АППРОКСИМАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ ДЛЯ СЛАБО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ НАЧАЛЬНОЙ ОРБИТЫ

APPROXIMATION OF THE TRAJECTORY OF SOLAR SAIL Spacecraft FOR WEAKLY ELLIPTIC INITIAL ORBIT

Elena Polyakhova

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Saint-Petersburg State University, Russia, Saint-Petersburg

Vladimir Korolev

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg, Russia

АННОТАЦИЯ

Специфика управления солнечным парусом космического аппарата (КА) состоит во взаимосвязи поступательного и вращательного движений всей конструкции. Чтобы эффективно управлять движением КА с учетом светового давления  при различных требованиях или условиях достижения конечной траектории необходимо менять размеры или ориентацию паруса относительно потока солнечных лучей. Возможны различные модели учета действующих сил и критерии качества управления движением КА при исследовании системы уравнений динамики.

ABSTRACT

The specifics of controlling the solar sail of a spacecraft (SC) is the relationship of translational and rotational movements of the entire structure. In order to effectively control the motion of the spacecraft with regard to the light pressure under different requirements or conditions for reaching the final trajectory, it is necessary to change the dimensions or orientation of the sail relative to the flow of sunlight. There are various models for taking into account the acting forces and quality control criteria for spacecraft motion when studying the system of dynamic equations.

Ключевые слова: космическая динамика, световое давление, солнечный парус, аппроксимация, управление.

Keywords: space dynamics, radiation pressure, solar sail, approximation, control.

Движение в космосе для космических аппаратов под солнечным парусом базируется на эффекте светового давления [2, 6]. Величина и направление вектора сил светового давления определяется площадью поверхности парусов, их свойствами и углом ориентации относительно потока солнечных лучей. Особенностью задач становится управление космическим аппаратом с использованием солнечного паруса в качестве двигательных установок малой тяги, но имеющих почти неограниченный ресурс.

Для построения математических моделей динамики следует выделить объекты исследования и определить условия взаимодействия, а также возможное влияние дополнительных внешних сил, которые могут учитываться для записи уравнений. Использование специальных преобразований уравнений, асимптотических или численных методов исследования позволяет повысить эффективность алгоритмов решения задач или приводит к дополнительным исследованиям в более сложной постановке и позволяет существенно повысить точность прогнозирования движения.

Свойства уравнений определяются системой координат и алгоритмом на основе законов классической механики. Изменения декартовых координат при движении КА в пространственном случае описывает система уравнений второго порядка

                           (1)

где  – декартовы координаты,  – проекции вектора скорости v на оси координат,  – гравитационный параметр центрального тела,  – модуль радиус-вектора,  – силовая функция возмущений от геопотенциала и других гравитационных сил,  – компоненты ускорения непотенциальных сил при работе реактивного двигателя на активном участке, учете сопротивления атмосферы, светового давления на парус или других сил.

В случае, когда основными действующими силами можно считать действие силы притяжения Солнца и световое давление на парус, тогда можно использовать модель фотогравитационного центрального поля.

Рисунок 1. Формирование силы тяги светового давления на парус

Можно использовать полярные координаты  при сохранении движения в плоскости начальной орбиты

                            (2)

Здесь  – компоненты возмущающего ускорения, которые зависят от закона управления углом  установки элементов паруса по отношению к потоку солнечных лучей, площади поверхности и величины давления света  на соответствующем удалении  от Солнца. Алгоритмы управления многочисленны и определяются назначением маневра и параметрами начальной и конечной орбит

                                             (3)

Направление вектора тяги и моменты относительно основного корпуса космического аппарата можно менять при условии, что величина поверхности солнечного паруса и расположение элементов паруса относительно аппарата может изменяться с использованием дополнительных устройств. Это позволит выбирать оптимальное управление в процессе маневрирования, учитывая сочетание орбитального и вращательного движения при заданном законе   .

Если рассматривается движение в окрестности Земли, то направления основных сил не совпадают, но можно в первом приближении полагать, что световой поток определяет постоянную по величине силу давления, которая проходит коллинеарно прямой через два главных тела системы в рамках ограниченной задачи трех тел, а затем учитывать поправки для управления ориентацией благодаря изменениям углового положения или формы паруса. Таким образом, в уравнения движения во вращающейся системе координат будет входить постоянное возмущение, которое легко учитывать.

Общая постановка задачи о построении и аналитическом решении уравнений орбитального и вращательного движений космического аппарата с солнечным парусом с учетом различных возмущений была сформулирована в работах [2, 5, 8].

