ОБОБЩЕННАЯ  КОМПЛЕКСНАЯ  ЭКСПОНЕНТА  И  ЕЁ  ПРИМЕНЕНИЯ  ДЛЯ  ОТЫСКАНИЯ  СУММЫ

Сагиндыков  Бимурат  Жумабекович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  КазНТУ,  г.  Алматы

Бимурат  Жанар

Магистрант  ENSG,  г.  Nancy

E-mail:  bimurat55@gmail.com

В  данной  статье  рассматривается  обобщенная  комплексная  экспонента.  Описанная  в  статье  методика  позволяет  найти  некоторые  конечные  суммы  показательно  —  тригонометрических  рядов.

Ключевые  слова:  обобщенное  комплексное  число,  комплексная  экспонента,  формула  Эйлера,  ряды,  конечные  суммы.

Введение

Обобщенная  комплексная  экспонента  —  математическая  функция,  задаваемая  соотношением  ,  где  ,    есть  обобщенное  комплексное  число.  Обобщенная  комплексная  экспонента  определяется  как  аналитическое  продолжение  экспоненты    вещественного  переменного  х.  Определим  формальное  выражение  .  Определенное  таким  образом  выражение  на  вещественной  оси  будет  совпадать  с  классической  вещественной  экспонентой.  Для  полной  корректности  построения  необходимо  доказать  аналитичность  функции  ,  то  есть  показать,  что    разлагается  в  некоторый  сходящийся  к  данной  функции  ряд.  Покажем  это:

,

где:  ,  а  ,    —  вещественные  числа.  Сходимость  данного  ряда  легко  доказывается:

Ряд  всюду  сходится  абсолютно,  то  есть  вообще  всюду  сходится,  таким  образом,  сумма  этого  ряда  в  каждой  конкретной  точке  будет  определять  значение  аналитической  функции  .

Единственным  обобщением  вещественных  чисел  с  сохранением  известных  законов  арифметики  являются  комплексные  числа.  Поэтому  мы  здесь  займемся  обобщением  только  внутреннего  строения  комплексных  чисел.  Обобщенное  комплексное  число    можно  представить  в  виде  ,  где  .  Чтобы  термин  соответствовал  названию,  рассмотрим  частные  случаи.

Если  ,  ,  ,  то  обобщенному  комплексному  числу  соответствует  обычное  комплексное  число  .

Если  ,  ,  ,  то  обобщенному  комплексному  числу  соответствует  двойное  число.

Если  ,  ,  то  обобщенному  комплексному  числу  соответствует  дуальное  число.

Меняя  управляющие  параметры  ,  ,  получаем  разные  теории.

Приступая  к  изложению  обобщенных  комплексных  вида  ,  определим  сложение,  умножение  и  сопряжение  таких  выражений  по  формулам:

сложение   

произведение   

сопряжение   

Умножение    дает  неотрицательное  вещественное  число,  поэтому  определяет  норму  обобщенного  комплексного  числа  .  Таким  образом 

  (1)

Правая  часть  (1)  является  квадратичной  формой  от  двух  переменных  х,  у.

Относительно  инварианта  квадратичной  формы  обобщенные  комплексные  числа  делятся  на  типы.  А  именно,  различают  эллиптические,  гиперболические  и  параболические  комплексные  числа.  Это  означает  следующее.  Пусть  .  Тогда  числа  делятся  на  указанные  типы  в  зависимости  от  того,  какими  являются    и  .  Если    то  такие  обобщенные  комплексные  числа  относятся  к  эллиптическому  типу,  если  же    то  —  к  гиперболическому  типу,  если    то  —  к  параболическому  типу.

Для  обобщенных  комплексных  чисел  отметим  также  формулу  Эйлера

  (2)

истинная  природа,  которой  будет  выявлена  в  дальнейшем.  Наиболее  простое  доказательство  этой  формулы  получается  с  использованием  теории  дифференциальных  уравнений.

В  тождестве  (2)  его  комплексное  сопряжение  дает

,

или

.  (3)

Умножая  (2)  и  (3)  можно  легко  получить  основное  показательно  —  тригонометрическое  тождество  для  обобщенно  —  комплексных  чисел

.  (4)

1.  Формулы  сложения

По  принятому  соглашению    С  другой  стороны    Отсюда  отделяя  вещественные  и  мнимые  части  относительно  параметра  р  имеем:

  (5)

где:  . 

Пример  1.  Пусть  ,  , 

Тогда  из  (2),  (5)  следуют  следующие  формулы  сложения

Если  в  формулах  (5)  принять    мы  получим  формулы  двойного  аргумента

  (6)

Пример 2.  Пусть  ,  ,    Тогда   

2.  Отыскание  сумм  некоторых  показательно-тригонометрических  рядов

Пусть    —  функция  обобщенного  комплексного  переменного  ,  аналитическая  для  ,  где  .  В  этих  условиях  известно,  что  для    функция    может  быть  разложена  в  степенной  ряд

  (7)

Допустим,  что  коэффициенты  этого  ряда  оказались  вещественными  числами.  Положим  .  Таким  образом,  для  любого  х:

  (8)

Отделим  в  выражении    действительную  и  мнимую  части,  т.е.  представим    в  виде

,

где:    и    —  вещественные  функции.  Из  (8)  тогда  очевидно  следует,  что 

Этим  обстоятельством  можно  воспользоваться,  чтобы  получить  суммы  некоторых  показательно  –  тригонометрических  рядов.

Пример  3.  Известно,  что  для  всех   

Тогда  в  силу  (8) 

С  другой  стороны

и  поэтому 

(9)

Пример  4.  Пусть  ,  ,    Тогда  в  силу  (9)

Пример  5.  Найти  сумму  ряда  .  Данный  ряд  является  геометрической  прогрессией  (сходящуюся  для  )  со  знаменателем  .  Следовательно,  .  По  принятому  соглашению    и  .  Тогда

Отсюда

Пример  6.  Пусть  ,  , 

,  . 

Тогда 

Эти  разложения  справедливы  для  всех  х,  когда    или  ,  или  ,  т.  е.  когда  .

3.  Нахождение  конечных  сумм  и  рядов

Найти  сумму  ряда 

Отсюда 

где 

Пример  7.  Пусть  ,  ,  .  Тогда

Пример  8.  Пусть  , 

. 

Тогда

Зная  формулы  понижения  степени,  мы  можем  найти  конечные  суммы  следующих  рядов:    и  ,  где

Пример  9.  Пусть  ,  .  Тогда

Совершенно  аналогично  находится  сумма  для  косинусов:

Список  литературы:

1.Сагиндыков  Б.Ж.  Эллиптическая  система  чисел  и  ее  применение  //  Вестник  КазНТУ.  —  2007.  —  №  4.  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://www.e-lib.kazntu.kz/sites/default/files/articles/sagindykov_2007_4.pdf