СВОЙСТВО КОСЕМАНТИЧНОСТИ ДЛЯ ПОЗИТИВНЫХ ФРАГМЕНТОВ И ИХ МОДЕЛЕЙ В ОБОГАЩЕННОЙ СИГНАТУРЕ

PROPERTY OF COSMETICITY FOR POSITIVE FRAGMENTS AND THEIR MODELS IN THE SATURATED SIGNATURE

Aibat Yeshkeyev

named after E. A. Buketov Karaganda State University

Doctor of  Physical and Mathematical Sciences, Professor

Head.Of  Department of Algebra, Mathematical logic

and Geometry. Named after prof. T.G.Mustafin

Kazakhstan, Karaganda

Amirzhan Mukanov

named after E. A. Buketov Karaganda State University

Сandidate of  Physical and Mathematical Sciences, Docent

Docent  оf  Department of Algebra, Mathematical logic

and Geometry. Named after prof. T.G.Mustafin

Kazakhstan, Karaganda

Kasymetova Maira

named after E. A. Buketov Karaganda State University

Master of  Mathematical Sciences

Senior Lecturer оf  Department of Algebra, Mathematical logic

and Geometry. Named after prof. T.G.Mustafin

Kazakhstan, Karaganda

Shamatayeva Nazgul

named after E. A. Buketov Karaganda State University

Doctoral student of 2st course, speciality «6D060100-Mathematics"

Kazakhstan, Karaganda

АННОТАЦИЯ

Работа по своему содержанию относится к теории моделей. Тематика данной статьи связана с изучением неполных  индуктивных теорий. В частности расматриваются теоретико-модельные свойства йонсоновских теорий, которые образуют естественный подкласс индуктивных теорий. В работе рассматриваются некоторые свойства  атомных и простых моделей -теорий в обогащенной сигнатуре.

ABSTRACT

The work under the maintenance concerns to the model theory.The theme of the given article  is connected with studying incomplete inductive theories. In particula, it is considered model-theoretical properties of jonsson’s theories which form a natural subclass of inductive theories. In  the work some properties of atomic and prime models of  theories in the enriched signature are considered.

Ключевые слова: йонсоновский теория, индуктивная теория, йонсоновский фрагмент, центральный тип, косемантичность.

Keywords: the Jónsson theory, inductive theory, Jonnson fragment, the central type, cosemanticness.

Данный статья связан с обогащением сигнатуры. В своё время при изучении стабильности теории и понятия элементарной пары моделей Мустафиным Т.Г. было замечено, что эти вещи между собой связаны и он ввел понятие Т*-стабильности [3,с.112-125].

На самом деле, при этом рассматривается некоторое обогащение сигнатуры. Вообще говоря, полученные теории в расширенном языке неполны, поэтому ищется число таких пополнений этих теорий. Вот это число и определяло стабильность в смысле Т*-стабильности. Палютиным Е.А. в работе [4,с.194-210] было замечено, что понятие Т*-стабильности не инвариантно относительно определимости типа. Но мы знаем, что в классическом смысле С.Шеллаха стабильность теории инвариантна относительно определимости типа. Поэтому Палютиным Е.А. было введено понятие Е*-стабильности, которое сохраняло определимость типа.

Одним из авторов данной статьи [1,с.128] была рассмотрена данная постановка задачи для йонсоновских теорий. Назовём в классе йонсоновских теорий или в позитивных йонсоновских теориях () обогащение сигнатуры допустимым, если получаемая стабильность в рассматриваемом случае будет инвариантна относительно определимости типа. В данном статье все рассматриваемые обогащения являются допустимыми. Пусть обогащение будет следующим , где P символ одноместного предиката, с символ новой константы.

В связи с допустимыми обогащениями раннее одним из авторов данной работы было введено понятие центрального типа. На языке центральных типов транслируются многие теоремы, полученные до обогащения сигнатуры.  В данном статье мы рассмотрим аналогичные вопросы для центральных типов позитивных обобщений йонсоновских фрагментов.

Пусть   есть произвольный  – йонсоновский фрагмент в языке первого порядка сигнатуры . Пусть  является семантической моделью йонсоновского фрагмента . . Пусть , где  есть бесконечное множество предложений, выражающих тот факт, что интерпретация символа P есть экзистенциально-замкнутая подмодель в языке сигнатуры . Рассмотрим все пополнения йонсоновского фрагмента  для йонсоновского фрагмента  в языке сигнатуры ,где  .Так как   является  - йонсоновским фрагментом, то у него есть центр и мы обозначим его через . При ограничении теории   до сигнатуры   теория  становится полным типом. Этот тип и называется центральным типом йонсоновского фрагмента . Заметим, что все семантические модели элементарно эквивалентны между собой. В силу этого и совершенности йонсоновского фрагмента определение центрального типа корректно. В данном параграфе нет утверждений на языке центральных типов для - йонсоновского фрагмента, но центральные типы будут рассмотрены для другого класса йонсоновских фрагментов, связанного с классом - йонсоновских фрагментов. Для того, чтобы проследить как связаны эти классы и даны определения центрального типа в обоих случаях.

