КОМПЛЕКСНЫЕ, ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Якубовский Евгений Георгиевич

инженер вычислительного центра,
Санкт-Петербургский государственный Горный Университет, г. Санкт-Петербург

E-mail: 

Рассмотрим систему нелинейных автономных дифферен­циальных уравнений

                                  (1)

Исследуются комплексные и действительные решения задачи Коши этого дифференциального уравнения в случае действительных и комплексных начальных условиях, при действительном аргументе , т. е. , где величина  соответствует начальному моменту интегрирования, а величина  в общем случае комплексная. Причем в случае действительных значениях , правая часть (1) действительна. Рассматривается регулярная правая часть дифференциального уравнения  относительно аргументов , т. е. она представляется сходящимся рядом с положительными целыми степенями , т. е. правая часть (1) однозначная функция своих аргументов.

Систему дифференциальных уравнений (1) можно представить при не кратных положениях равновесия в виде

,                          (2)

где введен не обращающийся в ноль множитель , который равен . При подстановке этого множителя в (2), получим (1). Покажем, что этот множитель в ноль не обращается. Величины  удовлетворяют условию , где величина  конечна.

При условии  имеем конечный предел

,              (3)

Где произвели сокращение множителя , числитель дроби в ноль не обращается, так как рассматриваются не совпадающие корни, являющиеся координатами положения равновесия. При этом если правая часть  дифференциального уравнения не зависит от величины от переменной  не зависит, надо произвести не вырожденное линейное преобразование  и тогда появится зависимость правой части от всех переменных.

При этом дифференциальное уравнение можно записать в виде

,                                    (4)

где:  стремящаяся к бесконечности функция при условии . В случае решения в действительной плоскости это монотонная функция.

Решением дифференциального уравнения (2) является функция , удовлетворяющая формуле (5). Для получения (5) разделим уравнение (4) на произведение множителей  и умножим (4) на величину . Раскладываем полученную дробь на сумму простых дробей и их интегрируем. Потенцируя полученное выражение, получим (5)

,           (5)

где все значения координат положения равновесия не одинаковы.

Теорема 1. При решении задачи Коши для системы (1), а значит и решение системы (5) величина  при условии . Правую часть (1) считаем регулярными функциями по своим аргументам. Т. е. она либо представляется сходящимся рядом, либо является полиномом многих переменных. Она имеет конечное число не кратных положений равновесия. Она действительна при действи­тельных . Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (1) определяется при комплексных начальных условиях , где  возможно комплексное число. При этом аргументы в правой части формулы (1) будут комплексные, и дифференциальное уравнение будет комплексное, но однозначная функция своих аргументов, при действительном параметре .

Доказательство.

Если при росте времени до бесконечности величина  имеет конечный предел, то имеем формулу . Вычислим спектр сигнала в комплексной плоскости, так как придется интегрировать по комплексной переменной, устремив .

При вычислении последнего интеграла использован вклад граничных точек.

При этом получаем, что интеграл по действительной оси равен вычету в нулевой точке плюс интеграл по дуге окружности с бесконечным радиусом  в верхней полуплоскости

При этом контур  соответствует обходу снизу нулевой точки , и интеграл соответствует вычету в этой точке. При этом величина  стремится к бесконечности , при условии  в силу роста одного из членов на минус бесконечности , или плюс бесконечности , так как второй интеграл от нуля до  считается при условии .

Конец доказательства.

Теорема 2. Решение системы уравнений (5), а, следовательно, и решение задачи Коши для системы (1) в комплексной плоскости с комплексными начальными условиями конечно на действительном отрезке . Правую часть (1) считаем регулярной функцией, заданной сходящимся рядом или полиномом по своим аргументам. Она имеет конечное число не кратных положений равновесия. Она действительна при действительных . Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (1) определяется при комплексных начальных условиях , где  возможно комплексное число. При этом аргументы в правой части формулы (1) будут комплексные, и дифференциальное уравнение будет комплексное, при действительном параметре .

