Пусть  R^m  —  m  —  мерное  четное  вещественное  евклидово  пространство,   D  —  неограниченная  область  лежащая  в  слое  с  границей      имеет  ограниченные  частные  производные  первого  порядка.

Задача  Коши. 

Пусть: 

где:  F_i(y), G_i(y) заданные  на    непрерывные  функции,    —  внешняя  нормаль  к .Требуется  восстановить  u(y)  в  D.

При  произвольных  начальных  данных  задача  неразрешима.  Если  часть  границы  и  начальные  данные  аналитичны  и  аналитически  продолжим  во  внутрь  области,  то  продолжение  существует  и  единственно,  но  не  устойчиво.  По  этому  оно  относиться  к  числу  некорректно  поставленных  задач.  Первый  результат  в  этом  направление  в  1926  году  получил  Карлеман,  для  класса  ограниченных  функций.  Еще  в  1943  году  Тихонов  указал  на  практическую  важность  неустойчивых  задач  и  показал,  что  если  сузить  класс  возможных  решений  до  компакта,  то  задача  становится  устойчивой  [3,  с.  143],  [5,  с.  162—164].

Карлеманом  было  предложено  идея  введения  в  интегральную  формулу  Коши  дополнительной  функции,  зависящей  от  положительного  параметра  и  позволяющей  путем  предельного  перехода,  погасит  влияние  интегралов  по  части  границы,  где  значение  продолжаемой  функции  не  заданы.

Основываясь  на  исследованиях,  М.М.  Лаврентьев  ввел  важное  понятие  функцию  Карлемана  и  с  ее  помощью  построил  регуляризацию  задачи.  С  помощью  метода  М.М.  Лаврентьева  Ш.  Ярмухамедов  получил  регуляризацию  и  разрешимость  задачи  Коши  для  уравнения  Лапласа  в  ограниченных  областях  [5,  с.  164].  В  Н.Ю.  Жураева  2009  получила  регуляризацию  и  разрешимость  задачи  Коши  для  полигармонических  уравнений  порядка  n  в  некоторых  неограниченных  областях  (при  произвольных  нечетных  m  и  четных  m когда 2n<m) [2,  с.  18—20],  [1,  с.  65—67],  [6,  с.  44—49].  В  этой  работе  построена  функция  Карлемана  для  данной  области  D. 

Определение  1.  Функция  ,  зависящая  от  параметра    определенная  ,  называется  функцией  Карлемана  для  точки    и  части  ,  если  она  удовлетворяет  следующим  условиям:

1.  Функция,    представима  в  виде:

 где: 

и    регулярная  по  переменному  y  и  непрерывно  дифференцируема  на  ,  решения  полигармонического  уравнения.

2.  При  фиксированном    функция    удовлетворяет

где:  постоянная C(X) зависит  от  x  и    —  внешняя  нормаль  к,  когда    . 

Будем  предполагать,  что  решение  u(y)  задачи  (1)—(2)  существует  и  непрерывно  дифференцируемо,  2n-1  раз  вплоть  до  конечных  точек  границы  и  удовлетворяет  определенному  условию  роста  (класс  корректности),  который  обеспечивает  единственность  решения.

Функции    ,   с  условием  ,  определим: 

Теорема  1.  Для  функции    имеет  место: 

  регулярная  по  переменному y и  непрерывно  дифференцируема  на  .

Доказательство.  Обозначая 

и    имея  виду  свойств  гиперболических  функций,  получим: 

тогда  имеет ^J₁ следующий  вид:

Если 

и

тогда:

Отсюда  следует  утверждение  теоремы.

Лемма  1.  Если    гармоническая  функция  в  R^m  по  переменной y  включая  и  точку  X,  то  справедливо  равенство:

функция  тоже  является  гармонической  функцией  в  R^m  по  переменному  y  включая  и  точку  X.

Следствие  1.  При  условиях  леммы  1  справедливы  равенства      и    гармоническая  функция  в R^m   по  переменной  y.

Теорема  2.  Функция  ,  определяемая  при  помощи  формулы  (3)  является  полигармонической  функцией  порядка  n  по  y  при  s  >  0.

Теорема  3.  При  фиксированном    функция    удовлетворяет:

где:  постоянная  C(X) зависит  от  x  и  -внешняя  нормаль .  

Следствие  2.  Функция  ,  определяемая  при  помощи  формулы  (3)  является  функцией  Карлемана  для  точки    и  части  .

Теорема  4.  Пусть  функция  u(x)  решение  задачи  (1)-(2),  имеющий  непрерывные  частные  производные  порядка  2n-1  вплоть  до  конечных  точек  границы  .  Если  для  любого    выполнено  условия  роста 

и  для  любого    выполнено  условие  роста 

Тогда  для  любого    справедливо  интегральное  представление

Список  литературы:

1. Жураева  Н.Ю.  Задача  Коши  для  растущих  полигармонических  функций.  Международная  конференция  «Обратные  и  некорректные  задачи  математической  физики»  посвященная  75-летию  академика  М.М.  Лаврентьева.  Новосибирск.  —  2007.  —  с.  65—67.
2. Жураева  Н.Ю.  Об  интегральном  представлении  полигармонических  функций.  Ташкент.  ДАН  РУз.  —  2008  —  №  3.  —  с.  18—20.
3. Лаврентьев  М.М.  О  некоторых  некорректных  задачах  математической  физики.  Новосибирск,  1962.  —  243  с.
4. Соболев  С.Л.  Введение  в  теорию  кубатурных  формул.  М.:  Наука,  1974.  —  c.  514—673.
5. Ярмухамедов  Ш.  Задача  Коши  для  полигармонического  уравнения.  Доклады  РАН  2003.  —  Том  388  —  с.  162—165.
6. Juraeva  N.Yu.  Об  интегральном  представлении  полигармонических  функций.  «The  second  International  Conference  on  Control  and  Optimization  with  Industrial  Applications»  Baku,  Azerbaijan,  2—4  June,  2008.  —  с.  44—49.