О МАЛЫХ МОДЕЛЯХ В ПОЗИТИВНЫХ ОБОБЩЕНИЯХ ЙОНСОНОВСКИХ ТЕОРИЙ

Ешкеев Айбат Рафхатович

д-р физ.-мат. наук, профессор КарГУ

им. Е. А. Букетова, г. Караганда

E-mail: modth1705@mail.ru

В работе [11] была доказана теорема, связанная с понятием простой модели, а именно: модель A теории T проста тогда и только тогда, когда модель A счетна и атомна. Естественным обобщением понятия простой модели является понятие алгебраически простой модели. Напомним из [7], что модель A теории T называется алгебраически простой, если она изоморфно вкладывается в любую модель теории T. В [7] была поставлена задача нахождения подходящего понятия атомности для алгебраически простой модели. Следующее понятие определяет новый вид атомных моделей ∆ − PM —теорий. Пусть L язык первого порядка. At — есть множество атомарных формул данного языка. B⁺(At) — замкнутое множество относительно позитивных булевых комбинаций (конъюнкция и дизъюнкция) всех атомарных формул, их подформул и замены переменных. Q(B⁺(At)) — есть множество формул в пренексном нормальном виде, полученное с помощью применения кванторов (∀ и ∃) к B⁺(At). Назовем формулу позитивной, если она принадлежит множеству Q(B⁺(At))=L⁺. Теория называется позитивно аксиоматизируемой, если ее аксиомы позитивны. B(L⁺) — это множество всевозможных булевых комбинаций формул из L⁺. Следуя [9], [8] определим ∆-морфизмы между структурами. Пусть M и N структуры языка L, ∆⊆B(L⁺). Отображение называется ∆-гомоморфизмом (символически h: M→_ΔN), если для любого  из того, что, следует, что . Следуя [9], [8] модель M называется началом в N, и мы говорим, что M продолжается в N, при этом h(M) называется продолжением M. Если при этом верно и обратное, т. е. для любого , то говорят, что отображение h погружает M в N (символически h: M↔_ΔN). В дальнейшем мы будем использовать термин ∆-продолжение и ∆-погружение. В рамках этого определения (∆- гомоморфизма), легко заметить, что изоморфное вложение и элементарное вложение являются ∆-погружениями, когда ∆=B(At) и ∆=L, соответственно.

Определение 1.

(универсальная область) [9], [8] Пусть κ относительно большой кардинал (как минимум κ>|∆|), и U структура языка L. Тогда U является κ-универсальной областью, если она удовлетворяет следующим свойствам:

1. κ-однородность: Пусть f: U→U частичный эндоморфизм U, и предположим, что |dom(f)|<κ. Тогда f расширяется до автоморфизма U.

2. κ-компактность: Пусть Γ⊂∆ такое, что |Γ|< κ и предположим, что каждое конечное подмножество множества Γ реализуемо в U. Тогда Γ реализуемо в U.

Определение 2.

Модель M теории T называется ∆-позитивно экзистенциально замк­нутой, если для каждого ∆-гомоморфизма f : M→_ΔN и каждого  и . Класс всех ∆ — позитивно экзистенциально замкнутых моделей теории T обозначим через E_Т⁺; под E_Т мы понимаем класс экзистенциально замкнутых теории T.

Определение 3.

(∆-JEP - свойство совместного вложения) Говорим, что теория T допускает ∆-JEP, если для любых двух A,B ∈ ModT существует C ∈ ModT и ∆-гомоморфизмы .

Определение 4.

(∆-AP — свойство амальгамы) Говорим, что теория T допускает ∆-AP, если для любых A, B, C ∈ Mod T таких, что , где: h₁, g₁ — ∆-гомоморфизмы, существует D ∈ ModT и , где h₂, g₂- ∆-гомоморфизмы, такие, что h₂◦h₁=g₂◦g₁.

Определение 5.

а)        Теория называется ∆-позитивной йонсоновской (∆-PJ) теорией, если она удовлетворяет следующим условиям:

1)        имеет бесконечную модель;

2)        позитивно ∀∃-аксиоматизируема;

3)        допускает ∆-JEP;

4)        допускает ∆-AP.

