Результаты  полученные  в  работах  [1]  и  [2],  позволяют  нам  в  дальнейшем  изучить  обобщенную  задачу  Газемана  для  эллиптических  систем  уравнений  с  частными  производными  первого  порядка  с  коэффициентами  из  дробных  пространств  Бесова.

Рассмотрим  систему  уравнений  эллиптического  типа 

 

.  (1)

 

 

 

 

Известно  [5],  что  с  помощью  оператора  комплексного  дифференцирования

 

 

систему  (1)  можно  переписать  в  комплексной  форме

 

,  (2)

 

где 

 

,

,  ,  .

 

При    система  (1)  переходит  в  систему  уравнений  Коши-Римана,  определяющую  аналитическую  функцию  ,  и  имеющую  следующую  комплексную  форму

 

.

 

Как  известно  из  теории  функций  комплексной  переменной,  для  любой  аналитической  функции  комплексная  производная  по    равна  нулю,  и  обратно,  если  эта  производная  равна  нулю,  то  функция  аналитическая.

К  системе  (1)  приводится  довольно  широкий  класс  эллиптических  систем  первого  порядка  и  уравнений  второго  порядка  [5,  гл.  ІІ,  ІІІ,  §§  7,  9].  Кроме  того,  изучение  систем  вида  (1)  весьма  важно  и  с  точки  зрения  приложений,  так  как  к  нахождению  их  непрерывных  решений,  удовлетворяющих  тем  или  иным  требованиям,  сводятся  многие  задачи  из  анализа,  геометрии  и  механики  [5,  гл.  ІІ,  V,  VI].

Теория  обобщенных  решений  уравнения  (2),  где  коэффициенты  А,  В  и  свободный  член  F  принадлежат  ,  ,    (определение    см.  п.  1  раздела  1),  построена  И.Н.Векуа  [5].  Доказано,  что  при  этих  условиях  неоднородное  уравнение  (2)  всегда  имеет  обобщенное  решение  в  области  ,  непрерывное  по  Гельдеру  с  показателем    в  .

Для  обобщенных  решений    однородного  уравнения

 

  (3)

 

доказана  справедливость  формулы

 

,

 

где:    —  аналитическая  в    функция,  а  ,  указывающей  на  глубокие  связи  между  классом  обобщенных  решений  уравнения  (3)  и  классом  аналитических  функций.  С  их  помощью  распространены  на  обобщенные  уравнения  (3)  многие  свойства  аналитических  функций  от  ,  как  принцип  аргумента,  принцип  максимума,  теорема  Лиувилля,  теоремы  единственности  и  другие.  Поэтому  обобщенные  решения  уравнения  (3)  названы  И.Н.  Векуа  обобщенными  аналитическими  функциями,  а  само  уравнение  (3)  —  обобщенным  уравнением  Коши-Римана  [5,  с.  148]. 

Н.К.  Блиевым  [4]  теория  обобщенных  аналитических  функций  продолжена  на  дробные  пространства  Бесова. 

О  возможности  постановки  краевой  задачи  Газемана  для  системы  (1)  в  работах  И.Н.  Векуа  не  упоминается.  Между  тем  эта  краевая  задача  имеет  как  с  принципиальной  точки  зрения,  так  и  с  точки  зрения  приложений  такой  же  интерес,  как  и  задача  Гильберта.  Известно,  что  обычная  задача  Римана  (так  мы  будем  называть  задачу  Римана  для  аналитических  функций,  т.  е.  задачу  Римана  без  сдвига)  применяется  в  плоской  теории  упругости.  Например,  к  ней  непосредственно  сводится  первая  краевая  задача  для  плоскости  с  прямолинейными  щелями  [5,  с.  319].  Аналогичную  задачу,  как  предполагал  Л.Г.  Михайлов  [7],  очевидно,  можно  ставить  и  для  упругих  оболочек.  Рассматривая  бесконечную  оболочку  со  щелями  и  задавая  краевые  условия  на  щелях,  мы  придем  к  задаче  Газемана  для  системы  (1).

К  системе  вида  (1)  сводятся  системы  уравнений  с  частными  производными  первого  порядка  эллиптического  типа  и  эллиптические  уравнения  второго  порядка  в  случае  двух  независимых  переменных,  а  также  весьма  широкий  класс  уравнений  с  частными  производными  второго  порядка  [5,  с.  19].

Пусть    —  простой  замкнутый  контур  класса  Ляпунова  ,  ,  ограничивающий  односвязную  ограниченную  область    комплексной  плоскости  .  Дополнение  замкнутой  области    до  полной  плоскости  обозначим  через  .  Не  ограничивая  общности  можно  считать,  что  начало  координат    принадлежит  области  .  Положительным  направлением  на  контуре    будем  считать  то  направление,  которое  область    оставляет  слева.