Определение 1. Пусть  - некоторая бесконечная модель сигнатуры .  называется -PJ-моделью, если множество предложений  является -PJ- йонсоновским фрагментом в обогащённом языке.

Йонсоновский фрагмент  будем обозначать через.

Следующий результат обобщает предложение 1 из [7,с.13-15] и лемму 9 из [2,с.10-17].

Лемма 1. Пусть - -PJ- йонсоновский фрагмент, полный для экзистенциальных предложений в обогащении . Тогда любая бесконечная модель йонсоновского фрагмента центра йонсоновского фрагмента  является -PJ-моделью.

Доказательство. В случае если фрагмент  является йонсоновским, то это следует из того факта, что позитивная оболочка Кайзера  для  является йонсоновской, где  - есть ,  - семантическая модель , а интерпретации символов Р и с не портят йонсоновости, потому что при соответствующих рассматриваемых морфизмах для -JEP и -AP реализации символов Р и с переходят в соответствующие образы, так как роль Р играет экзистенциально замкнутая подмодель, а константа переходит в константу. В случае, если фрагмент  не является йонсоновским, то в качестве семантической модели рассмотрим универсальную область из [5,с.85-118], [6,с.28-50]. Рассуждения о максимальности позитивной оболочки Кайзера переносятся полностью на универсальную область.

Определение 2. Модели  и  называются -PJ-эквивалентными, если для любой -PJ-теории , и обозначаются через.

Лемма 2. Пусть  и  модели сигнатуры . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) ,

2) =.

Доказательство. В йонсоновском случае доказательство следует из [7,с.13-15]. В остальных случаях легко получить с помощью леммы 1 позитивные обобщения этого доказательства.

Определение 3.  Два -PJ- йонсоновских фрагмента  и  называются -PJ-косемантичными, если они имеют общую семантическую модель, в случае, когда  и йонсоновские фрагменты, и имеют общую универсальную область, в случае, когда они не йонсоновские.

Определение 4. Модели  и  модели сигнатуры  называются -PJ-косемантичными, если для любого-PJ- йонсоновского фрагмента  такого, что , найдется  -PJ- йонсоновский фрагмент , -PJ-косемантичный с , такой, что . И наоборот.

Для любых моделей  и  верны следующие импликации:

.

Следующая договоренность является очень важной. Фактически, мы будем говорить о семантическом аспекте -PJ- йонсоновского фрагмента. Если -PJ- фрагмент  является йонсоновским, то с Mod мы работаем как с классом моделей некоторого йонсоновского фрагмента. Если же -PJ-фрагмент  не является йонсоновским, то в качестве Mod мы будем рассматривать класс его позитивно экзистенциально замкнутых моделей . Такой подход для класса  - класса экзистенциально замкнутых моделей произвольной универсальной теории  был рассмотрен в [4,с.194-210]. Так как относительно йонсоновских фрагментов возможны два случая: совершенный и несовершенный, то мы будем придерживаться следующего. Хорошо известно из [1,с.152], что если йонсоновская теория  совершенна, то класс её экзистенциально замкнутых моделей  элементарен и совпадает с Mod*, где * – её центр. В противном случае, т.е. если теория  несовершенна, мы поступаем как в [2,с.10-17], т.е. вместо Mod работаем с классом . Когда рассматривается произвольный -PJ-фрагмент , то класс  рассматривается как расширение класса  (оба класса всегда существуют), и в зависимости от совершенности и несовершенности фрагмента  теоретико-модельные свойства класса  представляют особый интерес.

Лемма 3. Пусть и соответствующие центры йонсоновских фрагментов  и  являются  -PJ- йонсоновским фрагментами в. Причем семантическая модель ,  семантическая модель . Если  = , то .

Доказательство. В йонсоновском случае из того, что позитивно универсальные следствия  и  совпадают, следует, что они модельно совместны. Соответственно, семантическая модель  является модельюи семантическая модель  является моделью . Далее мы применяем позитивное обобщение доказательства из [2,с.10-17] с помощью лемм 1, 2.

В нейонсоновском случае достаточно заметить, что если в качестве семантических моделей рассматривать универсальные области определенные выше, то легко заметить, что они являются позитивно экзистенциальными моделями в смысле [5,с.85-118],[6,с.28-50]. А так как в силу замечания о семантическом аспекте -PJ-фрагментов мы работаем в не йонсоновском случае с моделями из и, так как все продолжения становятся погружениями, мы можем без труда повторить доказательство аналогично йонсоновскому случаю.