б)        Теория называется ∆-позитивной робинсоновской (∆-PR) теорией, если она удовлетворяет следующим условиям:

1)        имеет бесконечную модель;

2)        позитивно ∀-аксиоматизируема;

3)        допускает ∆-JEP;

4)        допускает ∆-AP.

В данной статье везде ∆=B⁺(At).

Следующий абзац является краеугольным в данной статье. Сейчас мы определим понятие семантической модели для произ­вольной ∆-PJ-теории. В том случае, если рассматриваемая ∆-PJ-теория T является йонсоновской, то её семантической моделью является ω⁺-однородная универсальная модель T, как в [3]. В противном случае, её семантической моделью является универсальная область U, являющаяся моделью теории T. Соответственно определяется в каждом из этих случаев понятие центра. Напомним определения основных понятий ∆-PJ-теории для не йонсоновского случая.

Опрделение 6.

Центром ∆-PJ-теории T называется теория , где U- κ-универсальная область данного языка L, являющаяся моделью дан­ной теории T, которую будем называть семантической моделью ∆-PJ-теории T.

Опрделенеие 7.

∆-PJ-теория T называется ∆-PJ-совершенной, если её семан­тическая модель U насыщенна в своей мощности для всех позитивных ∆-типов (∆-тип называется позитивным, если в формулах, входящих в этот тип, бескванторная часть позитивна).

Определение 8.

φ ∈ Γ⁺⇔ φ ∈ L⁺ ∩Γ, где Γ - вид формулы φ.

Определение 9.

Модель A ∆-PJ-теории T называется h-∆-алгебраически простой, если для любой модели B ∆-PJ-теории T существует h-∆-погружение модели A в B. Следующая договоренность является очень важной. Фактически, мы будем говорить о семантическом аспекте ∆-PJ-теории. Если ∆-PJ-теория T является йонсоновской, то с ModT мы работаем как с классом моделей некоторой йонсоновской теории. Если же ∆-PJ-теория T не является йонсоновской, то в качестве ModT мы будем рассматривать класс её позитивно экзистенциально замкнутых моделей E_Т⁺. Такой подход для класса E_Т — класса экзистенциально замкнутых моделей произвольной универсальной теории T был рассмотрен в [10]. Так как относительно йонсоновских теорий возможны два случая: совершенный и несовершенный, то мы будем придерживаться следующего. Хорошо известно из [3], [4], что если йонсоновская теория T совершенна, то класс её экзистенциально замкнутых моделей E_Т элементарен и совпадает с ModT^*, где T^*- её центр. В противном случае, т.е. если теория T несовершенна, мы поступаем как в [10], т. е. вместо ModT работаем с классом E_Т⁺. Когда рассматривается произвольная ∆-PJ-теория T, то класс E_Т⁺ рассматривается как расширение класса E_Т (оба класса всегда существуют), и в зависимости от совершенности и несовершенности теории T теоретико-модельные свойства класса представляют особый интерес. В данной статье рассматриваемые ∆-PJ-теории являются ∆-PJ-совершенными, что является естественным обобщением совершенности в йонсоновском случае. В дальнейшем Σ⁺- есть множество позитивных экзистенциальных формул.

Определение 10. 

[7] ∆-PJ теория T называется полной для Γ, если T=Th_Г(A) для некоторой модели A теории T.

Определение 11. 

[7](A,a₀,...,a_n-1)⇒_Г(B,b₀,...,b_n-1) означает, что для каждой формулы φ(x₀,...,x_n-1) из Γ, если , то .

2.  означает, что и .

Определение 12. 

[7] Формула  называется полной для Γ-формул, если φ совместна с T и для каждой формулы  из Γ, имеющей не более свободных переменных чем φ, либо  либо .

Определение 13. 

[7] Модель A называется (Γ₁,Γ₂)-атомной моделью ∆-PJ-теории T, если A является моделью ∆-PJ-теории T и для каждого n, каждый n-кортеж элементов из A удовлетворяет в A некоторую формулу из Γ₁, полную для Γ₂-формул.

