ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ УДМУРТИИ В УСЛОВИЯХ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО И СОЦИАЛЬНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОГРЕССА

Дерендяева Екатерина Андреевна

аспирант ИжГТУ им. М.Т. Калашникова, г. Ижевск

E-mail: kate_derend@mail.ru

Кетова Каролина Вячеславовна

д-р физ.-мат. наук, профессор,
зав. кафедрой «Математическое моделирование процессов
и технологий» ИжГТУ им. М.Т. Калашникова, г. Ижевск

E-mail: ketova_k@mail.ru

Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы по теме «Разработка математического аппарата решения задач оптимального управления для различных переходных режимов экономики с учетом влияния многих факторов».

Будем полагать, что в замкнутой экономической системе до момента  имело место расширенное воспроизводство валового регионального продукта (ВРП) , когда научно-техническим прогрессом (НТП) и социально-образовательным прогрессом (СОП) можно пренебречь. Начиная с , начинается инновационный путь развития экономики, в котором различаются два вида производственных фондов:  — без применения факторов НТП,  — формирующиеся в условиях НТП с темпом научно-технического (инновационного) развития  (объемы инвестиций в производственный капитал  и , соответственно); и два вида человеческого капитала:  — без влияния факторов СОП,  — формирующиеся в условиях СОП с темпом социально-образовательного развития  (объемы инвестиций в человеческий капитал  и , соответственно). Описание динамики производственного капитала и человеческого капитала рассмотрены в работах [2, 3]; здесь  — объем потребления,  и  коэффициенты выбытия производственного и человеческого капитала соответственно; усредненная по всем возрастам доля населения, участвующего в общественном производстве.

Общая постановка задачи макроэкономической динамики имеет вид [2, 4]:

Рассмотрим задачу оптимального управления, взяв за основу постановку задачи (1) — (6):

Решение задачи оптимального управления состоит из двух этапов. На первом этапе строится квазистационарная оптимальная траектория (квазимагистраль), а на втором — оптимальное управление экономической системой в переходный период, выводящее систему на квазимагистраль. Подробный алгоритм решения представлен в работе [4].

Пользуясь линейной однородностью производственной функции Кобба-Дугласа, запишем фазовые уравнения для удельной величины производственных фондов  и человеческого капитала  в виде:

, ,          (8)

где , .

Далее запишем гамильтониан задачи  и применим принцип максимума Понтрягина (при ). Определение оптимального управления сводится к решению линейной задачи математического программирования для каждого момента времени :

  (9)

.                               (10)

Здесь

, , .

Система сопряженных уравнений имеет вид:

, , , ; (11,а)

; , , ; (11,б)

, ;                       (12,а)

, .                       (12,б)

Комбинируя уравнения (11) и используя условие линейной однородности производственной функции, получим

                  (13,а)

                  (13,б)

                  (13,в)

,                             (13,г)

где ; ; ;

 ; ; .

В итоге, с учетом преобразований и подстановок [4] уравнения (11) совместно с уравнениями (13), записанными в форме

   (14,а)

               (14,б)

                                (14,в)

,                           (14,г)

и условием

                                   (15)

позволяют рассчитать квазистационарную траекторию сбалансированного роста при условии, что значения переменных ,  и  в начальный момент времени  известны. Для определения квазистационарного участка оптимальной траектории будем использовать метод последовательных приближений [4].

Рассмотрим результаты решения задачи оптимального управления динамикой экономической системы в условиях НТП и СОП для экономической системы Удмуртской Республики (УР) по данным [1], а также используя расчеты по моделированию величины человеческого капитала [3].

По результатам решения задачи идентификации неизвестных параметров модели (1) — (8) по статистическим данным УР были получены следующие результаты: норма потребления ; производственная функция имеет вид .