Теорема 1. Пусть  и как в условии леммы 3 и являются-PJ-фрагментами, причем -семантическая модель , -семантическая модель . Тогда эквивалентны следующие условия:

1) ,

2) ,

3) =.

Доказательство. Аналогично лемме 3 рассмотрим два случая. В йонсоновском случае повторяем доказательство из [7,с.13-15] лишь только с той разницей, что  замкнуто относительно позитивных булевых комбинаций и фиксировано как выше. В не йонсоновском случае  заменяется на  и   заменяется на , где  и  - универсальные области, соответственно, для и . Тогда вышеуказанное утверждение следует из того, что  и . И остается применить замечание о семантическом аспекте -PJ- йонсоновских фрагментов.

Следующий результат обобщает теорему 4 из [7,с.13-15].

Теорема 2. Пусть  и - -PJ-модели сигнатуры . Тогда эквивалентны следующие условия:

1) ,

2) .

Доказательство. В йонсоновском случае как в предыдущей теореме достаточно рассмотреть позитивное обобщение доказательства из [7,с.13-15] в смысле, что  замкнуто относительно позитивных булевых комбинаций и фиксировано как выше. В не йонсоновском случае в силу условия теоремы следует, что множество предложений  и

из

в обогащённом языке являются -PJ- йонсоновским фрагментами. Тогда для них можно применить замечание о семантическом аспекте -PJ- йонсоновских фрагментов.

В работе [2,с.10-14] был введен класс теорий, который в пересечении с классом йонсоновских фрагментов, обобщает его, а также содержит обобщенные йонсоновские фрагменты, введенные в [6,с.85-118]. Интересно далее перенести полученные результаты на эти фрагменты, а также увидеть связь с центральными типами при рассматриваемом обогащении.

 Рассмотрим все пополнения центра  йонсоновского фрагмента в новой сигнатуре , где . Следующий факт позволяет работать с позитивными обобщениями йонсоновских фрагментов в обогащённой сигнатуре. Заметим (*) (взято из [2,с.10-17]), что если фрагмент  -йонсоновский, то в обогащенном языке относительно условий теоремы, центр  будет таким же, т.е. - йонсоновским фрагментом. Это достигается следующим образом: константы будут переходить в образы констант, реализация предиката в образ реализации. Необходимые образы получаются за счет соответствующих отображений, которые нам обеспечивают условия  и  из -йонсоновости изначального фрагмента . Далее, в силу того, что по условию  совершенный как -йонсоновский фрагмент, то -является  йонсоновским фрагментом.

Тогда существует его центр, и он является одним из пополнений йонсоновского фрагмента в обогащенном языке. Этот центр мы обозначим его как . При ограничении до сигнатуры , йонсоновский фрагмент становится полным типом. Этот тип мы назовем центральным типом теории .

Сформулируем результаты о косемантичности для позитивных мустафинских фрагментов  в обогащенной сигнатуре.

Пусть ;

Теорема 3. Пусть  и  - - йонсоновские фрагменты, - семантическая модель ,  – семантическая модель . Тогда эквивалентны следующие условия:

1) ,

2) ,

3) 

Рутинное доказательство по индукции на кванторы с длиной индукции по четному к, где к-число перемен кванторов. Четное, потому что рассматриваются блоки  длины 2.

Теорема 4. ПустьA и B- модели - йонсоновского фрагмента. Тогда эквиваленты, следующие условия:

1) ,

2) .

Доказательство. Данное утверждение есть -аналог теоремы 2. Следует из вышеуказанных теорем 2 и 4.

Список литературы:

1. Ешкеев А.Р., Касыметова М.Т.  Йонсоновские теории и их классы моделей.  Караганда: Изд-во КарГУ, 2016. – 367с.
2. Ешкеев А. Р., Классификация ∆-PJ – теорий по ∆-PJ – косемантичности и связь с их атомными и простыми моделями//Алматы: Бюллетень КазНУ, 2008г., №4(59), стр. 10-17.
3. Мустафин Т.Г. Новые понятия стабильности теорий, в сб. "Труды советско- французского коллоквиума по теории моделей", Караганда, 1990. - С.112 – 125.
4. Палютин Е.А. -стабильные теории// Алгебра и логика, 42, № 2 (2003). - С.194 – 210.
5. Itay Ben-Yaacov. Positive model theory and compact abstract theories// Journal of Mathematical Logic 3.-2003.-№ 1-С.85-118.
6. Itay Ben-Yaacov. Compactness and independence in non first order frameworks// Bulletin of Symbolic logic, volume 11.-2005.-№ 1-С.28-50.
7. Mustafin E., Nurkhaidarov E. Jonsson equivalent and cosemantical models // Quatrieme Colloque Franco-Touranien de Theorie des Modeles. ResumesdesConfere­nces. - Marseille, 1997. – P.13 – 15.