СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Копец Мирослав Михайлович

канд. физ.-мат. наук, доцент НТУУ «КПИ», г. Киев

E-mail: miroslav1941@windowslive.com

 

Введение

Обычно сингулярная система линейных уравнений с частными производными имеет следующий вид

, , ,                  (1)

где , ,  — заданные постоянные матрицы размера , — искомая  вектор — функция, причем , то есть матрица  является вырожденной; переменная ассоциируется со временем, — пространственная переменная, , ,  — заданные действительные числа,  — -мерный действительный вектор-столбец, в дальнейшем называемый состоянием системы (1). Такие системы называют по-разному: алгебро-дифференциальные системы; вырожденные системы; дифференциально-алгебраические системы; системы не типа Коши-Ковалевской; системы, не разрешенные относительно производных; дескрипторные системы; сингулярные системы; системы с вырождением. Однако независимо от названия всех их объединяет одно общее свойство: матрица  — вырожденная (). Возможны также случаи, когда обе матрицы и — вырожденные. Сингулярным системам со сосредоточенными параметрами посвящены, например, работы [6—8] . Там же можно найти обширную библиографию по данному вопросу. Сингулярные системы с распределенными параметрами менее исследованы. В частности, такие системы изучались в работах [1—2]. В качестве простого иллюстративного примера, который приводит к сингулярной системе (1), можно рассмотреть телеграфное уравнение [5, с. 215]:

 

.                           (2)

 

С помощью введения новых переменных:

уравнение (2) можно свести к следующей системе трех уравнений:

где матрицы , , соответственно равны:

, ,  .

 

К сингулярным системам относят также и такие системы вида (1), когда все три матрицы , , — прямоугольные матрицы одинакового размера.

Вспомогательные сведения

Пусть объект управления описывается следующей системой линейных уравнений с частными производными

,             (3)

где , ,  — заданные матрицы размера ,  — заданная матрица размера , причем все эти четыре матрицы — постоянные (их элементами являются действительные числа) и . Переменная ,  ассоциируется со временем, переменная , , является пространственной переменной, , и   — заданные действительные числа,  — действительный -мерный вектор-столбец, в дальнейшем называемый состоянием системы (3), действительный -мерный вектор-столбец  называется управлением. Предполагается, что управления принадлежат классу кусочно-непрерывных вектор-функций. Для системы (3) задано начальное условие

                                                               (4)

и граничное условие

.                                                   (5)

Действительные -мерные вектор-столбцы  и  известны. Считаем, что для каждого заданного управления система уравнений (3) имеет единственное решение, которое удовлетворяет условиям (4) и (5).

Рассмотрим следующий критерий оптимальности

,                                           6)

где выражение  означает скалярное произведение векторов  и , то есть ,  —

заданная симметричная положительно определенная матрица размера  (следовательно, существует матрица),  и  также известные симметричные неотрицательно определенная матрицы размера . Задача оптимального управления объектом, описываемым системой соотношений (3) — (5), состоит в определении такого управления , при котором функционал (6) принимает наименьшее значение. Если такое управление существует, то оно называется оптимальным управлением.

Как правило, для нахождения решения задач оптимального управления системами как и со сосредоточенными параметрами, так и с распределенными параметрами, используется принцип максимума Л.С. Понтрягина [4, с. 183] или метод динамического программирования Беллмана [4, с. 291]. Оба этих метода предполагают, что система дифференциальных уравнений, которая описывает поведение объекта управления, разрешена относительно производных по времени. В случае сингулярных систем такой возможности нет. Однако можно воспользоваться методом множителей Лагранжа [4, с. 31]. Сущность метода состоит в том, что вместо функционала (6) рассматривается следующий функционал

,                                                   (7)

где  — неизвестная  вектор-функция. Очевидно, что при выполнении соотношения (3) значения функционалов (6) и (7) совпадают. Поэтому задача на условный экстремум для функционала (6) сводится к задаче на безусловный экстремум для функционала (7). Дальше находим выражение для приращения функционала (7).

После несложных преобразований находим для следующую формулу (см. [3])

.                                            (8)

Полученное выражение для  дает возможность сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1. Единственное оптимальное управление , которое реализует минимум функционала (6), определяется из таких соотношений:

                        (9)

 

Доказательство этого утверждения приведено в работе [3]. Исходя из системы уравнений (9) и соотношения можно получить следующие уравнения:

 

,                                  (10)

,                                          (11)

, ,,                                (12)

 

где  — неизвестная матричнозначная функция. Уравнение типа (10) будем называть сингулярным матричным дифференциальным уравнение Риккати с частными производными.