Доказательство. Сумма коэффициентов  по индексу  равна нулю, т. е. . Для доказательства этого тождества рассмотрим полином  степени относительно

,

В точках положения равновесия  полином удовлетворяет . В силу единственности полинома степени , проходящего через  точек, получаем , так как это значение удовлетворяет точкам аппроксимации. Распишем формулу для полинома, равного единице, разделив его на произведение , получим

,

полагая,  получим тождество , в случае, если имеется  положение равновесия.

Допустим, выполняется условие . Тогда левая часть (5) стремится к конечному значению, так как , т. е. . Но согласно теореме 1 величина  не ограничена. Т. е. допущение о бесконечности решения привело к противоречию, значит решение  конечно на любом отрезке .

Конец доказательства.

Теорема 3. Рассматривается задача Коши при произвольных действительных начальных условиях для системы нормальных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1). Случай вырожденного решения задачи Коши – положения равновесия, не рассматривается. В случае, если у системы (1) имеются комплексно-сопряженные положения равновесия, то при конечном аргументе  действительное решение задачи Коши системы (1) при действи­тельных начальных условиях стремится к бесконечности, а потом переходит в комплексное решение, в случае, если все положения равновесия комплексные. При этом правую часть (1) считаем регулярной функцией. Она имеет конечное число не кратных положений равновесия.

Доказательство.

Если решать систему (2) в действительной плоскости при не кратных положениях равновесия, то получим

,                (6)

где:  выделенное комплексное положение равновесия,

 остальные положения равновесия. Коэффициенты  удовлетворяют . При этом в сумме  величина действительной части  в случае комплексного значения  участвует дважды и в силу того, что все числа  удовлетворяют условию , имеем формулу .

Обоснуем формулу (6). Для этого два комплексно сопряженных члена решения преобразуем (для упрощения записи индекс  опускаем)

,             (7)

где . После интегрирования (7) по аргументу , получим формулу (6)

.

Решение равняется

,

где

.

При этом величина  действительная в силу существования комплексно-сопряженных положений равновесия. Т. е. имеем равенство при условии

.     8)

Это уравнение имеет решение, стремящееся к бесконечности при условии

       (9)

Подставляя формулу (13) в формулу (12), получим

.

При этом, это уравнение имеет решение , так как сводится к тождеству

.

Это уравнение определяет бесконечное решение, которое меняет знак бесконечности справа от координаты бесконечности.

При этом решение дифференциального уравнения при росте  может иметь комплексные корни

.

При этом, так как справедливо  имеются числа с отрицательной действительной частью , значит неизвестная функция будет стремиться к одному из положений равновесия, чтобы обеспечить бесконечность правой части. Значит, если все положения равновесия комплексные получается конечное комплексное решение при условии бесконечности . Т. е. в промежуточной точке начнется комплексное решение. При этом действительное решение устремится к бесконечности, будут нарушены условия существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и возникнет комплексное решение.

Конец доказательства.

Приведем пример, описывающий это свойство дифференциаль­ного уравнения, переход к комплексному решению. Так для диффе­ренциального уравнения может возникнуть комплексное решение, вместо бесконечного действительного решения

.

Причем положения равновесия чисто мнимые , и значит, решение может не стремиться к положению равновесия.

Используя неявную схему решения, получим следующее уравнение

.

Разрешая относительно неизвестной функции , получим неявную схему

.

Которое при условии  определит конечное комплексное решение.

Теорема 4. Для обязательного существования конечного точного решения нелинейных уравнений в частных производных типа (14) необходимо использовать комплексное решение.

Доказательство.

Рассмотрим уравнение в частных производных

  (10)

решение ищем в виде

.                                        (11)

Сходимость ряда (11) при условии  доказывается в каждом отдельном случае с помощью численного эксперимента.