Пусть    —  функция,  которая  переводит  контур    в  себя  с  сохранением  направления  и  имеет  производную  ,  отличную  от  нуля  всюду  на    и  принадлежащую  пространству  функций  ,  .  Из  этих  условий  следует,  что  функция  ,  обратная  к  ,  обладает  теми  же  свойствами,  что  и  .

На  контуре    заданы  функции    и  ,  принадлежащие  ,  ,  причем    на  . 

Постановка  задачи.  Найти  кусочно-регулярное  решение    уравнения

 

,  (4)

 

имеющее  конечный  порядок  на  бесконечности  и  удовлетворяющее  на  контуре    краевому  условию

 

.  (5)

 

Коэффициенты  ,    и    считаем  принадлежащими  пространству  функций  ,  ,  .

Для  рассматриваемых  нами  пространств  имеют  место  вложения 

 

Ì_®  ,  но  _®  ,    [3],

 

при  Ì_®,  но  _®  ни  при  каком    [4,  с.  62].

Уравнение  (1)

 

 

можно  упростить.  Для  этого  положим

 

,

 

где    определяется  формулой

 

,

 

а    —  аналитическая  функция  [4,  с.  69].

Тогда

 

 

и

 

.

 

В  силу

 

  [4,  с.  30]

 

последнее  уравнение  можно  переписать  в  следующем  виде

 

.

 

Вставляя  в  уравнении  (1)  вместо  ,  ,    полученные  выше  выражения,  имеем

 

.

 

Отсюда

 

 

или

 

.

 

Обозначив    через  ,  а    через    имеем

 

  .  (6)

 

Отсюда  получаем,  что  ,    принадлежат  пространству  функций  ,  ,  .

Таким  образом,  не  ограничивая  общности,  можем  ограничиться  рассмотрением  уравнения  (6).

Итак,  вместо  уравнения  (4),  не  нарушая  общности  можно  рассматривать  уравнение

 

  .  (7)

 

В  дальнейшем  будем  рассматривать  краевую  задачу  Газемана  именно  для  уравнения  (7);  сначала  для  однородного

 

  ,  (8)

 

затем  для  неоднородного  (7).

Однородной  задачей  Газемана  будем  называть  такую  задачу,  когда  однородно  как  краевое  условие,  так  и  само  уравнение.  В  остальных  случаях  задача  называется  неоднородной.

Различные  сочетания  краевого  условия  и  уравнения  дают  следующие  случаи:

Однородная  задача  Газемана.

Краевое  условие

 

,

 

Уравнение

 

.

 

Неоднородные  задачи  Газемана.

Краевое  условие

 

,

 

Уравнение

 

.

 

Краевое  условие

 

,

 

Уравнение

 

 

или

 

.

 

Обычная  краевая  задача  Газемана  в  дробных  пространствах  Бесова  рассмотрена  нами  в  работе  [2].

Следуя  методу  работы  [2],  решение  задачи  начнем  с  простейшего  случая

 

  .  (9)

 

Из    ,    следует,  что    ,  ,  откуда  в  силу  леммы  [4,  с.  19]    ,  .

Из  связи    с  аналитическими  функциями

 

    (10)

 

можем  доказать  следующую  лемму.

Лемма  1.  Если    кусочно-регулярное  решение  уравнения  (8),  исчезающее  на  бесконечности  и  если    удовлетворяет  условию  (9),  то .

Доказательство.  Доказательство  проведем  от  противного.  Пусть  краевая  задача  (9)  имеет  отличное  от  тождественного  нуля  решение  .  Представляя  функцию    по  формуле  (10)    и  подставляя  в  (9),  имеем

 

 

 

или

 

.  (11)

 

Нетрудно  установить  эквивалентность  краевых  задач  (9)  и  (11).  Если    нетривиальное  решение  уравнения  (9),  то    нетривиальное  решение  задачи  (11).

С  другой  стороны  (11)  представляет  собой  обычную  однородную  задачу  Газемана  с  коэффициентом ,  индекс  которого

 

.

 

Такая  задача,  как  известно  [2],  не  имеет  решений,  отличных  от  тривиального.  Полученное  противоречие  показывает  справедливость  леммы.

Согласно  обобщенным  формулам  Коши  [4,  с.  101]

 

 

,  .  (12)

 

Если  уравнение  (9)  имеет  решение,  то  оно  допускает  представление  (12),  где  плотности  связаны  соотношением

 

 

или

 

,

 

здесь    —  функция,  обратная  к  функции    и  у  нее  свойства  такие  же,  как  у  .

Обозначив    через  ,  можем  переписать  (12)  в  виде

 

  (13)

 

Для  нахождения  контурных  значений  функции  (13)  воспользуемся  формулами  предельных  значений  обобщенного  интеграла  типа  Коши  [4,  с.  107]:

 

,  

.

