ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО ВЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ УПРУГИМИ КОЛЕБАНИЯМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ ФРЕДГОЛЬМОВЫМИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

THE APPROXIMATE SOLUTION OF VECTOR CONTROL FOR THE ELASTIC OSCILLATIONS DESCRIBED BY FREDHOLM INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS

Elmira Abdyldaeva

сandidate of Physico-Mathematical Sciences, Associate professor, Senior Lecturer of Kyrgyz-Turkish Manas University,

Republic of Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается задача нелинейной оптимизации с граничным векторным управлением, когда управляемый колебательный процесс описывается фредгольмовым интегро-дифференциальным уравнением.  Разработан  алгоритм построения приближенных  решений  задачи  нелинейной оптимизации и доказана их сходимость к точному решению по оптимальному управлению, по оптимальному процессу и по функционалу.

ABSTRACT

In the article we consider the nonlinear optimization problem with boundary vector control, when controllable oscillation process described by Fredholm integral-differential equations. We have developed algorithm for constructing of the approximate solutions of optimization problem and we proved the convergence to the exact solution for the optimal control, the optimal processes and the functional.

Ключевые слова:  граничное векторное управление, функционал, приближенное решение, сходимость.

Keywords:  boundary vector control, functional, approximate solution, convergence of approximate solution.

Введение

Интегро-дифференциальными уравнениями описываются многие прикладные задачи [2-4]. Однако, задачи оптимального управления процессами,  описываемыми  фредгольмовыми интегро-дифференциальными уравнениями, мало исследованы [11-14]. Недостаточно разработаны методы решения задач оптимального управления, когда функция внешнего воздействия нелинейно зависит от управляющих параметров. Поэтому по задачам нелинейной оптимизации для управляемых колебательных процессов нами проводились исследования в работах [1, 5-10].

 Данная статья является продолжением работы [6] и сохранены обозначения, использованные в этой работе.   Здесь   рассматриваются вопросы построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации с граничным векторным управлением и отмечены, что при построении приближений оптимального процесса, следует различать три вида приближений. Наличие интегрального члена в уравнении приводит к построению приближенного  решения краевой задачи по Резольвенте, следовательно, строится приближенное решение краевой задачи, соответствующее оптимальному управлению. Эти приближения определяются в виде суммы бесконечного ряда и не всегда удается найти сумму этих рядов. В этой связи строится третий вид приближения решения краевой задачи, определяемые конечным числом слагаемых. Далее, в соответствии  с указанными приближениями  оптимального процесса строятся соответственно аналогичные приближения минимального значения функционала. Доказаны их сходимость к точному решению по оптимальному управлению, по оптимальному процессу и по функционалу.

1. Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим задачу оптимизации, где требуется минимизировать  интегральный функционал

        (1)

на множестве решений краевой задачи

                 (2)

                              (3)

       (4)

 Здесь   –эллиптический оператор, действующий по формуле

а – известные   измеримые   функции;  -область n-мерного эвклидово пространства с кусочно-гладкой границей ; -вектор нормали, исходящий из точки ;–заданная функция, она определена в области    и удовлетворяет условию

;                                                       (5)

                               (6)

заданные функции, причем функция  нелинейно зависит от функциональных аргументов  ,   которые являются управлениями и удовлетворяют условиям

                                        (7)

 заданная  функция, строго выпуклая по функциональным аргументам;  T-фиксированный момент времени, - гильбертово пространство квадратично суммируемых функций, определенных на множестве ;  - соболево  пространство первого порядка.

В работе [8] исследовано, что  при условиях (5)-(7), налагаемых на исходные функции, данная задача оптимизации имеет решение в виде тройки , где  функция  определяемая формулой  

                                         (8)

является оптимальным  управлением ( - решение нелинейного интегрального уравнения);

,                  (9)

является оптимальным процессом,

,                                (10)

является минимальным  значением  функционала (1).

2.     Приближения оптимального управления и их сходимость.

Приближение оптимального управления находим по формуле

где  - приближения функции   и удовлетворяет оценке

и назовем их к-ми приближениями оптимального векторного управления .

 Лемма 1.  Пусть функции  удовлетворяют условию Липшица по функциональной переменной :

,

тогда имеет место оценка

                     (11)

и к-е приближения при  сходится к оптимальному управлению  по норме пространства .

3.  Приближения оптимального процесса и их сходимость

В формуле (9) вместо вектора , подставляя найденное оптимальное векторное управление , находим оптимальный процесс , т.е. решение краевой задачи (2)-(4) соответствующее оптимальному управлению. При построении приближений оптимального процесса будем различать три вида приближений.

3.1.   Первую из них будем называть q-ым приближением по резольвенте оптимального процесса и оно определяется  следующими формулами

где        

т.е.  – q-я частичная сумма ряда Неймана  .

Лемма 2.  q-е приближение оптимального процесса удовлетворяет оценкам

где    

и при , , сходится к оптимальному процессу по норме пространства .

