есть  разложения

Хотя,  мы  могли  бы  найти  эту  сумму  из  примера  6)  путем  предельного  перехода  под  знаком  суммы  при  ,  что,  очевидно,  правомерно  в  силу  его  равномерной  сходимости.

Представим  функции    и  в  форме  произведения  двух  рядов  и  разложим  полученные  двойные  ряды  по  бесконечным  диагоналям,    —  независимые  комплексные  переменные,  , 

Первый  ряд  в  произведении  сходится  равномерно  для  всех    по  признаку  Вейерштрасса,  ибо  найдутся  такиеи,  при  которых  будет  выполняться  неравенство

Второй  ряд  сходится  равномерно  для  всех  ,  за  исключением  ,  по  признаку  Вейерштрасса,  ибо  найдутся  такиеи,  при  которых  будет  выполняться  неравенство

Т.  к.  двойной  ряд  сходится  равномерно  и  условие  приведения  разложения  к  ряду  лорановского  типа  выполнено,  то  получаем

И  для  другой  функции

Оба  ряда  сходятся  равномерно  для  всех  конечных    по  признаку  Вейерштрасса,  ибо  найдется  такое  ,  при  котором  будет  выполняться  неравенство

Получаем

Хотя  данное  разложение  можно  было  получить,  из  первого,  перейдя  в  нем  к  пределу  под  знаком  суммы  при    и  ,  что  правомерно,  в  силу  установленной  выше  равномерной  сходимости.

Получили  разложения

Первая  функция  есть  производящая  функция  для  функций  Инфельда  [1,  с.  17].  Условие  приведения  разложения  двойного  ряда  по  бесконечным  диагоналям  к  ряду  лорановского  типа,  очевидно,  выполнено.

Второе  разложение  —  есть  разложение  комплексной  экспоненциальной  функции  по  функциям  Инфельда.  Заметим,  что  разложение  верно  и  для  экспоненциальной  функции  действительной  переменной.

  Выполним  для  производящей  функции  для  функций  Инфельда  некоторые  преобразования

При    и    получаем  формулу

При    получаем

При 

Отсюда  следует,  что  первые  три  слагаемые  четны,  а  два  последующие  —  нечетны.

Список  литературы:

1.Бейтмен  Г.,  А.  Эрдейн  Высшие  трансцендентные  функции.  Функции  Бесселя,  функции  параболического  цилиндра,  ортогональные  многочлены.  —  М.:  наука,  1966.  —296  с.:  ил.  —  (серия:  «справочная  математическая  литература»).

2.Евграфов  М.А.  Аналитические  функции:  учеб.пособие.  4-е  изд.,  стер.  —  СПб.:  Лань,  2008.  —  448  с.  —  (Учебники  для  вузов.  Специальная  книга).

3.Корнеев  А.А.  Разложение  S-кратных  рядов  по  бесконечным  диагоналям  для  двух  и  трех  индексов  //  Теория  и  практика  современной  науки:  мат-лы  V  Междунар.  науч.-практ.конф.:  в  2  т.  Т.  1.  —  М.:  Спецкнига,  2012.

4.Корнеев  А.А.  Обобщение  теории  двойных  рядов  Прингсгейма  //  Тенденции  развития  естественных  и  математических  наук:  мат-лымеждунар.  науч.-практ.  конф.,  2013.