 

Тогда

 

 

.

 

Найденные  для       выражения  подставим  в  (9):

 

 

.

 

Отсюда

 

 

  .  (14)

 

Используя  свойства  ядер      [4,  с.  98]

 

,

 

 

преобразуем  уравнение  (14)

 

 

 

,

 

далее,  перегруппировав  левую  часть  последнего  уравнения,  получим

 

 

 

.  (15)

 

Введя  обозначения

 

,

  (16)

 

перепишем  (15)  в  виде

 

 

  (17)

 

Из  (16)  видно,  что  ядра     имеют  слабые  особенности,  т.е.  являются  фредгольмовыми  ядрами.  Тогда  интегральные  операторы     являются  вполне  непрерывными  операторами.

Совершив  предварительно  преобразование

 

 

,

 

выделим  характеристическую  часть  сингулярного  интегрального  уравнения  (17):

 

,  (18)

 

где 

 

,  .

 

В  силу  теоремы  [1,  с.7]  оператор 

 

 

 

есть  вполне  непрерывный  оператор.  Таким  образом,  ядра       того  же  типа,  что  и  ядра  .  В  работе  Г.Ф.Манджавидзе  [6]  доказано,  что  для  уравнений  типа  (18)  справедливы  теоремы  Нетера,  понимая  линейную  зависимость  в  смысле  комбинаций  с  действительными  коэффициентами.  По  этой  причине  вместо    фигурирует  ,  разность  числа  решений  данного  уравнения  и  союзного  уравнения  равная 

 

.  (19)

 

Индекс  уравнения  (18)  равен  нулю,  поэтому  теоремы  Нетера  превращаются  в  теоремы  Фредгольма.

Теорема.  Интегральное  уравнение  (18)  не  имеет  решений,  отличных  от  тривиального.

Доказательство.  Допустив  обратное,  рассмотрим  функцию  ,  определяемую  формулами  (13).  Из  самого  способа  получения  уравнения  (18)  следует,  что  его  можно  переписать  в  виде

 

.

 

В  силу  леммы  отсюда  вытекает,  что  .

Таким  образом, 

 

.  (20)

 

Обобщенному  интегралу  типа  Коши  взаимно  однозначно  соответствует  интеграл  типа  Коши  [4,  с.  107], 

Поэтому  из  (20)  следует

 

 

Отсюда  следует,  что    [7].

Теорема  доказана.

Из  этой  теоремы  и  альтернативы  Фредгольма  вытекает,  что  неоднородное  уравнение 

 

 

 

имеет  и  притом  единственное  решение  при  любой  правой  части  f(x).

Тем  самым  мы  показали,  что  краевая  задача  Газемана  (4)—(5)  в  классе  обобщенных  аналитических  функций  в  дробных  пространствах  Бесова  эквивалентна  рассмотренной  и  полностью  решенной  нами  в  работе  [2,  с.  7—24]  краевой  задаче  Газемана  в  дробных  пространствах  Бесова.

 

Список  литературы:

1. Альсейтов  А.Г.  О  вполне  непрерывности  одного  интегрального  оператора  в  дробных  пространствах  О.В.  Бесова  //  Тезисы  II  Международной  научной  конференции  «Проблемы  дифференциальных  уравнений,  анализа  и  алгебры»,  Актобе,  1999.  —  С.  7.
2. Альсейтов  А.Г.  Краевая  задача  Газемана  в  дробных  пространствах  Бесова  //  Естественные  и  математические  науки  в  современном  мире»:  материалы  международной  заочной  научно-практической  конференций.  (22  июля  2013  г.)  Новосибирск.  Изд.  «СибАК».  —  2013.  —  170  с.
3. Бесов  О.В.,  Ильин  В.П.,  Никольский  С.М.  Интегральные  представления  функций  и  теоремы  вложения.  М.:  Наука,  1975.  —  480  с.
4. Блиев  Н.К.  Обобщенные  аналитические  функции  в  дробных  пространствах.  Алма-Ата:  Наука,  1985.  —  160  с.
5. Векуа  И.Н.  Обобщенные  аналитические  функции.  М.:  Физматгиз,  1959.  —  628  с.
6. Манджавидзе  Г.Ф.  Об  одном  классе  сингулярных  интегральных  уравнений  со  сдвигом  //  Докл.  АН  СССР.  —  1958.  —  Т.  123.  —  №  5.  —  С.  791—794.
7. Михайлов  Л.Г.  Краевая  задача  типа  задачи  Римана  для  систем  дифференциальных  уравнений  первого  порядка  эллиптического  типа  и  некоторые  интегральные  уравнения  //  Учен.  зап.  Тадж.  ун-та.  —  1957.  —  Т.  10.  —  С.  32—79.