3.2.  Второго вида приближения будем называть  q,k-ми приближениями оптимального процесса  и определим по формуле

Лемма 3.  q,k  - е приближения оптимального процесса удовлетворяет оценкам

                               (12)

где                      

и при    сходятся по норме пространства   к q-м приближениям оптимального процесса при любом .

3.3. Третий вид приближения определяется формулами

и  называется q,k,r-ми приближениями оптимального процесса.

Лемма 4. q,k,r-е приближения оптимального процесса удовлетворяют оценкам

                 (13)

и при сходятся по норме пространства  к м приближениям оптимального процесса при любом .

          Доказательства лемм проводятся непосредственными вычислениями и не представляют особых трудностей.

 Теорема 1. е приближения оптимального процесса при сходятся к оптимальному процессу по норме пространства .

          Доказательство  теоремы в силу лемм 1-4  следует из  следующих соотношений 

4. Приближения функционала и их сходимость

Согласно трем видам приближений оптимального процесса будем различать соответственно три вида приближений минимального значения функционала :

·         -  приближение минимального значения функционала ,  соответствующее му приближению  оптимального процесса  вычислим  по формуле

·          -   е приближение  минимального значения функционала    , соответствующее му приближению оптимального процесса   вычислим  по формуле

·         -  е приближение минимального значения функционала , соответствующее му приближению оптимального процесса   вычислим  по формуле

                         (14)

Непосредственным вычислением устанавливается неравенство

                 (15)

где                  

 решение краевой задачи (2)-(4), соответствующее управлению , а – соответствующее управлению .

Согласно (14) получим следующие соотношения

Теорема 2. е приближения функционала при  сходятся к минимальному значению функционала     .

Доказательство.  Согласно (14)-(15),  следует из соотношения

Список литературы:

1. Абдылдаева Эльмира. Нелинейное интегральное уравнение оптимального управления и его разрешимость // Вестник Кыргызско-Славянского университета. – T.14, N12, Бишкек 2014.  – С. 55-61.
2. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. МИАН. 1961. Т. 61. – C. 3-158.
3. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференци­альных уравнений: пер. с англ.  ред. П. И. Кузнецов. – М.: Наука, 1982. – 304 с.
4. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. – М.: Наука, 1978. – 500 с.
5. Керимбеков А.К., Абдылдаева Э.Ф. Обобщенное решение краевой задачи управляемого колебательного процесса,  описываемого Фредгольмово интегро-дифференциальным уравнением // Вестник Кыргызско-Славянского университета. – T. 14, N 12, Бишкек 2014.  – С. 61-67.
6. Керимбеков А.К., Абдылдаева Э.Ф. О равных отношениях в задаче граничного векторного управления упругими колебаниями, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями //Труды института математики и механики Уро РАН. – Том 22. № 2. – Бишкек. 2016. – С. 163-175.
7. Akylbek Kerimbekov, Elmira Abdyldaeva. On the problem of minimization of the piecewise linear functional in distributed optimal control of oscillation processes// Proceedings of Y Congress of the Turkic world mathematicians. Bishkek, Kyrgyzstan, 2014. 187-192 pp.
8. Akylbek Kerimbekov, Elmira Abdyldaeva. Optimal Distributed Control for the processes of  Oscillation Described by Fredholm Integro-Differenrial Equations // Eurasian Mathematical Journal, Volume 6, Number 2, 2015. – P18-40.
9. Akylbek Kerimbekov, Elmira Abdyldaeva, Raihan Nametkulova and Aisha Kadirimbetova. On the Solvability of aNonlinear Optimization Problem for Thermal Processes Described by Fredholm integro-Differential Equations with External and Boundary Controls. Appl.Math.Inf.Sci.10, № 1, 215-223(2016). ISSN 1935-0090 (print).
10.  Elmira Abdyldaeva, Akylbek Kerimbekov. About uniqueness of the solution of the conjugate problem for the oscillation processes //Proceedıngs of the Internatıonal scientific-practical conference “Information technologies: innovations in science and education”. 20-21 February 2015. Aktobe, Kazakhstan. 113-116 pp.
11. Khurshudyan As. Zh. On optimal boundary and distributed control of partial integro-differential equations//Arch. Contol. Sci. 2014. Vol. 24 (60), no.1. P.5–25.
12. Kowalewski A. Optimal control of an infinite order hyperbolic system with multiple time-varyinglags // Automatyka. 2011. T. 15. P. 53–65.
13. Sachs E.W., Strauss A.K. Efficient solution of partial integro-differential equation in finance // Appl. Numer. Math. 2008. Vol. 58, no. 11. P. 1687–1703.
14. Thorwe J., Bhalekar S. Solving partial integro-differential equations using Laplace transform method//American J. Comput.Appl. Math. 2012. Vol. 2(3). P. 101–104.