О РЕДУКЦИИ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ К УРАВНЕНИЮ ВЫНУЖДЕННЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

ON THE REDUCTION OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FIRST ORDER WITH DEVIATING ARGUMENT TO AN EQUATION OF FORCED HARMONIC OSCILLATIONS

Vadim Lesev

Cand.Phys.-Math.Sci., Associate Professor of Mathematics Analysis and Differential Equations Kabardino-Balkarian State University,

Russia, Nalchik

Oksana Bzheumikhova

Senior Lecturer, Department of Mathematics Analysis and Differential Equations Kabardino-Balkarian State University,

Russia, Nalchik

АННОТАЦИЯ

В работе показана связь обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом с уравнением вынужденных гармонических колебаний. Исследована разрешимость соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. Доказательство существования решения проведено методом дифференцирования.

ABSTRACT

In the article the connection of an ordinary first-order differential equation with a divergent argument with an equation of forced harmonic motions is shown. The solution of the corresponding ordinary differential equation with the divergent argument is investigated. The proof of the solution existence is carried out by the differentiation method.

Ключевые слова: уравнение с отклоняющимся аргументом, вынужденные гармонические колебания, метод дифференцирования.

Keywords: equation with deviating argument, forced harmonic oscillations, differentiation method.

При исследовании математических моделей физических процессов, в подавляющем большинстве случаев приходится иметь дело с уравнениями, определяющими связь между состоянием системы и ее возможными изменениями в один и тот же момент времени. Между тем, такие модели не всегда адекватно описывают реальные процессы. Речь идет о том, что математическая модель может описывать явления и процессы, в которых их состояние в настоящий момент времени может зависеть от состояния в предыдущий момент времени. В нашей работе мы остановимся на одной из таких моделей, связанной с уравнением вынужденных гармонических колебаний.

Рассмотрим уравнение с отклоняющимся аргументом

дополнив его начальными условиями

где  – заданная, непрерывно дифференцируемая функция для всех .

Дифференцируя (1), приходим к соотношению:

С другой стороны из (1) имеем:

На основании (3) и принимая во внимание (4), получим:

или

где

Как известно, уравнение (5) является уравнением простейших вынужденных гармонических колебаний [4]. Общее решение этого уравнения найдем методов вариации произвольных постоянных [6].

Соответствующее (5) однородное уравнение будет

Ее характеристическое уравнение  имеет мнимые корни ,  и общее решение однородного уравнения имеет вид [3]:

Общее решение исходного уравнения будем искать в виде

где  – неизвестные функции от .

Для определения   составим систему:

Разрешив эту систему относительно  и , будем иметь:

Проинтегрировав равенства (7), находим

Подставляя выражения  и  в (6), получаем общее решение уравнения (5):

В результате несложных преобразований, будем иметь

Удовлетворяя (8) условиям (2), получим .

Тогда решение уравнения (1) будет иметь вид

Полученное соотношение согласуется с результатами, изложенными в [5].

Таким образом, примером процесса, описываемого дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом вида (1), может служить уравнение вынужденных гармонических колебаний.

В заключение заметим, что не указывая на приложения обобщающие (1) и (3) рассматривались в работах [1], [2], [7] и также были исследованы методом дифференцирования.

Список литературы:

1. Бжеумихова О.И. Исследование разрешимости второй краевой задачи для уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших членах // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ, 2014. – №98(04). – С. 1-11.
2. Бжеумихова О.И., Лесев В.Н. Краевая задача для уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области // NovaInfo.Ru. – 2015 г. – № 36. – 1 с.
3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 576 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Механика. – М.: Наука, 1988. – 216 с.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. – М.: Наука, 1974. – 656 с.
6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М: Наука, 1969. – 424 с.
7. Lesev V.N., Bzheumikhova O.I. On the unique solvability of the classical boundary value problem for the partial differential equations with the deviating argument // Far East Journal of Mathematical Sciences, 2015. – Vol. 97, no. 7. – P. 793-807.