РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА

SOLVING OF SYSTEM OF NON-LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BY MEANS OF THE METHOD OF ADDITIONAL ARGUMENT

Aizharkyn Ashirbaeva

doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Head of Department of Applied mathematics,

Osh technological university named after the M. Adyshev,

Kyrgyzstan, Osh

Zhoomart Mambetov

a senior lectuer of Applied mathematics,

Osh technological university named after the M. Adyshev,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Получены достаточные условия существования и единственности решения начальной задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

ABSTRACT

There are obtained sufficient conditions for existence and uniqueness of solutions of initial value problem for system of nonlinear partial differential equations. 

Ключевые слова: система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, метод дополнительного аргумента, принцип сжимающих отображений.

Keywords: system of non-linear partial differential equations, method of additional argument, contracting mappings principle.

В [1] рассмотрена система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Методом дополнительного аргумента задача сводится к системе интегральных уравнений.

В данной работе рассматривается система дифференциальных уравнений в частных производных вида:

при начальном условии

В качестве функции рассматривается одна из функций  

Пусть  

Используем следующие обозначения:

– класс функций, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до к-го порядка.

Lip(N|_u,M|_v,…) – класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменной   с коэффициентом N, по переменной v с коэффициентом M,…, для функции одной переменной индекс будем опускать.

ТЕОРЕМА.  Пусть для i=1,2,..,n 

Тогда существует такое , что система (1) с начальными условиями (2) имеет решение в пространстве   

Доказательство. Представим основные этапы доказательства теоремы в виде лемм.

ЛЕММА 1. В классе задача (1), (2) эквивалентна системе интегральных уравнений

                                         (4)

Доказательство леммы 1. Применяя метода дополнительного аргумента для задачи (1), (2), сводим задачу к системе интегральных уравнений (3),(4). 

Пусть теперь - решения системы интегральных уравнений  (3), (4).

Тогда удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2).

  В самом деле, из (3),(4) имеем:

                                   (6)

Для всякой функции из интегрального уравнения (6) имеем

                   Следовательно, из равенства (5) получается уравнение (1).

ЛЕММА 2. Система интегральных уравнений  (3), (4) имеет единственное решение.

Доказательство леммы 2. Преобразуем интегральное уравнение (3).

В системе интегральных уравнений (3),(4) по аналогии с работой [2] заменяем х на имеем:

   (8)           

Из (8), учитывая (7), получаем

 Из (8) имеем:

где   

Из интегрального неравенства (9), в котором переменные  играют роль параметров, вытекает, что

Тогда из (3), (4) имеем:

где обозначено

Система интегральных уравнений (11),(12) при t=τ совпадает с системой интегральных уравнений (3),(4). Согласно (13) имеем        

Итак достаточно доказать существование решение системы интегральных уравнений (11),(12).

     Запишем систему интегральных уравнений (11),(12) в виде одного векторного равенства

                       ,                                                                      (14)

в котором  - вектор-функция переменных , компоненты которой есть искомые функции , , …, , а компоненты оператора  определяются равенствами:

      Покажем, что уравнение (14) имеет в области  при  единственное, непрерывное решение, удовлетворяющее неравенству

  Норму  определим равенством

Покажем при  оператор  отображает шар  в себя.

Оператор A сжимает расстояние между элементами шара .

Справедливы следующие оценки

где

     Отсюда следует, что оператор  при , осуществляет сжатое отображение шара   на себя.

Следовательно, по принципу сжимающих отображений  уравнение (14) имеет одно и только одно решение.

Список литературы:

1. Иманалиев М.И. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема [Текст] / М.И. Иманалиев, С.Н. Алексеенко // Доклады АН. – 1992. – Т. 325. – № 6. – С. 1111–1115.
2. Иманалиев М.И. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом [Текст] / М.И. Иманалиев, Ю.А. Ведь //Дифференциальные уравнения. – 1989. – Т. 25. – № 3. – С. 465–477.