АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Устинов Юрий Константинович

канд. физ-матем наук, доцент, безработный

E-mail: ustinov-yuk@rambler.ru

Эта статья итожит наши исследования по теореме Ферма (ТФ), опубликованные в 1996 — 2012 гг [2, 7 — 10]. Некоторые утверждения и предложения из этих работ претерпели здесь различные уточнения и коррекции, однако мы не будем утомлять читателя сравнением нынешних формулировок с их прообразами.

 Основные вехи ещё не завершённого доказательства Великой Теоремы Ферма (ВТФ) обстоятельно изложены в книгах М.М. Постникова [5] и Г. Эдвардса [11]. В 1995 году Э. Уайлз довёл таки доказательство ВТФ до победного конца.

 В том же году автор этих строк близко познакомился с задачей Пифагора:

  найти все целочисленные решения уравнения Пифагора

                   z²= x²+ y²                 (1)

по книге А.В. Волошинова [1]. Тогда же возникла мысль о расширении задачи Пифагора за счёт увеличения числа слагаемых в правой части уравнения (1). Оказалось, что случай с тремя слагаемыми в правой части был уже рассмотрен Вацлавом Серпинским [6], а про большее число слагаемых в правой части информации найти не удалось. Мы рассмотрели этот случай в [7]. Удобства ради мы ввели в обиход задачу Серпинского [8] и задачу Устинова [8]. Автор внимательно рассмотрит любые другие предложения на этот счёт.

Пьер Ферма пошёл по пути увеличения степени уравнения и быстро пришёл к мысли об отсутствии целочисленных решений уравнения Ферма

                z^k= x^k+ y^k                    (2)

при k>2 (ТФ). Попытка доказать теорему при k=3не увенчалась успехом, а вот при k=4 он доказывает своё предложение. Этих усилий Пьеру Ферма хватило, чтобы оценить всю громадность поставленной им задачи решения уравнения (2) для всех степеней, и он ищет “другой путь”. Этот путь он находит, о чём делает знаменитую запись на полях “Арифметики” Диофанта [3, c. 197]: “Я нашёл этому поистине чудесное доказательство ….”. Однако в посмертных бумагах П. Ферма это доказательство найти не удалось, и тогда виднейшие математики всех стран и народов взялись за поиск его. Леонард Эйлер, величайший из великих, доказывает ТФ для k= 3 [12]. Затем следуют выдающиеся достижения Куммера, Дирихле, Гаусса, Ламе, Лиувилля, Лежандра, Вифериха, Мириманова, Фробениуса и многих других авторов, которые доказывали ТФ для всё более широкого класса показателей. Наконец в 1995 году были покорены последние показатели.

 В ходе этой работы сложилось твёрдое убеждение, что П. Ферма не имел элементарного доказательства своей теоремы и что элементарного доказательства ТФ просто не существует. Теорема Ферма приобрела статус “Великая” (ВТФ). Мы приведём здесь альтернативное доказательство ВТФ, которое вряд ли можно назвать сложным, и которое – по нашему мнению -- либо само, либо его алгебраическая версия, и было тем “чудесным доказательством”, о котором упомянул П. Ферма.

Задача о разложении куба

Начнём с расширения задачи Ферма за счёт увеличения числа слагаемых в правой части до любого натурального значения m:

               y^k= x₁^k+ x₂^k+ …..+ x_m^k.                (3)

Весьма желательно найти подходящий геометрический образ для m-членного уравнения Ферма степени k(3). Такой образ подсказал сам Пифагор. Он придавал квадратному числу форму квадрата [1] , составленного из квадратиков (с единичным ребром). Если бы он рассыпал квадратное число на квадратики, а затем из квадратиков формировал бы квадраты разложения, то их могло бы оказаться 2, и тогда получилось бы какое-то решение задачи Пифагора. Их могло бы оказаться 3, и тогда получилось бы какое-то решение задачи Серпинского. Их могло бы оказаться больше трёх, и тогда получилось бы какое-то решение задачи Устинова. Мы применили здесь сослагательное наклонение, потому что ничего этого Пифагор, похоже, не делал.

