Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Telegram: sibac
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: IV Международной научно-практической конференции «Физико-математические науки и информационные технологии: проблемы и тенденции развития» (Россия, г. Новосибирск, 23 июля 2012 г.)

Наука: Математика

Секция: Математическая логика, алгебра и теория чисел

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Устинов Ю.К. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА // Физико-математические науки и информационные технологии: проблемы и тенденции развития: сб. ст. по матер. IV междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2012.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов
Статья опубликована в рамках:
 
 
Выходные данные сборника:
 

 

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Устинов Юрий Константинович

канд. физ-матем наук, доцент, безработный

E-mailustinov-yuk@rambler.ru

 

Эта статья итожит наши исследования по теореме Ферма (ТФ), опубликованные в 1996 — 2012 гг [2, 7 — 10]. Некоторые утверждения и предложения из этих работ претерпели здесь различные уточнения и коррекции, однако мы не будем утомлять читателя сравнением нынешних формулировок с их прообразами.

 Основные вехи ещё не завершённого доказательства Великой Теоремы Ферма (ВТФ) обстоятельно изложены в книгах М.М. Постникова [5] и Г. Эдвардса [11]. В 1995 году Э. Уайлз довёл таки доказательство ВТФ до победного конца.

 В том же году автор этих строк близко познакомился с задачей Пифагора:

  найти все целочисленные решения уравнения Пифагора

                   z2= x2+ y2                 (1)

по книге А.В. Волошинова [1]. Тогда же возникла мысль о расширении задачи Пифагора за счёт увеличения числа слагаемых в правой части уравнения (1). Оказалось, что случай с тремя слагаемыми в правой части был уже рассмотрен Вацлавом Серпинским [6], а про большее число слагаемых в правой части информации найти не удалось. Мы рассмотрели этот случай в [7]. Удобства ради мы ввели в обиход задачу Серпинского [8] и задачу Устинова [8]. Автор внимательно рассмотрит любые другие предложения на этот счёт.

Пьер Ферма пошёл по пути увеличения степени уравнения и быстро пришёл к мысли об отсутствии целочисленных решений уравнения Ферма

                zk= xk+ yk                    (2)

при k>2 (ТФ). Попытка доказать теорему при k=3не увенчалась успехом, а вот при k=4 он доказывает своё предложение. Этих усилий Пьеру Ферма хватило, чтобы оценить всю громадность поставленной им задачи решения уравнения (2) для всех степеней, и он ищет “другой путь”. Этот путь он находит, о чём делает знаменитую запись на полях “Арифметики” Диофанта [3, c. 197]: “Я нашёл этому поистине чудесное доказательство ….”. Однако в посмертных бумагах П. Ферма это доказательство найти не удалось, и тогда виднейшие математики всех стран и народов взялись за поиск его. Леонард Эйлер, величайший из великих, доказывает ТФ для k= 3 [12]. Затем следуют выдающиеся достижения Куммера, Дирихле, Гаусса, Ламе, Лиувилля, Лежандра, Вифериха, Мириманова, Фробениуса и многих других авторов, которые доказывали ТФ для всё более широкого класса показателей. Наконец в 1995 году были покорены последние показатели.

 В ходе этой работы сложилось твёрдое убеждение, что П. Ферма не имел элементарного доказательства своей теоремы и что элементарного доказательства ТФ просто не существует. Теорема Ферма приобрела статус “Великая” (ВТФ). Мы приведём здесь альтернативное доказательство ВТФ, которое вряд ли можно назвать сложным, и которое – по нашему мнению -- либо само, либо его алгебраическая версия, и было тем “чудесным доказательством”, о котором упомянул П. Ферма.

Задача о разложении куба

Начнём с расширения задачи Ферма за счёт увеличения числа слагаемых в правой части до любого натурального значения m:

               yk= x1k+ x2k+ …..+ xmk.                (3)

Весьма желательно найти подходящий геометрический образ для m-членного уравнения Ферма степени k(3). Такой образ подсказал сам Пифагор. Он придавал квадратному числу форму квадрата [1] , составленного из квадратиков (с единичным ребром). Если бы он рассыпал квадратное число на квадратики, а затем из квадратиков формировал бы квадраты разложения, то их могло бы оказаться 2, и тогда получилось бы какое-то решение задачи Пифагора. Их могло бы оказаться 3, и тогда получилось бы какое-то решение задачи Серпинского. Их могло бы оказаться больше трёх, и тогда получилось бы какое-то решение задачи Устинова. Мы применили здесь сослагательное наклонение, потому что ничего этого Пифагор, похоже, не делал.

