СИНГУЛЯРНЫЕ  ИНТЕГРАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ  СО  СДВИГОМ  В  ДРОБНЫХ  ПРОСТРАНСТВАХ  БЕСОВА,  ПРИВОДЯЩИЕСЯ  К  КРАЕВОЙ  ЗАДАЧЕ  ГАЗЕМАНА

Альсейтов  Амангельды  Гумарович

учитель  математики,  гимназия  «Умит»,  г.  Уральск,  Казахстан

Е-mail: 

SINGULAR  INTEGRAL  EQUATIONS  WITH  SHIFT  IN  BESOVʼS  FRACTIONAL  SPACES,  LEADING  TO  HASEMANʼS  BOUNDARU  VALUE  PROBLEM

Аlseitov  Аmangeldy  Gumarovich

teacher  of  mathematics,  gymnasium  “Umit”,  Uralsk  city,  Каzakhstan

АННОТАЦИЯ

Настоящая  работа  посвящена  исследованию  и  решению  одного  сингулярного  интегрального  уравнения  со  сдвигом  в  дробных  пространствах  Бесова,  вложенных  в  пространство  непрерывных  функций,  но  не  вложенных  в  класс  непрерывных  по  Гёльдеру  функций.  С  помощью  эквивалентных  преобразований  данное  интегральное  уравнение  сводится  к  краевой  задаче  Газемана  в  дробных  пространствах  Бесова,  решенной  автором  ранее.

ABSTRACT

The  present  work  is  devoted  to  the  investigation  and  solution  of  one  singular  integral  equation  with  a  shift  in  Besovʼs  fractional  spaces  embedded  in  the  space  of  continuous  functions,  but  not  nested  in  a  class  of  Holder  continuous  functions.  With  the  help  of  equivalent  transformations  of  this  integral  equation  is  reduced  to  Hasemanʼs  boundary  value  problem  in  Besovʼs  fractional  spaces,  solved  earlier  by  the  author.

Ключевые  слова:  контур  Ляпунова;  дробное  пространство;  сингулярное  интегральное  уравнение;  краевая  задача  Газемана;  интеграл  типа  Коши.

Keywords:  Lyapunovʼs  boundary;  fractional  space;  singular  integral  equation;  Hasemanʼs  boundary  value  problem;  Cauchy-type  integral. 

В  работе  изучается  один  вид  сингулярных  интегральных  уравнений  со  сдвигом  в  дробных  пространствах  Бесова.  Справедливость  в  дробных  пространствах  Бесова  формул  Сохоцкого-Племеля  для  граничных  значений  интеграла  типа  Коши  [4,  с.  64],  [5,  с.  38]  и  полная  непрерывность  одного  интегрального  оператора  со  сдвигом  [1,  с.  7—24]  позволяют  в  полной  мере  изучить  в  этих  пространствах  краевые  задачи  и  сингулярные  интегральные  уравнения  со  сдвигом. 

Пусть  Г  —  простой  замкнутый  гладкий  контур  Ляпунова  ,    и  разбивает  плоскость  комплексного  переменного  на  две  области:  внутреннюю  D⁺,  содержащую  начало  координат  и  внешнюю  D^–,  содержащую  бесконечно  удаленную  точку.  Положительным  направлением  на  контуре  Г  будем  считать  то  направление,  которое  область  D⁺  оставляет  слева. 

На  контуре  Г  заданы  функции      принадлежащие  классу  Бесова  ,  и  функция  ,  отображающая  контур  Г    взаимно  однозначно  на  себя  с  сохранением  направления  и  имеющая  не  обращающуюся  на  Г    в  нуль  производную  .  В  дальнейшем  будем  считать,  что  функции    не  обращаются  в  нуль  нигде  на  Г.

Отметим,  что  для  рассматриваемых  нами  пространств  имеют  место  вложения:  при  ,  но    ни  при  каком  [3],  [4,  с.  62],  т.  е.  выделенные  нами  пространства  Бесова  вложены  в  пространство  непрерывных  функций,  но  не  вложены  в  класс  непрерывных  по  Гёльдеру  функций. 

Рассмотрим  сингулярное  интегральное  уравнение  со  сдвигом

где:    неизвестная  функция  из  дробного  пространства  Бесова  .  Интеграл,  понимаемый  в  смысле  главного  значения  по  Коши,  берётся  по  контуру  Г. 