Эта идея легко обобщается для произвольной размерности k. Рассмотрим k-мерный куб с ребром y, рассыплем его на кубики (с единичным ребром) и займёмся составлением кубов из этих кубиков. Легко указать максимальный объём возможного разложения: y^k. Что касается минимального объёма разложения, то оно может принимать различные значения (≥2) в этих пределах. Минимальное значение объёма разложения k-мерного куба с ребром yбудем обозначать через V(k,y). Минимальное по yзначение V(k,y)будем обозначать через V_k. Так,  V₁естественно равно 2, V₂=2 (треугольники Пифагора), V₃≤3 (6³ = 5³ + 4³ + 3³). В 1770 году Л. Эйлер опубликовал доказательство невозможности разложения 3х-мерного куба на два куба [12]. Это обстоятельство исключает возможность V₃=2, так что остаётся только вариант V₃=3. Так для каждой размерности kвозникает совсем даже не простая задача определения значения V_k.

Лемма

 Итак, для каждых kи yопределяется минимальный объём разложения на кубы  k-мерного куба с ребром y. И обратно, для каждого kсуществует  k-мерный куб с некоторым ребром y, допускающий разложение на V_kкубов. Такие кубы будем называть минимально разложимыми. Увеличение рёбер куба в целое число dраз будем называть подобным расширением куба скоэффициентом подобия d.Нам понадобится следующая

 Лемма. Свойство минимальной разложимости куба инвариантно относительно любого подобного расширения его.

 Доказательство.  Для заданного kобозначим V_k= M. Пусть k-мерный куб с ребром y  минимально разложим. Тогда для некоторых x₁, x₂, …. ,x_M      

              y^k= x₁^k+ ….. + x_M^k.     

Подвергнем его подобному расширению с коэффициентом подобия d. Тогда получим

     (yd)^k= y^kd^k= (x₁^k+ …. + x_M^k)d^k=(x₁d)^k+ …. + (x_Md)^k,

так что подобно расширенный минимально разложимый куб оказывается минимально разложимым. Чтд

Теорема о росте минимального объёма разложения куба вместе с ростом размерности куба

Основное свойство минимального объёма разложения куба содержит следующая

Теорема 1.  Для любого натурального k

             V_k≤ V_k+1.                        (4)

Доказательство этой теоремы использует конструкцию минимально разложимого (k+1)-мерного куба, k-мерное основание которого само минимально разложимо. Такой куб строится следующим образом [10]. Пусть pи q рёбра минимально разложимых  k-мерного куба Pи (k+1)-мерного куба Q. Согласно лемме  (k+1)-мерный куб Zс ребром z=pq будет минимально разложимым сам (потому что он подобен кубу Qс коэффициентом подобия p) и его  k-мерное основание также будет минимально разложимым (потому что оно подобно кубу Pс коэффициентомподобия q). Предположим, от противного, что V_k+1<V_k.  Обозначим M=V_k+1. Запишем M-членное разложение куба Z:

             z^k+1= t₁^k+1+ ….. + t_M^k+1.                 (5)

Поделив (5) слева на z, а справа каждое слагаемое t_i^k+1на t_i, получим неравенство

             z^k< t₁^k+ ….. + t_M^k.                  (6)

Так как, по предположению от противного, здесь в правой части слагаемых меньше минимально необходимого их числа для формирования равенства, то неравенство (6) не обратится в равенство при любом сужении - вплоть до исчезновения - кубов, стоящих как справа, так и слева. В конце концов у нас останется по одному кубику слева и справа, но в силу сделанного предположения от противного между их объёмами невозможно равенство. Итак, согласно предположению, 1^k< 1^k, что противоречит очевидному равенству этих величин. Итак, V_k+1<V_kневозможно. чтд

Альтернативное доказательство Великой Теоремы Ферма

Согласно теореме 1

V₂= 2 ≤ V₃ ≤ V₄≤ ……

и если доказать, что V₃> 2, то отсюда будет следовать, что V_k> 2для всех k> 2, а это исключает возможность целочисленного решения уравнения Ферма (2) при любом k> 2. Но именно это и доказал Л. Эйлер ещё в 1770 году [12]. (Мы здесь, естественно, закрываем глаза на пробелы в его доказательстве, обнаруженные позднее, тем более, что эти пробелы устраняются методами, созданными самим же Л. Эйлером [11].) Таким образом результат Л. Эйлера и наше неравенство (4) в соединении и дают полное доказательство ВТФ ! чтд

Расширенная Теорема Ферма

Так мы называем теорему Ферма, сформулированную для m-членных уравнений Ферма (3).

Теорема 2. Никакое m-членное уравнение Ферма степени kне может иметь целочисленных решений при m< V_k.

Доказательство заключается в указании на то, что в условиях теоремы в правой части уравнения находится слагаемых меньше минимально необходимого их числа для получения разложения. Чтд

Следствия и последствия

Итак, альтернативное доказательство ВТФ не только существует, но и найдено. Здесь мы обсудим некоторые следствия.