Рисунок 2. Формирование подвижной системы координат в рамках ограниченной задаче трех тел.

В качестве примера рассмотрена задача о движении КА в плоскости эклиптики в случае начальной круговой или слабо эллиптической орбиты в гравитационном поле Земли для выхода из сферы действия и дальнейшего полета к планетам или астероидам. За независимую переменную можно принять полярный угол текущего положения на орбите.

Приняты следующие допущения:

1. солнечный парус представляет собой плоскую идеально отражающую поверхность;
2. движение происходит в центральном гравитационном поле Земли;
3. учитывается возмущение только от действия светового потока постоянной интенсивности (однородное поле силы давления);
4. система управления относительным положением солнечного паруса относительно центра масс идеальна.

Ориентируем начальную слабо эллиптическую орбиту в плоскости эклиптики так, чтобы она была симметрична относительно полярной оси. Полярный угол  будем отсчитывать от линии апсид, перпендикулярной к направлению солнечных лучей. Фокальный параметр  и большая полуось орбиты  определяются через радиус в перицентре начальной орбиты:

                               (4)

За малый параметр задачи примем отношение возмущающего ускорения  под действием силы тяги нормально ориентированного паруса к центростремительному ускорению на круговой орбите радиуса

                                                     (5)

Уравнения возмущенного движения в полярных координатах могут быть преобразованы к переменным   и записаны в виде аналогичном формуле Бине:

                     (6)

В этих уравнениях – радиальная и – трансверсальная компоненты возмущающего ускорения, явный вид которых зависит от управления углом положения паруса относительно солнечных лучей.

Принимаем дополнительное условие, что угловая скорость вращения паруса около центра масс в два раза меньше орбитальной угловой скорости аппарата. Тогда

                                 (7)

Начальное возмущающее ускорение вычисляется по формуле

,

в которой =0.46^.10^-4 г/см^.сек² – среднее удельное давление солнечной радиации на орбите Земли, коэффициент отражения паруса,  отношение площади миделевого сечения к массе.

Запишем правые части уравнений (1) в виде, содержащем малый параметр:

            (8)

Для решения нелинейных уравнений (2) применим метод малого параметра, отыскивая общее решение в виде степенных рядов

     (9)

Решение задачи в нулевом приближении описывает невозмущенное кеплерово движение по круговой орбите с параметрами

.                                (10)

Решение в первом приближении представляет собой решение уравнений

Заменим скобки  их приближенным выражениями

, .

Считаем эксцентриситет  достаточно малым и перепишем систему уравнений (11) в виде

,  ,                         (12)

Здесь

Разложим – периодические функции в ряды Фурье на промежутке

,  ,                    (13)

Здесь

Решение системы (4) для нулевых начальных условий имеет вид:

,   (14)

Решение системы (2) с учетом первого приближения можно получить в виде:

    (15)

,

.

Введем новую переменную

                                  (16)

и учитывая, что

,

представим траекторию в виде конического сечения:

                                   (17)

Эксцентриситет , фокальный параметр  и угловое расстояние апогея от полярной оси   являются для этого сечения величинами переменными и зависят от полярного угла .

Значения, соответствующие , определяются так:

Зависимость эксцентриситета  и угла  от  для  дают возможность представить траекторию движения (6) однопараметрическим семейством дуг кеплеровых эллипсов, а число витков  можно выбрать в качестве параметра. Время движения следует определять квадратурой

.

Используя решения (5) и возвращаясь к переменной  , можно выразить время движения в функции полярного угла   :

                  (18)

Формулы (7)-(9) показывают, что возмущающая сила давления солнечных лучей на парус вызывает удаление аппарата от Земли по спиральной траектории движения, которую аппроксимирует семейство кеплеровых эллипсов. Полученные решения справедливы на ограниченном участке траектории для   или . При выбранном значении малого параметра первое уравнение (5) дает возможность определить границу применимости метода в случае эллиптической орбиты.

Влияние эллиптичности начальной орбиты сказывается в вековом изменении формы и размеров орбиты, а также углового расстояния. Представляет интерес оценка влияния эксцентриситета начальной орбиты на параметры траектории. Выведение космического аппарата на сильно вытянутую геоцентрическую начальную орбиту в значительной степени сократило бы время маневра при движении объекта.