Свойства сингулярного матричного уравнения Риккати с частными производными

Применяя к равенству (10) операцию транспонирования, приходим к такому соотношению

 

.                                    (13)

Условия (11) и (12) после транспонирования соответственно примут вид

,                                      (14)

 , ,.                         (15)

Кроме того, из равенства (14) имеем

.                                      (16)

Таким образом, обе функции и являются решениями одного и того же уравнения (10) и удовлетворяют одним тем же условиям (11) и (12). Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если задача (10) — (12) имеет единственное решение, то справедливо равенство , то есть для каждой упорядоченной пары где решение  есть симметрической матрицей порядка .

Теорема 3. Если  — решение задачи (10) — (12), то имеет место соотношение

,                                     (17)

где функции  и удовлетворяют системе уравнений

                           (18)

и дополнительным условиям

 

,,       (19)

при условии, что матричнозначная функция  существует. Также выполняются равенства , .

Доказательство. Предположим, что существует матрица и имеет место следующая зависимость

,                                             (20)

где  и  — неизвестные пока функции. Выполнив в равенстве (20) операцию транспонирования, получим

.                                    (21)

Дальше рассмотрим очевидное тождество

.                                            (22)

Подставляя в левую часть (22) значение из (20), а в правую часть из (22), получаем следующее соотношение

,                 (23)

которое в дальнейшем будет использовано.

Из соотношения (20) имеем

              (24)

и

.                 (25)

Подставляя (20), (21), (24) и (25) в уравнение (10), получим

 

.          (26)

После умножения равенства (26) справа на матрицу , имеем

.                        (27)

Если теперь предположить, что выполняется соотношение

,                              (28)

то равенство (27) примет вид

. (29)

Теперь, принимая во внимание соотношения (11), (20) и (21), получим

.

С учетом этого равенства и соотношения (23) уравнение (29) можно переписать следующим образом

или

.

Последнее соотношение будет выполнено, если имеет место равенство

.                     (30)

Таким образом, объединяя соотношения (28) и (30), в результате получаем следующую систему матричных уравнений с частными производными

.        (31)

Условие (11) приводит к такому равенству

.

Если это равенство умножить слева на матрицу и справа на матрицу , то в результате получим

 

.

 

Из равенства  имеем  или . Из условий  и равенства  получаем .

Теорема 4. Если рассмотреть блочную матрицу  размера 

,                              (32)

то систему уравнений (31) можно записать в таком виде

 

,                                (33)

где   — квадратная матрица размера , все элементы которой равны нулю.

Доказательство. Действительно, путем непосредственного вычисления находим

 

.

Подобным образом устанавливается и следующее утверждение.

Теорема 5. С помощью матрицы (32) систему уравнений (10) — (11) можно записать в блочной форме

 

,      (34)

 

где — единичная матрица размера ,  — квадратная матрица размера , все элементы которой равны нулю.

Доказательство. В самом деле, имеем

 

 

.

Дальше находим

.

Таким образом, окончательно получим

,

поскольку . Это означает, что равенство (34) доказано.

Теорема 6. Пусть функция  — частное решение уравнений (10) — (12). Если — некоторое другое решение задачи (10) — (12), отличное от , то функция  является решением матричного уравнения Бернулли с частными производными

, (35)

где , . При этом выполняются равенства ,,  и .

Доказательство. Из равенства  непосредственно имеем  и . Подставляя эти выражения в уравнение (10), получим:

.                (36)

Согласно условию теоремы 6 имеет место равенство

.

 

С учетом этого соотношения из (36) находим

 

.

 

Если ввести обозначение , то тогда , и последнее соотношение примет вид

 

 

Дальше из равенства имеем . Из соотношений , и  получаем ,. Также из равенств , , соответственно находим ,. Это означает, что теорема 6 полностью доказана.

Теорема 7. С помощью замены  уравнение (35) сводится к линейному уравнению . При этом должно выполняться условие .

Доказательство. Поскольку верно равенство , то используя формулы и , имеем . Кроме того, из тождества  очевидным способом получаем . С помощью формулы для производной обратной матрицы имеем и . Подставляя эти выражения в уравнение (35), получим

.

Используя теперь соотношения и , последнее равенство перепишем так

.

Если теперь это равенство умножить слева на матрицу, то окончательно находим

.                      (37)

Учитывая равенство , получим . Таким образом, теорема 7 полностью доказана.