Прежде всего следует избавить имя П. Ферма от любых обвинений и упрёков в блефовании. П. Ферма вполне мог владеть идеями, близкими нашим. Но, с другой стороны, если бы он владел такими идеями, то он мог бы заявить о доказательстве ВТФ для всех k≥4. Однако никаких замечаний подобного рода в наследии П. Ферма пока что не обнаружено. Далее, V₄≥V₃=3. В 1988 году Роджер Фрай и Элкис нашли умопомрачительные 3х-членные разложения 4х-мерного куба [4] :

422481⁴ = 414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴  (Роджер Фрай),     (7)

20615673⁴ = 18796760⁴ + 15365639⁴ + 2682440⁴  (Элкис).      (8)

Эти результаты означают, что V₄= 3. В 1966 году Л. Ландер, Т. Паркин и Дж. Селфридж нашли 4х-членное разложение 5ти-мерного куба [4]:

144⁵ = 133⁵ + 110⁵ + 84⁵ + 27⁵.              (9)

Этот результат означает, что V₅ ≤ 4. Так как V₅≥V₄=3, то для V₅остаются только две альтернативы: V₅=3 или 4. Чтобы дать окончательный ответ на этот вопрос нужно либо найти 3х-членное разложение 5ти-мерного куба, либо доказать, что такого разложения не может быть. Мы полагаем, что V₅=4.

Доказательство невозможности 3х-членного разложения 5ти-мерного куба может оказаться делом не менее трудным, интересным и полезным для математики, чем доказательство Эйлером невозможности 2х-членного разложения 3х-мерного куба. С увеличением размерности кубов эти задачи будут становиться всё более трудными и содержательными, и будут порождать новые понятия и результаты, стимулируя развитие математики.

Разложения (7) — (9) появились в результате поиска контрпримеров к гипотезе Эйлера, высказанной им в 1769 году, в которой он предполагал, что никакой куб размерностью больше 2 нельзя разложить на кубы числом меньше размерности куба на единицу (интерпретация наша).

Иначе говоря Эйлер полагал, что для всех натуральных kV_k≥k. При этом он полагал, что строит обобщение теоремы Ферма. Такую же ошибочную гипотезу вместе с ошибочным обобщением теоремы Ферма сформулировали и мы в [8]. Наши нынешние результаты полностью опровергают как гипотезу Эйлера, так и нашу.

Что же касается общего поведения минимального объёма разложения куба на кубы, то он будет расти вместе с размерностью куба, однако отставая от неё всё больше и больше. Необходимо построить теорию разложения 3х-мерного куба на кубы, которая позволила бы строить все примитивные разложения и вообще давать ответы на все вопросы. (Подобная теория для разложения квадратов уже построена, см. [2, 7].) После этого то же надо сделать относительно 4х-мерных кубов, и т. д.

Список литературы:

1. Волошинов А.В. Пифагор: Союз Истины, Добра и Красоты. ПРОСВЕЩЕНИЕ, М., 1993.
2. Воронцова Н.Н., Гриншпон Я.С., Окунева Е.И., Устинов Ю.К. Описание и построение примитивных n-ок Пифагора. Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск, ТГУ, 2000, с. 16 — 23.
3. Диофант. Арифметика. НАУКА, 1974.
4. Гипотеза Эйлера. Википедия, Яндекс.
5. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. НАУКА. 1982.
6. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. УЧПЕДГИЗ, М.: 1959.
7. Устинов Ю.К. Обобщение задачи Пифагора. Вторая Сибирская геометрическая конференция, Томск, ТГПУ, 1996, С. 83 — 84.
8. Устинов Ю.К. От ПИФАГОРА, ПЛАТОНА и ЕВКЛИДА до гипотезы,   обобщающей Великую Теорему Ферма. Вестник СГПИ, 2010, вып. 1(10), С. 103 — 108.
9. Устинов Ю.К. Доказательство Великой Теоремы Ферма и её расширения. Вестник СГПИ, 2010, вып. 2(11), С. 82 — 85
10. Устинов Ю.К. Доказательство Великой Теоремы Ферма и её расширения,II. Вестник СГПИ, 2011, вып.2(13) и 2012, вып. 1(14), С. 60 — 63.
11. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Пер. с англ., М., 1980.
12. Euler L. Vorstandige Anleitung zur Algebra. СПб, 1770, Opera (1), vol I, 50, 61.