Определение 14. 

[7] Модель A называется Γ-nice моделью ∆-PJ-теории, если - счетная модель, и для каждой модели B теории T, каждого n ∈ ω, и всех a₀,...,a_n-1∈A, b₀,...,b_n-1 ∈ B, если (A,a₀,...,a_n-1)⇒_Г(B,b₀,...,b_n-1), то для каждого a_n ∈ A существует b_n ∈ B такой, что (A,a₀,...,a_n) ⇒_Г(B,b₀,...,b_n). В рамках выше указанных определений в [8] получены следующие результаты.

Теорема 1. [1] Пусть T — ∆-PJ-совершенная ∆-PJ-теория, полная для Σ⁺-предложений. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) T имеет h-∆-алгебраически простую модель;

2)  T_Δ^* имеет (Σ⁺,Σ⁺)-атомную модель.

Теорема 2. [1] Пусть T - ∆-PJ-совершенная ∆-PR-теория, полная для ∀∃⁺-предложений. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) A - счетная и (Σ⁺,Σ⁺)-атомная модель T_Δ^*;

2) A — счетная и ∆-позитивно экзистенциально замкнутая Σ⁺-nice модель T. Если Γ — множество формул, то  называется Γ-типом в A.

Определение 15.

A называется минимальной моделью теории T, если A является моделью теории T и не существует собственной подструктуры A, являющейся моделью теории T.

Теорема 3. [1] Пусть T — ∆-PJ-совершенная ∆-PR-теория, полная для Σ⁺-предложений. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) T имеет минимальную h-∆-алгебраически простую модель; 2) T^*_∆ имеет только одну h-∆-алгебраически простую модель, которая (Σ⁺,Σ⁺)-атомная.

Определение 16.

Модель A ∆−PM -теории T называется ∆-финитно почти-слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) -атомной моделью T, если для любого  ∈ A выполняется одно из следующих:

1) существует ψ() ∈ Σ⁺_α+1такая, что A |=ψ() и ψ() порождает ;

2)  существую k<ω, ψ₁(),ψ₂(),...,ψ_k() ∈ Σ⁺_β+1, такие, что:

а) каждая ψ_i() порождает , 1≤i≤k;

б) T совместна ψ_i() , 1≤i≤k;

в) если φ () ∈ Σ⁺_β+1, φ () совместна с T и φ () порождает , то T├ φ ()↔ψ_i() для некоторого ψ_i(), 1≤i≤k.

В связи с этим определением в классе счетных моделей ∆−PM -теории получен следующий результат, связанный с проблемой алгебраической простоты и который обобщает результат (лемма 14 из [2]).

Лемма 1. Если β≥α, A — счетная ∆-финитно почти-слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) — атомная модель T, то A является хорошей почти-слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) — атомной моделью T.

Доказательство. Данное доказательство верно и в том случае, если теория T не является йонсоновской. Пусть  - элементы из A.

1 СЛУЧАЙ. A является слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) - атомной моделью. Тогда пусть — такие формулы из Σ⁺_α+1, что A |= ψ _n() и ψ _n() порождают ,1≤n<ω. Легко понять, что T├ ψ _n()↔∃⁺, 1≤n<ω. Ясно теперь, что в силу произвольности  A- хорошая почти-слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) - атомная модель теории T, а следовательно, и хорошая почти-слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) атомная модель теории T, т. к. β≥α.