Отметим,  что  аналогичное  интегральное  уравнение  без  сдвига 

изучено  Н.К.  Блиевым  [6,  с.  491—492].

Перейдем  к  решению  уравнения  (1).  Введем  кусочно-аналитическую  функцию,  заданную  интегралом  типа  Коши,  плотностью  которого  служит  искомое  решение  уравнения  (1)

.

В  силу  леммы  1.2  [4,  с.  61]  . 

Согласно  формулам  Сохоцкого-Племеля 

где:      —  граничные  значения  функции  соответственно  для  .  Подставляя  значения      в  уравнение  (1)  и  решая  его  относительно  ,  получим,  что  кусочно-аналитическая  функция    должна  являться  решением  краевой  задачи  Газемана

где 

Так  как    являются  функциями  класса  и    также  принадлежат  классу  .

В  силу  того,  что  искомая  функция  представлена  интегралом  типа  Коши,  она  должна  удовлетворять  дополнительному  условию

Индекс  уравнения  (1)  определяется  формулой

    ,

где  квадратная  скобка  означает  изменение  величины  заключенной  в  скобку  при  однократном  обходе  контура  в  положительном  направлении.

Таким  образом,  мы  видим,  что  с  помощью  формулы  (2)  уравнение  (1)  преобразуется  эквивалентной  краевой  задаче  Газемана  (3).  Полное  решение  неоднородной  краевой  задачи  Газемана  (3)  получено  нами  в  работе  [1,  с.  7—24].

При      общее  решение  задачи  (3),  исчезающее  на  бесконечности  дается  формулами

где      —  произвольный  полином  степени  не  выше  ,  причем    —  функция  обратная  к  ,  и  нетрудно  убедиться,  что  свойства    такие  же,  как  у  ,    —  общее  решение  интегрального  уравнения 

Каноническая  функция    имеет  вид

где:    —  решение  уравнения

В  силу  леммы  1.1  [3,  с.  359]  . 

Функция  ,  по  условию  принадлежит  ,  а  ,  не  обращается  в  нуль.  Следовательно,  принадлежит  пространству.  В  силу  леммы  1.2  [4,  с.  61]  ,  и,  следовательно,  имеем,  что    [4,  с.  62].  Согласно  той  же  лемме,  общее  решение  задачи,  которое  дается  формулами  (4) 

При    решение  задачи  (3)  существует  лишь  при  выполнении  условии 

В  этом  случае,  задача  имеет  единственное  решение,  которое  дается  формулами  (4)  при  .

Вычислим  по  формулам  Сохоцкого-Племеля  краевые  значения  функции  :

Заметим,  что  [2],  [3,  с.  359]  и  .  Следовательно,  в  силу  [4]    принадлежат  пространству  .

Затем  по  первой  из  формул  (2)  найдем  решение  уравнения  (1):

.

Список  литературы:

1.Альсейтов  А.Г.  Краевая  задача  Газемана  в  дробных  пространствах  Бесова  //  Естественные  и  математические  науки  в  современном  мире:  материалы  международной  заочной  научно-практической  конференций.  (22  июля  2013  г.)  Новосибирск.  Изд.  «СибАК».  —  2013.  —  170  с.

2.Бесов  О.В.  Об  условиях  существования  классического  решения  волнового  уравнения  //  Сиб.  матем.  журнал.  —  1967.  —  Т.  8.  —  №  2.  —  С.  243—256.

3.Бесов  О.В.,  Ильин  В.П.,  Никольский  С.М.  Интегральные  представления  функций  и  теоремы  вложения.  М.:  Наука,  1975.  —  480  с.

4.Блиев  Н.К.  Обобщенные  аналитические  функции  в  дробных  пространствах.  Алма-Ата:  Наука,  1985.  —  160  с.

5.Блиев  Н.К.  Сингулярные  интегральные  операторы  с  ядром  Коши  в  дробных  пространствах  //  Сиб.  матем.  журнал.  —  2006.  —  Т.  47.  —  №  1.  —  С.  37—45.

6.Bliev  N.K.  Generalized  analytic  functions  in  fractional  spaces  and  some  applications  //  Международная  конференция  «Дифференциальные  уравнения,  теория  функций  и  приложения»,  посвященная  100-летию  со  дня  рождения  академика  И.Н.  Векуа.  Новосибирск.  —  2007.  —  668  с.