Подставим в уравнение (10) функцию (11), умножим уравнение (10) на величину , где величина произведений этих функций является интегрируемой по пространству и все эти функции независимы, и проинтегрируем по всему пространству, уравнение (6) может быть сведено к системе уравнений

      (12)

Рассмотрим случай, когда правая часть (12) является сходящейся функцией, возможно с конечным числом членов. Конечное число членов получается, если коэффициента квазилинейной системы уравнений в частных производных являются полиномом от неиз­вестной функции . Где при комплексных положениях равновесия системы уравнений (12), действительное решение  стремится к бесконечности, а комплексное решение конечно, аналогично решению системы (1).

При этом необходимо сказать, что имеет конечное значение точное комплексное решение и может оказаться, что в случае разных на порядки решений дифференциального нелинейного уравнения приближенное решение, считаемое с помощью ЭВМ, может стремиться к бесконечности, как решение жесткого обыкновенного дифференциального уравнения.

Покажем, что и величина  стремится к бесконечности, в случае бесконечных коэффициентов . Для этого умножим величину (11) на , и проинтегрируем по пространству, получим

.

Допустим, величина  конечна. Тогда и величина коэффициентов  конечна. В силу независимости функции  и конечности интегралов, равных , определитель матрицы Грамма  не вырожден (см. [1]), причем величины  являются векторами со скалярным произведением в виде интеграла по пространству. Но тогда в силу предположения конечность коэффициентов , конечны и коэффициенты . В случае бесконечных коэффициентов , бесконечны и коэффициенты .

Итак, показано, что для комплексных значений положения равновесия системы дифференциальных уравнений (12), точное решение уравнения в частных производных бесконечно в действи­тельной плоскости и конечно в комплексной плоскости.

Отсюда вывод, решение нелинейного уравнения в частных производных при любом способе решение могут стремиться к бесконечности, а при комплексном решении имеют конечное решение.

Конец доказательства.

Отметим, что необходимость комплексного решения следует из решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Физическим смыслом комплексного свободного решения, без наложения связей, в декартовом  мерном пространстве, является возникновение вращения траектории. Возникающее вращательное движение при свободном движении частицы является свойством нелинейных систем, когда скорость движения входит в уравнение нелинейно. Этим возникающим вращательным движением в потоке является турбулентность. Причем как показано в разделе 4. комплексное решение определяет средние величины в потоке, действительная часть решения среднюю скорость, а мнимая часть решения определяет среднеквадратичное отклонение скорости при действительных начальных условиях. При этом мнимая часть решения имеет другой физический смысл, она описывает среднее вращение жидкости. Т. е. комплексное решение описывает среднюю скорость в потоке при комплексных начальных условиях.

Теорема 5. В  мерном случае, восстановить комплексный вектор , у которого действительная и мнимая часть ортогональны, по комплексному вектору , у которого действительная и мнимая часть не ортогональна, надо с помощью формулы

.

Причем эта формула удовлетворяет . Причем надо отметить, что функции  расположены в разных  мерных пространствах, а функция  построена для одного пространства, в котором действительная и мнимая часть ортогональны.

Доказательство.

Вектора действительной и мнимой части должны быть ортогональны, как на двумерной плоскости, так и в  мерном пространстве. Преобразовать их, это значит построить из действи­тельного и мнимого не ортогонального вектора, два ортогональных вектора.

Причем считаем, что функции  заданы в одинаковых пространствах

.

Покажем, что векторы  ортогональны. Для этого составим скалярное произведение этих векторов

.

При этом действительный вектор в действительном пространстве, соответствующий комплексному вектору , равен .

При этом комплексные вектора  получаются в результате решения нелинейных уравнений в частных производных, сводящихся к обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнениям, а комплексный вектор  построен, и удовлетворяет основному свойству комплексных векторов, его действительная и мнимая часть ортогональны.

Список литературы:

1.        Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: «Наука», 1988. — 552 с.