Эта идея легко обобщается для произвольной размерности k. Рассмотрим k-мерный куб с ребром y, рассыплем его на кубики (с единичным ребром) и займёмся составлением кубов из этих кубиков. Легко указать максимальный объём возможного разложения: yk. Что касается минимального объёма разложения, то оно может принимать различные значения (≥2) в этих пределах. Минимальное значение объёма разложения k-мерного куба с ребром yбудем обозначать через V(k,y). Минимальное по yзначение V(k,y)будем обозначать через Vk. Так,  V1естественно равно 2, V2=2 (треугольники Пифагора), V3≤3 (63 = 53 + 43 + 33). В 1770 году Л. Эйлер опубликовал доказательство невозможности разложения 3х-мерного куба на два куба [12]. Это обстоятельство исключает возможность V3=2, так что остаётся только вариант V3=3. Так для каждой размерности kвозникает совсем даже не простая задача определения значения Vk.

Лемма

 Итак, для каждых kи yопределяется минимальный объём разложения на кубы  k-мерного куба с ребром y. И обратно, для каждого kсуществует  k-мерный куб с некоторым ребром y, допускающий разложение на Vkкубов. Такие кубы будем называть минимально разложимыми. Увеличение рёбер куба в целое число dраз будем называть подобным расширением куба скоэффициентом подобия d.Нам понадобится следующая

 Лемма. Свойство минимальной разложимости куба инвариантно относительно любого подобного расширения его.

 Доказательство.  Для заданного kобозначим Vk= M. Пусть k-мерный куб с ребром y  минимально разложим. Тогда для некоторых x1, x2, …. ,xM      

              yk= x1k+ ….. + xMk.     

Подвергнем его подобному расширению с коэффициентом подобия d. Тогда получим

     (yd)k= ykdk= (x1k+ …. + xMk)dk=(x1d)k+ …. + (xMd)k,

так что подобно расширенный минимально разложимый куб оказывается минимально разложимым. Чтд

Теорема о росте минимального объёма разложения куба вместе с ростом размерности куба

Основное свойство минимального объёма разложения куба содержит следующая

Теорема 1.  Для любого натурального k

             VkVk+1.                        (4)

Доказательство этой теоремы использует конструкцию минимально разложимого (k+1)-мерного куба, k-мерное основание которого само минимально разложимо. Такой куб строится следующим образом [10]. Пусть pи q рёбра минимально разложимых  k-мерного куба Pи (k+1)-мерного куба Q. Согласно лемме  (k+1)-мерный куб Zс ребром z=pq будет минимально разложимым сам (потому что он подобен кубу Qс коэффициентом подобия p) и его  k-мерное основание также будет минимально разложимым (потому что оно подобно кубу Pс коэффициентомподобия q). Предположим, от противного, что Vk+1<Vk.  Обозначим M=Vk+1. Запишем M-членное разложение куба Z:

             zk+1= t1k+1+ ….. + tMk+1.                 (5)

Поделив (5) слева на z, а справа каждое слагаемое tik+1на ti, получим неравенство

             zk< t1k+ ….. + tMk.                  (6)

Так как, по предположению от противного, здесь в правой части слагаемых меньше минимально необходимого их числа для формирования равенства, то неравенство (6) не обратится в равенство при любом сужении - вплоть до исчезновения - кубов, стоящих как справа, так и слева. В конце концов у нас останется по одному кубику слева и справа, но в силу сделанного предположения от противного между их объёмами невозможно равенство. Итак, согласно предположению, 1k< 1k, что противоречит очевидному равенству этих величин. Итак, Vk+1<Vkневозможно. чтд

Альтернативное доказательство Великой Теоремы Ферма

Согласно теореме 1

V2= 2 ≤ V3 V4≤ ……

и если доказать, что V3> 2, то отсюда будет следовать, что Vk> 2для всех k> 2, а это исключает возможность целочисленного решения уравнения Ферма (2) при любом k> 2. Но именно это и доказал Л. Эйлер ещё в 1770 году [12]. (Мы здесь, естественно, закрываем глаза на пробелы в его доказательстве, обнаруженные позднее, тем более, что эти пробелы устраняются методами, созданными самим же Л. Эйлером [11].) Таким образом результат Л. Эйлера и наше неравенство (4) в соединении и дают полное доказательство ВТФ ! чтд

Расширенная Теорема Ферма

Так мы называем теорему Ферма, сформулированную для m-членных уравнений Ферма (3).

Теорема 2. Никакое m-членное уравнение Ферма степени kне может иметь целочисленных решений при m< Vk.