Пусть известно частное решение  уравнения (37). Тогда это уравнение можно свести к однородному уравнению, если выполнить замену.

.                                                    (38)

На основании (38) имеем

                                                             (39)

и

 , .                (40)

Подставляя (38) — (40) в уравнение (37), находим

.                               (41)

Согласно предположению справедливо равенство

.

Поэтому из (41) имеем

.                            (42)

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 8. Если матричнозначная функция  является решением уравнения (37), то с помощью замены (38) уравнение (37) сводится к однородному линейному уравнению (42).

Решение уравнения (42) можно искать в виде следующего произведения , где  — произвольная постоянная матрицы размера ,  и  — неизвестные матрицы такого же размера. Отсюда следует, что

,   

и . Подставляя эти выражения в уравнение (42), имеем

.

Это равенство запишем в следующей эквивалентной форме

.     43)

Если теперь функцию  выбрать так, чтобы выполнялось равенство

,                                   (44)

то соотношение (43) будет выглядеть так

. 45)

Поскольку имеет место соотношение , то отсюда находим . Из равенств , имеем . Так как и , то можно написать равенство  или , если матрица  существует. Также из равенства  получаем . С учетом этих замечаний вместо уравнения (45) получим следующее уравнение

 

или

.

Умножая справа последнее равенство на матрицу , находим

.

Если теперь в этом уравнении сделать замену  и учесть, что  и , то окончательно находим

 

.                                    (46)

 

В результате приходим к следующему утверждению.

Теорема 9. Решение уравнения (42) имеет вид , где  — произвольная постоянная матрицы размера ,  и  — матричнозначные функции такого же размера, удовлетворяющие уравнениям (44) и (46) соответственно при условии, что матрица существует.

Уравнение (10) можно представить в симметрической форме. В самом деле, из условия  следует, что . Поэтому  и . Отсюда следует, что уравнение (10) можно переписать так

.     (47)

Уравнение (47) естественным образом порождает следующую блочную матрицу

                                                (48)

размера .

Теорема 10. С помощью матрицы (48) уравнение (47) можно представить таким образом

.

Доказательство. С помощью непосредственного вычисления находим

\

 

 

,

 

что и требовалось доказать.

Вычисление минимального значения критерия оптимальности

На основании формулы Ньютона-Лейбница имеем

.

Так как имеет место равенство , то отсюда непосредственно находим

.        (49)

С учетом этого замечания функционал (6) можно представить таким образом

. (50)

Согласно формуле дифференцирования произведения трех сомножителей получим

.          (51)

С учетом соотношения (51) функционал (50) примет вид

.         (52)

Подставляя выражение в уравнение (3), имеем

.               (53)

Выполняя операцию транспонирования в соотношении (53) . получим

.        (54)

Поскольку , то  и

. (55)

Дальше на основании соотношений (53) и (54) находим

,                              (56)

,                 (57)

С учетом соотношений (55) — (57) функционал (52) примет вид

.             (58)

Поскольку справедливы равенства , то на основании формулы Ньютона-Лейбница получим

. (59)

Из очевидного соотношения

,

с учетом равенства (59) находим

.(60)

Теперь принимая во внимание соотношение (60) и приводя подобные члены в (58), имеем

.

Поскольку справедливы соотношения (10) и (11), то окончательно получим

.                                       (61)

 

Теорема 11. Минимальное значение функционала (4)

вычисляется по формуле (61), где функция  — решение матричного уравнения с частными производными (10) и удовлетворяет дополнительными условиям (11) — (12).

 

Список литературы:

1.Бормотова О.В., Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф.В. О разрешимости вырожденных систем дифференциальных уравнений в частных производных. // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 4 (515). — С. 18—29.

2.Бормотова О.В., Чистяков В.Ф. В. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской. // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 8. — С. 1380—1387.

3.Копец М.М. Оптимальное управление объектом, описываемым сингулярной системой линейных уравнений с частными производными. // «Математика и информационные технологии в современном мире», материалы международной заочной научно-практической конференции. — Новосибирск, 2011. — с. 5—17.

4.Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. — 480 с.

5.Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. — 384 с.

6.Campbell S.L. Singular system of differential equations. Research Notes in Math., No 40. San Francisco: Pitman, 1980. — 176 p.

7.Campbell S.L. Singular system of differential equations. II. Research Notes in Math., No 61. San Francisco: Pitman, 1982. — 234 p.

8.Kunkel P., Mehrmann V. Differential-Algebraic Equations. Analysis and Numerical Solution. Printed in Germany, 2006. — 377 p.