Статья опубликована в рамках: II Международной научно-практической конференции «Физико-математические науки и информационные технологии: проблемы и тенденции развития» (Россия, г. Новосибирск, 08 мая 2012 г.)
Наука: Математика
Секция: Вычислительная математика
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
- Условия публикаций
- Все статьи конференции
дипломов
О СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ
Карданова Муслимат Лиуановна
ассистент кафедры вычислительной математики
КБГУ, г. Нальчик
e-mail: muslimat.kardanova@mail.ru
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (регистрационный номер НИР: 1.6197.2011).
Параболические уравнения с нелинейным нелокальным источником встречаются при описании различных процессов, в которых учитываются эффекты памяти [2].
Цель работы: Получение априорных оценок для решения первой краевой задачи уравнения теплопроводности с нелокальным интегральным источником в дифференциальной и разностной формах.
1.Постановка задачи и априорная оценка. В прямоугольнике
рассматривается первая краевая задача
, , (1)
, (2)
, , (3)
где:
Умножим уравнение (1) на и проинтегрируем по переменной от до . Тогда получим
Преобразуем с учетом граничных условий слагаемые равенства (4):
где: .
В силу равенства имеем
Из равенства (4) с учетом (5)—(8) получаем неравенство:
,
которое при принимает вид
(9)
Проинтегрируем неравенство (9) по от до :
Из априорной оценки (10) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (1)—(3) от входных данных.
2.Разностная схема. Введем пространственную сетку
и сетку по времени с шагами и .
Обозначим
Дифференциальной задаче (1)-(3) поставим в соответствие разностную схему
Разностная схема (11)—(13) имеет порядок аппроксимации , где при и при [3].
Результаты работы.
Теорема. Пусть тогда условия , достаточно для абсолютной устойчивости разностной схемы (11)—(13), и для ее решения справедлива оценка
где: .
Доказательство. Умножим уравнение (11) на и просуммируем по от до . Тогда получим
где .
Преобразуем слагаемые равенства (15):
Подставляя (16)—(19) в равенство (15) получим
где: , ,
Из (20) при , следует неравенство
Умножив неравенство (21) на и просуммировав по от 0 до , в силу условия получим априорную оценку (14).
Согласно теореме разностная схема (11)-(13) абсолютно устойчива при и имеет порядок аппроксимации при и порядок при . Устойчивость и сходимость для случая требует дальнейшего исследования.
Список литературы:
- Алиханов А. А., Нелокальные краевые задачи в дифференциальных и разностных трактовках // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 7. C. 924—931.
- Кожанов А. И., Параболические уравнения с нелинейным нелокальным источником // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35, № 5. C. 1062—1073.
- Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. — 735 с.
дипломов
Оставить комментарий