ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО РОДА С ПАРАМЕТРОМ

VOLTERRA LINEAR PARTIAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE THIRD KIND WITH A PARAMETER

Venera Muratalieva

Candidate of Science, Head of Automated control systems department, assistant professor of Jalal-Abad State University,

Kyrgyzstan, Jalal-Abad

АННОТАЦИЯ

Построены примеры линейных вольтерровских интегро-дифференциаль-ных уравнений с сомножителями при частных производных от неизвестной функции, обращающимися в нуль, имеющих решения при любых правых частях в пространстве аналитических функций, когда параметр принимает значения вне некоторого счетного множества.

ABSTRACT

There are constructed examples of Volterra linear integro-differential equations with coefficients by partial derivatives of the unknown function turning to zero having solutions for arbitrary right hand parts in the space of analytical functions when the parameter takes values out of any countable set.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, линейное уравнение, уравнение с частными производными, уравнение типа Вольтерра, уравнение третьего рода, параметр, аналитическая функция.

Keywords: integro-differential equation, linear equation, partial equation, Volterra equation, equation of the third kind, parameter, analytical function.

Введение

Ранее нами исследовались обыкновенные линейные вольтерровские интегро-дифференциальные уравнения со степенными сомножителями при производных неизвестной функции с параметром при интеграле, обращающи-мися в нуль, имеющих решения в пространстве аналитических функций. В статьях [3], [4], [5], [6] были найдены условия, при которых такие уравнения имеют решения при любых правых частях при значениях параметра, не принадлежащих некоторому счетному множеству.

В данной статье аналогичные вопросы рассматриваются для уравнений с частными производными.

1. Обзор результатов для обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений

Для операторов в функциональных пространствах мы будем использовать развернутые обозначения, предложенные в [1]. 

В этом разделе будем предполагать, что 

…,                                                                                      (1)

и решение ищется в виде

…,                                                                            (2)

В [3] показано, что у уравнений вида

                       (3)

где p - натуральное число, спектральные свойства возникают при p=2.

         Это же имеет место для более общих уравнений, вида

                             (4)

В [4] доказано возникновение спектральных свойств для уравнения

                                 (5)

В [6] cформулирована аксиоматика класса бесконечных систем разностных уравнений, возникающих из линейных вольтерровских обыкновенных инте-гральных и интегро-дифференциальных уравнений третьего рода. Найдены достаточные условия существования бесконечных дискретных спектров таких уравнений. Для этого введена функция целочисленных аргументов

                                   (6)

и показано, что уравнения видов (3), (5) и их обобщающих сводятся к системам вида

                                     (7)

  В [5] предложен алгоритм для автоматической       проверки достаточных ус-ловий, полученных в [6].

2. Примеры интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, имеющих спектральные свойства

Будем рассматривать такие уравнения для аналитической функции u(x,y), что их левые части обращаются в нуль при t=0 и при x=0. Тогда для аналити-ческой функции f(t,x) в правой части будут обязательные условия f(0,x)º 0, f(t,0) º 0, откуда 

…,                                                                (8)

  Будем искать решения в виде

…                                       (9)

Рассмотрим уравнение

.                          (10)

Подставляя (9) и (8) в (10), получим

…                                 

         Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t и x, получаем:

 …

         Отсюда видно, что при любом l эти уравнения можно последовательно решать - спектрального явления нет.

Рассмотрим теперь уравнение

.                   (11)

Подставляя (9) и (8) в (11), получим

…                                 

         Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t и x, получаем:

Видно, что для разрешимости этой бесконечной системы уравнений необходимо, во-первых, чтобы l¹0; во-вторых, чтобы выражения вида

не были равны нулю, что дает счетное количество условий на l.

  Рассмотрим также уравнение

.                       (12)

Подставляя (9) и (8) в (12), получим

         Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t и x, получаем:

 …

  Видно, что для разрешимости этой бесконечной системы уравнений необходимо, во-первых, чтобы l¹0; во-вторых, чтобы выражения вида

были равны нулю, что дает счетное количество условий на l.

При нескольких частных производных в операторе картина будет еще сложнее, и для выявления закономерности потребуется выписать еще большее количество первых слагаемых.

Заключение

Из приведенных примеров видно, что обычный метод доказательства теорем (в данном случае - о наличии или отсутствии спектра) при помощи выписывания нескольких первых (максимум - несколько десятков первых) уравнений, получающихся при приравнивании всех коэффициентов при , и далее - ссылка на аналогию, по которой будут получаться последующие уравнения, здесь будет неубедителен.

Поэтому предлагается построить алгоритм, описание которого будет доказательным, а реализация даст явные условия наличия или отсутствия спектра. Такой алгоритм должен включать:

- структуру всех уравнений, в которых будет участвовать коэффициент u_pq; 

- как обратный ход, все возможные структуры уравнений, получающихся при приравнивании всех коэффициентов при  - при малых p или q они содержат не все возможные слагаемые;

- выявление условий разрешимости относительно l во всех возможных структурах уравнений;

- вывод о наличии или отсутствии спектра.

Примечание. При «умеренно большом» исходном уравнении возможен вывод получающихся разностных уравнений, в том числе их бесконечных серий с буквенными обозначениями; при «большом» исходном уравнении все промежуточные результаты остаются в памяти компьютера и выводится только окончательный результат.

Список литературы:

1. Аширбаева А. Ж. Решение нелинейных дифференциальных и интегро–дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка методом дополнительного аргумента. Автореф. дисc. … докт. физико-математических наук, 01.01.02. – Бишкек, 2014. – 32 с.
2. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции, 3-е издание. – Мocква: Наука, 1979. – 320 с.
3. Мураталиева В.Т. Cпектральные свойства линейных вольтерровских интегро-дифференциальных уравнений третьего рода // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. Серия естественные и технические науки, 2016, № 5. – C. 63-66.
4. Мураталиева В.Т. Cпектральные свойства линейных вольтерровских интегро-дифференциальных уравнений третьего рода  второго порядка // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. статей по матер. XXXIV междунар. научно-практ. конф. № 5(27). Часть I. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 57-61.
5. Мураталиева В.Т. Алгоритм для исследования спектральных свойств линейных задач с аналитическими функциями // Вестник Жалал-Абадского государственного университета, 2016, № 1(32). – С. 55-59.
6. Панков П.С., Мураталиева В.Т. Cпектральные свойства линейных задач с аналитическими функциями // Доклады Национальной академии наук Кыргызской Республики, 2016, № 1. – C. 11-14.