Доказательство заключается в указании на то, что в условиях теоремы в правой части уравнения находится слагаемых меньше минимально необходимого их числа для получения разложения. Чтд

Следствия и последствия

Итак, альтернативное доказательство ВТФ не только существует, но и найдено. Здесь мы обсудим некоторые следствия.

Прежде всего следует избавить имя П. Ферма от любых обвинений и упрёков в блефовании. П. Ферма вполне мог владеть идеями, близкими нашим. Но, с другой стороны, если бы он владел такими идеями, то он мог бы заявить о доказательстве ВТФ для всех k≥4. Однако никаких замечаний подобного рода в наследии П. Ферма пока что не обнаружено. Далее, V4V3=3. В 1988 году Роджер Фрай и Элкис нашли умопомрачительные 3х-членные разложения 4х-мерного куба [4] :

4224814 = 4145604 + 2175194 + 958004  (Роджер Фрай),     (7)

206156734 = 187967604 + 153656394 + 26824404  (Элкис).      (8)

Эти результаты означают, что V4= 3. В 1966 году Л. Ландер, Т. Паркин и Дж. Селфридж нашли 4х-членное разложение 5ти-мерного куба [4]:

1445 = 1335 + 1105 + 845 + 275.              (9)

Этот результат означает, что V5 4. Так как V5V4=3, то для V5остаются только две альтернативы: V5=3 или 4. Чтобы дать окончательный ответ на этот вопрос нужно либо найти 3х-членное разложение 5ти-мерного куба, либо доказать, что такого разложения не может быть. Мы полагаем, что V5=4.

Доказательство невозможности 3х-членного разложения 5ти-мерного куба может оказаться делом не менее трудным, интересным и полезным для математики, чем доказательство Эйлером невозможности 2х-членного разложения 3х-мерного куба. С увеличением размерности кубов эти задачи будут становиться всё более трудными и содержательными, и будут порождать новые понятия и результаты, стимулируя развитие математики.

Разложения (7) — (9) появились в результате поиска контрпримеров к гипотезе Эйлера, высказанной им в 1769 году, в которой он предполагал, что никакой куб размерностью больше 2 нельзя разложить на кубы числом меньше размерности куба на единицу (интерпретация наша).

Иначе говоря Эйлер полагал, что для всех натуральных kVkk. При этом он полагал, что строит обобщение теоремы Ферма. Такую же ошибочную гипотезу вместе с ошибочным обобщением теоремы Ферма сформулировали и мы в [8]. Наши нынешние результаты полностью опровергают как гипотезу Эйлера, так и нашу.

Что же касается общего поведения минимального объёма разложения куба на кубы, то он будет расти вместе с размерностью куба, однако отставая от неё всё больше и больше. Необходимо построить теорию разложения 3х-мерного куба на кубы, которая позволила бы строить все примитивные разложения и вообще давать ответы на все вопросы. (Подобная теория для разложения квадратов уже построена, см. [2, 7].) После этого то же надо сделать относительно 4х-мерных кубов, и т. д.

 

Список литературы:

  1. Волошинов А.В. Пифагор: Союз Истины, Добра и Красоты. ПРОСВЕЩЕНИЕ, М., 1993.
  2. Воронцова Н.Н., Гриншпон Я.С., Окунева Е.И., Устинов Ю.К. Описание и построение примитивных n-ок Пифагора. Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск, ТГУ, 2000, с. 16 — 23.
  3. Диофант. Арифметика. НАУКА, 1974.
  4. Гипотеза Эйлера. Википедия, Яндекс.
  5. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. НАУКА. 1982.
  6. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. УЧПЕДГИЗ, М.: 1959.
  7. Устинов Ю.К. Обобщение задачи Пифагора. Вторая Сибирская геометрическая конференция, Томск, ТГПУ, 1996, С. 83 — 84.
  8. Устинов Ю.К. От ПИФАГОРА, ПЛАТОНА и ЕВКЛИДА до гипотезы,   обобщающей Великую Теорему Ферма. Вестник СГПИ, 2010, вып. 1(10), С. 103 — 108.
  9. Устинов Ю.К. Доказательство Великой Теоремы Ферма и её расширения. Вестник СГПИ, 2010, вып. 2(11), С. 82 — 85
  10. Устинов Ю.К. Доказательство Великой Теоремы Ферма и её расширения,IIВестник СГПИ, 2011, вып.2(13) и 2012, вып. 1(14), С. 60 — 63.
  11. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Пер. с англ., М., 1980.
  12. Euler L. Vorstandige Anleitung zur Algebra. СПб, 1770, Opera (1), vol I, 50, 61.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.