ПОЗИЦИОННЫЙ ПРИНЦИП МИНИМУМА В ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ

Дискретные процессы управления приобретают все большее значение в теории и практике оптимального управления. Это связано с тем, что многие задачи экономического планирования, технологии и организации производства, исследования операций, военного дела описываются разностными уравнениями, так как на практике чаще всего и информация о состоянии процесса, и управление процессом осуществляются в дискретные моменты времени, т.е. по шагам.

Для решения таких многошаговых задач возможны два подхода. Один из них – вариационный – подход основан на распространении идей и методов математического программирования на многошаговые задачи и смыкается с аппаратом принципа максимума Л.С.Понтрягина, развитого для решения задач оптимального непрерывного управления. Этот подход иногда называют «дискретный принцип максимума» (ДПМ).

Поскольку задачи дискретного оптимального управления фактически являются задачами математического программирования специальной структуры, то для них в общем случае не имеет места аналог принципа максимума Понтрягина – фундаментальное необходимое условие оптимальности в непрерывных задачах оптимального управления. Тем не менее, значительные усилия математиков были посвящены выделению классов задач дискретного оптимального управления, в которых принцип максимума справедлив, возможно в несколько ослабленной форме «квазимаксимума» [2; 3; 4].

В данной работе проводится аналитическое исследование примеров дискретной задачи из [1, с. 431]. Будем исследовать примеры, исходя из следующей схемы:

а) функционал представляется как явная функция от управления;

б) проводится решение задачи при помощи ДПМ. Составляется функция Понтрягина  и сопряженная система . Находится решение сопряженной системы и решается задача ;

в) вводится расширенная функция Понтрягина . Сопряженная система решается при заданном оптимальном управлении. Решаются задачи минимизации .

г) применяется позиционный принцип минимума в качестве схемы улучшения неоптимального управления.

Пример 1. .

а) Имеем . Отсюда

б) Составим функцию Понтрягина

и сопряженную систему

Найдем решение сопряженной системы при оптимальном управлении

Котраектория для заданного управления такова:

⇒ При

Очевидно, что оптимальное управление  не является точкой минимума этой функции, т.е. ДПМ не имеет места.

в) Поскольку функция  линейна, то .

При

При

Отсюда получаем два экстремальных селектора , которые образуют множество . Эти селектора дают оптимальные управления.

Стартуя с оптимального управления , мы получили, что оно не дает минимума функции , т.е. условие минимума для него не выполнено. Но позиционный спуск с  привел к другим оптимальным управлениям.

г) Для неоптимального управления  котраектория  такова:

⇒ При

При

Мы видим, что для  позиционное улучшение приводит к оптимальному управлению за одну итерацию.

Пример 2.

а) Имеем . Отсюда

б) Составим функцию Понтрягина

и сопряженную систему

Найдем решение сопряженной системы при оптимальном управлении

Котраектория для заданного управления такова:

⇒ При

Очевидно, что оптимальное управление  не является точкой минимума этой функции, т.е. ДПМ не имеет места.

в) Поскольку функция  линейна, то .

При

При

Отсюда получаем два экстремальных селектора , которые образуют множество . Эти селектора дают оптимальные управления.

Стартуя с оптимального управления , мы получили, что оно не дает минимума функции , т.е. условие минимума для него не выполнено. Но позиционный спуск с  привел к другим оптимальным управлениям.

г) Для неоптимального управления  котраектория  такова:

⇒ При

При

Мы видим, что для  позиционное улучшение приводит к оптимальному управлению за одну итерацию.

Пример 3.

а) Имеем . Отсюда .

б) Составим функцию Понтрягина

и сопряженную систему

Найдем решение сопряженной системы при оптимальном управлении

Котраектория для заданного управления такова:

⇒ При

Очевидно, что оптимальное управление  не является точкой минимума этой функции, т.е. ДПМ не имеет места.

в) Поскольку функция  линейна, то .

При

При

Отсюда получаем экстремальные селектора , которые образуют множество . Эти селектора дают оптимальные управления.

Стартуя с оптимального управления , мы получили, что оно не дает минимума функции , т.е. условие минимума для него не выполнено. Но позиционный спуск с  привел к другим оптимальным управлениям.

г) Для неоптимального управления  котраектория  такова:

⇒ При

При

Мы видим, что для  позиционное улучшение приводит к оптимальному управлению за одну итерацию.

В ходе данной работы было проведено аналитическое исследование примеров дискретной задачи оптимального управления. Сделан вывод о том, что схема улучшения неоптимального управления дает одно множество селекторов, которые доставляют оптимум функционалу. Попутно было установлено, что условие минимума не является необходимым условием оптимальности в общих дискретных задачах оптимального управления.

Список литературы:

1. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971.– 419 с.
2. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория Экстремальных задач.– М.: Наука, 1974.
3. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 360 с.
4. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973.