2 СЛУЧАЙ. A не является слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) -атомной моделью теории T. В этом случае существует такое n<ω, что для  не выполняется условие 1) определения 16. Нетрудно убедиться, что тогда для всех m≥n не удовлетворяют условию 1) определения 16. Поэтому существуют такие k_m < n, Σ⁺_β+1 - формулы , n ≤m<ω, 1≤i≤k_m, совместные с T, что для каждого m (n≤m<ω ) имеет место:

а)   порождает , 1≤i≤k_m;

б)  Σ⁺_β+1если совместна с T и порождает , то T├ φ () ↔ ψ_i^m() для некоторого 1≤i≤k_m. Ясно, что для каждого m, n ≤m<ω, и каждого j, 1≤j≤k_m+1, существует i такое, 1≤i≤k_m, что верно T├ ψ_i^m() ↔ ∃⁺. Теперь на множестве введем бинарное отношение R следующим образом: . По теореме Кенига о счетных графах [10], существуют такие формулы , n≤m<ω, 1≤i≤k_m, что , для всех n≤m<ω. Пусть теперь Φ_m ( ) , если n≤m<ω, и Φ_m () , если 1≤m<n. Ясно, что A является хорошей почти-слабо (Σ⁺_β+1,Σ⁺_α+1) - атомной моделью теории T.

В работе [7] исследуются связи между алгебраической простотой и различными видами атомности. В данной статье рассмотрено некоторое обобщение этой связи. Пусть T −∆−PJ-теория. Модель A теории T называется h−∆-алгебраически простой, если для любой модели В теории T существует h − ∆-погружение модели A в B. Класс всех ∆-позитивно экзистенциально замкнутых моделей теории T обозначим E⁺_T. Класс всех h−∆ -алгебраически простых моделей теории T обозначим . Пусть E⁺=E+T∩ APh−∆T. T назовем позитивно предмодельно полной, если E⁺∅. Формулу ∈ Γ₁ будем называть почти атомной в теории T, если для любой формулы ∈ Γ₂ из совместности T ∪{φ∧ψ} следует, что T ├φ → ψ, где Γ₁,Γ₂- виды формул. Модель A теории T называется почти (Γ₁,Γ₂)-атомной, если любой кортеж элементов из этой модели удовлетворяет некоторой почти атомной Γ₁-формуле в теории T. Получен следующий результат. Пусть ∆=B⁺(At). Достаточность такого ∆ для нашего случая, следует из работы [9].

Теорема 4. Пусть T- позитивно предмодельно полная, ∃-полная ∆ − PJ-теория, которая йонсоновская. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) модель A ∈E⁺;

2) модель A - счетная почти (Σ⁺,Σ⁺)-атомная, где Σ⁺- множество всех позитивных экзистенциальных формул.

Доказательство. Пусть модель A ∈E⁺. Так как модель A h−∆-алгебраически проста (т. е. h−∆-погружается в любую модель данной теории) и ∆-позитивно экзистенциально замкнута, то она счетна и в классе ModT нет конечных моделей. Это следует из следующего замечания. Так как согласно [9] любая модель из ModT продолжается в некоторую ∆-позитивную экзистенциально замкнутую модель, то последняя модель в силу своего определения не может быть конечной. В этом случае в силу транзитивности отношения на ModT , а именно, это отношение между двумя моделями эквивалентно определению быть экзистенциально замкнутой моделью. Легко понять, что оно переносится на позитивно экзистенциально замкнутые формулы. Таким образом, из этого следует, что ModT=E_T. А E_T⊇ModT^*. Тогда любая модель из T лежит в E⁺_T. Тогда по теореме 13 из [2] мы имеем, что она хорошая почти-слабо (Σ⁺,Σ⁺) — атомная, а значит и почти (Σ⁺,Σ⁺) — атомная. В обратную сторону следует из леммы 12 из [2] при соответствующих позитивных заменах рассматриваемых в этой лемме понятий. Теперь мы рассмотрим несчетно категоричные ∆ − PJ- теории. Дадим следующие определения.

Определение 17.

Формула  называется ∆⁺ — формулой относительно теории T, если существуют позитивно-экзистенциональные формулы  и совместные с T такие, что T |=(φ↔ψ₁) и T |=(φ↔ψ₂).

Определение 18.

Мы будем говорить, что теория T допускает R⁺₁, если для любой позитивно экзистенциональной формулы  совместной с T существует формула ∈ ∆⁺совместна с T такая, что T |=ψ→φ.

Определение 19.

Счетная модель теории T называется счетно алгебраически универсальной моделью, если в неё ∆-погружаются все счетные модели данной теории.