Общее решение уравнений движения в нулевом приближении, зависящее от времени и набора произвольных постоянных, позволяет получить решение уравнений Эйлера-Лагранжа  [3-5, 15] и определить функцию Гамильтона задачи оптимизации с помощью дифференцирования по вектору произвольных постоянных [5-9, 14]. Фундаментальная матрица решений системы уравнений возмущенного движения определяется через решения системы уравнений в вариациях [2-7]. Это позволяет определить выражения для параметров оптимального решения [6-16]. Решение получается последовательным удовлетворением уравнений, полученных для соответствующей степени малого параметра из общей совокупности условий стационарности [10]. При этом используется полученное на основе принципа максимума Понтрягина явное представление лагранжевых множителей на участках активного и пассивного полета космических аппаратов.

Аппроксимация возмущений кусочно-непрерывными функциями приводит к последовательному сопряжению участков траекторий, полученных при выбранной параметризации промежутков движения.

Создание полноценного солнечного парусника, использующего давление солнечного света для практических целей, остается делом будущего. Для этого потребуются сложные конструкторские решения и новые космические технологии, чем это представлялось ранее. Особой задачей становится управление космическим аппаратом с использованием солнечного паруса в качестве двигательных установок малой тяги. Теория оптимального управления приводит к сложным постановкам задачи для решения полученных уравнений.

Список литературы:

1. Галиулин И.А. Регулярные прецессии и их структурная устойчивость. – М.: изд. МАИ, 2014. – 160 с.
2. Егоров В.А. Помазанов М.В. Солнечный парус: принципы конструкции. Управление и перелеты к астероидам. М.: Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 1997, 087.
3. Карпасюк И.В., Шмыров А.С. Управление космическим аппаратом с солнечным парусом на низкоширотной околокруговой орбите // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 4, № 22. – С. 89–93.
4. Королев В.С. Определение движения навигационных спутников с учетом возмущений // Вестник С-Петерб. Университета. Серия 10. 2004. Вып. 3-4. С. 39-46.
5. Поляхова Е.Н. Определение возмущающих моментов сил давления солнечной радиации, действующей на тело вращения // Труды АО ЛГУ, 1972, № 29, с.152-163.
6. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. – М.: Наука, 1986. – 304 с.
7. Поляхова Е.Н., Гриневицкая Л.К. Построение приближенного решения уравнений геоцентрического движения космического аппарата с солнечным парусом // Вестник Ленингр. Ун-та, 1973, № 7, с. 134-143.
8. Поляхова Е.Н., Шмыров А.С. Физическая модель сил давления световой радиации на плоскость и сферу. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 1994. № 2. С. 87
9. Поляхова Е.Н., Старков В.Н., Степенко Н.А. Полеты космического аппарата с солнечным парусом вне плоскости эклиптики // Устойчивость и процессы управления. Материалы конференции. 2015. С. 91-92.
10. Поляхова Е.Н., Шмыров А.С., Шмыров В.А.О задаче стабилизации орбитального движения космического аппарата с солнечным парусом в окрестности L1. // Устойчивость и процессы управления. Материалы конференции. 2015. С. 149-150.
11. Forward R.L. Light-Levitated Geostationary Cylindrical Orbits. Journal of the Astronautical Sciences, Vol. 29, No. 1, 1981, pp. 73-80.
12. Kirpichnikov S.N., Kirpichnikova E.S., Polyakhova E.N., Shmyrov A.S. Planar heliocentric roto-translatory motion of a spacecraft with a solar sail of complex shape. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol.63, No. 3-4, 1996, pp. 255-269.
13. Korolev V.S., Pototskaya I.Yu. Integration of dynamical systems and stability of solution on a part of the variables. Applied Mathematical Sciences, V. 9(15), 2015. P. 721-728.
14. Martyusheva A., Oskina K., Petrov N., Polyakhova E. Solar radiation pressure influence in motion of asteroids, including near-earth objects //  International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading, 2015. С. 7106756.
15. Polyakhova E.N., Korolev V.S. Problem of Spacecraft Control by Solar Sail. International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems. (Pyatnitskiys Conference 2016). 2016. С. 7541214
16. Polyakhova E.N., Pototskaya I.YU., Korolev V.S.  Problems of Control Motion and Stability of Solar Sail Spacecraft, 17th International Multidisciplinary Scientific GeoConference, SGEM 2017, 29 June - 5 July, 2017, Vol. 17, Issue 62, pp. 939-946, DOI: 10.5593/sgem2017/62/S28.120