Рассмотрим результаты решения задачи оптимального управления при различных значениях темпов НТП и СОП (см. таблицу 1): сценарий № 1 —  и ; сценарий № 2 —  и ; сценарий № 3 — , ; сценарий № 4 — , . Сценарий № 4 — ситуация в отсутствие ускоренных темпов НТП и СОП (рассмотрена в работе [4]).

Расчеты показали, что ускоренное развитие в связи с НТП и СОП позволяет системе быстрее выйти на оптимальную траекторию. Так, если в обычном режиме система достигает ее за 8,54 лет, то при  и  система выходит на оптимальную траекторию за 8,22 лет. Раньше всего (за 7,60 лет) система достигает траектории сбалансированного роста в случае, когда  и . В случае, когда , ; выход на траекторию происходит позже на несколько месяцев.

Ускоренное развитие в связи с НТП и СОП приводит к увеличению удельных величин производственного и человеческого капитала (см. рисунки 1а, 1б). Так, если в обычном режиме (сценарий № 4) значение величины производственного капитала к 2021-му году составляет 272,07 тыс. руб/чел., то в случае сценария № 3 ( и ) величина производственного капитала достигает значения 345,70 тыс. руб/чел. (увеличение происходит в 1,27 раза). Для сценария № 1 ( и ) по сравнению с обычным режимом увеличение составит 1,07 раза, для сценария № 3 ( и ) — 1,18 раз.

Удельное значение величины человеческого капитала в случае темпов НТП и СОП (сценарии № № 1—3) выше, чем это значение в обычном режиме (сценарий № 4) на всем интервале 2012—2021 годы. К 2021-му году наибольшее увеличение человеческого капитала происходит в случае сценария № 2, когда , ; увеличение по сравнению со сценарием № 4 составит 1,32 раза.

На рисунке 1в, представлена динамика производительности труда. Наибольший рост позволяет осуществить сценарий № 2.

Как показывают расчеты, представленные в работе [4] для критериального функционала задачи оптимального управления (см. рисунок 1г) в случае обычного режима (сценарий № 4) оптимальное значение нормы потребления, при котором целевая функция максимальна, составляет величину . Значение критериального функционала в этом случае 1 733,53 тыс. руб/чел. В случае сценария № 2 величина критериального функционала наибольшая и достигает значения 2 350,04 тыс. руб/чел. при , что в 1,36 раза выше, чем в случае сценария № 4. Сценарии № 1 и № 3 также дают увеличение рассматриваемого показателя по сравнению с обычным режимом.

Проведенные численные исследования показали, что увеличение темпов социально-образовательного и научно-технического прогресса в экономической системе приводит к существенному повышению ее эффективности.

Рисунок 1. Динамика удельных величин экономических показателей региона: а) производственного капитала, б) человеческого капитала, в) производительности труда, г) зависимость накопленного потребления от нормы потребления; 1 — сценарий № 1; 2 — сценарий № 2; 3 — сценарий № 3; 4 — сценарий № 4

Список литературы:

1.Информационный сайт Госкомстата России. [Электронный ресурс] // Официальный сайт федеральной службы государственной статистики Российской Федерации — Режим доступа: http://www.gks.ru (дата обращения 15.04.2012).

2.Кетова К.В. Об одной задаче макроэкономической динамики региона с учетом факторов экономического развития // Вестник ИжГТУ. Ижевск: Изд-во ИжГТУ. — № 3(35), 2007. — C. 33—40.

3.Кетова К.В., Дерендяева Е.А. Изучение динамики человеческого капитала для регионов РФ в соответствии с рейтингом их социально-экономического положения // Современные проблемы науки и образования. Москва: Изд-во Академия Естествознания, 2011. — № 6 [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://www.science-education.ru/100-5227 (дата обращения 20.05.2012).

4.Кетова К.В., Дерендяева Е.А. Решение задачи оптимального управления региональной экономической системой // Вестник ИжГТУ. Ижевск: Изд-во ИжГТУ. — № 2(54), 2012. — C. 162—166.