Определение 20.

Модель A является ∆-алгебраически простой моделью теории T, если A является моделью теории T и A может быть ∆-погружена в каждую модель теории T.

Определение 21.

∆−PJ теория называется универсальной если её аксиомы позитивно-универсальны.

Определение 22.

[8, 7.5]. ∆ − PJ-теория T является Γ-полной, если она равна Th_Г(M) для некоторой структуры M языка теории T, где Γ—это множество формул. Следующий результаты содержатся в [7].

Теорема 5. [7] Пусть T-универсальная теория полная для экзистенциональных предложений, имеющая счетно алгебраически универсальную модель. Тогда T имеет алгебраически простую модель, которая (Σ,∆) -атомная.

Теорема 6. [7] Пусть T-∀∃-теория полная для экзистенциональных предложений, допускающая R1. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) T имеет алгебраически простую модель,

2) T имеет (Σ,∆)-атомную модель,

3) T имеет (∆,Σ)-атомную модель,

4) T имеет ∆-nice алгебраически простую модель,

5) T имеет единственную алгебраически простую модель. где условие R1следующее: если для любой экзистенциональной формулы  совместной с T существует формула ∈ ω совместна с T та­кая, что T |=ψ→φ, а формула  называется ∆-формулой относи­тельно теории T, если существуют экзистенциональные формулы  и  такие, что T |=(φ↔ψ₁) и T |=(^̚φ↔ψ₂). Как следствие можно получить следующие результаты относительно ∆−PJ теории.

Теорема 7. Пусть T — универсальная ∆ — PJ теория полная для позитивных экзистенциональных предложений, имеющая счетно алгебраически универсальную модель. Тогда T имеет ∆-алгебраически простую модель, которая (Σ,∆)-атомная.

Теорема 8. Пусть T — ∆ − PJ теория полная для позитивно экзистенциональных предложений, допускающая R₁. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) T имеет ∆-алгебраически простую модель,

1) T имеет (Σ,∆⁺) — атомную модель,

2) T имеет единственную ∆-алгебраически простую модель.

Определение 23.

Пусть A,B ∈ (E_Т)⁺ и . Тогда B называется ∆ -алгебраически простым модельным расширением A в (E_T)⁺ , если для любой модели C ∈ (E_T)⁺ из того, что A ∆-погружается в C следует, что B ∆-погружается в C. Следующий классический результат М. Морли описывает ω₁-категоричные теории на языке простых расширений.

Теорема 9. [1, 38.7] Полная теория T ω₁-категорична тогда и только тогда, когда любая её счетная модель имеет простое собственное элементарное расширение.

Лемма 2. [3]. Пусть T произвольная теория.

1) Модель M теории T α-однородна для T тогда и только тогда, когда M β-однородна для всех β≤α.

2) Модель M теории T α-универсальна для T тогда и только тогда, когда M β-универсальна для всех β≤α.

Лемма 3. [3]. Семантическая модель C йонсоновской теории T является T-экзистенционально замкнутой. Следующий результат является обобщением теоремы 9.

Теорема 10. Пусть T — универсальная ∆ − PJ теория полная для для позитивных экзистенциональных предложений, для которой выполняется R⁺₁ и ∆=B(At). Тогда следующие условия эквивалентны: 1) T^*ω₁-категорична, 2) любая счетная модель из (E_T)⁺ имеет ∆-алгебраически простое модельное расширение в (E_T)⁺ .

Доказательство. Теория T является йонсоновской в обычном случае. В этом случае под T^*=Th(C), где C — T-универсальная T-однородная модель теории T. 1) ⇒ 2) Если T^* ω₁ - категорична, то она совершенна в силу теоремы Морли о несчетной категоричности. Тогда в силу критерия совершенности [4] йонсоновской теории мы имеем, что теория T^* модельно полна и ModT^*=E_T. В этом случае следует, что E_T=(E_T)^*. Если теория T^* модельно полна, то любое ∆-погружение является изоморфным вложением. А в силу модельной полноты T^*— элементарным. Так как T^*— полная теория, то, применяя к ней теорему 7., получаем требуемое. 2) ⇒ 1) Применяя лемму 2 к семантической модели C теории T (она существует так как T — йонсоновская теория), получим, что модель C ω — универсальная. Её мощность, вообще говоря, больше чем счетная. Поэтому рассмотрим её счетную элементарную подмодель D. В силу того, что С экзистенционально замкнута в силу леммы 3, её элементарная подмодель D тоже экзистенционально замкнута. Отсюда имеем, что она счетно-алгебраически универсальна. Теперь остается применить теорему 7., согласно которой теория T имеет ∆-алгебраически простую модель A₀. Определим по индукции A_δ+1, которая будет ∆-алгебраически простым модельным расширением модели А_σ и A_λ=U{A_δ|δ < λ}. Тогда пусть А_λ=U{А_δ|δ < ω₁}. Предположим, что B |=T и cardB=ω₁. Для того чтобы показать, что B≈A, разложим B в цепь {В_δ|δ <ω₁} счетных моделей. В силу йонсоновости теории T это возможно. Определим функцию g : ω₁→ω₁ и цепь {f_δ: A_gδ→ B_δ| 0 < δ < ω₁} ∆-погружений индукцией по δ:

1.g0=0 и f₀: A₀→B₀.

2. и

3.f_δ+1 равна объединению цепи , которая определяется индукцией по γ.

4..

5.Предположим, что . Если  — отображение на, то ρ=γ. В противном случае в силу ∆-алгебраической простоты  можно продолжить  до .

6.g(δ+1)=gδ+ρ.

Ясно, что  отображает ∆-погружает A в B. Теперь осталось применить теорему 8. Так как B — произвольная модель теории T, а A — единственная ∆-алгебраически простая и позитивно экзистенционально замкнутая модель в силу условия и построения, то отсюда следует, что (E_T)^* в несчетной мощности имеет единственную модель, значит семантическая модель теории T насыщенна, то есть йонсоновская теория T совершенна. Отсюда следует, что ModT^*=(E_T)^*. Следовательно, T^* ω₁ — категорична.

Список литературы:

1. Ешкеев А. Р. О некоторых видах атомности среди счетных моделей в классе E+Т для ∆ − PJ- теорий и ∆ − PR-теорий // Математический журнал. Алматы. 2008.Том 8. № 1 (27). —C. 27—34.
2. Ешкеев А. Р., Мустафин Т. Г. α -алгебраические простые модели и виды атомных моделей теории Теория алгебраических структур: Сб.научн.труд.-Караганда, 1985. — C. 30—39.
3. Ешкеев, А. Р. Оспанов Р. М., Йонсоновские теории и их компаньоны// Материалы 10-ой Межвузовской конференции по математике и механике. Т. 1., Алматы, 2005, — C. 85—90
4. Ешкеев А. Р., Оспанов Р. М., Связь йонсоновских теорий с теоремой Линдстрема // Труды V- Казахско-Французского коллоквиума по теории моделей. Сборник научных трудов, Караганда: Изд-во КарГУ, 2001, — C. 65—75.
5. Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей М: Мир 1977, 614 с.
6. Сакс. Дж. Теория насыщенных моделей. М.: Мир, 1976.
7. Baldwin. J. T., Kieker D. W. Algebraically prime models Annals of Mathematical Logic 20 .1981, p. 289—330
8. Ben-Yaacov I. Compactness and independence in non first order frameworks. Bulletin of Symbolic logic, volume 11 (2005), no. 1, p. 28—50.
9. Ben-Yaacov. I. Positive model theory and compact abstract theories // Journal of Mathematical Logic 3 (2003), no. 1, p. 85—118.
10. Pillay А. Forking in the category of existentially closed structures Connection between Model Theory and Algebraic and Analytic Geometry (A. Macintyre, ed), Quaderni di Matematica, vol.6, University of Naples, 2000.
11. Vaught R., Denumerable models of complete therioes in Infinitistic Methode Pergamon. London. P. 303-321