ОБ ОЦЕНКАХ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ГАЗА НАД ЖИДКОСТЬЮ

Ерунова Ирина Борисовна

доцент, канд.физ.-мат. наук, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»,г. Санкт-Петербург

E-mail: 

В работе исследуется процесс движения газа над жидкостью как задачи фазового перехода между жидкостью и газом с движущейся свободной границей раздела сред. Получены оценки скорости сходимости приближенного решения системы нестационарных термодинамических уравнений, уравнений движения вязкого газа и жидкости, границы раздела фаз к точному решению задачи.

Пусть жидкость и газ с коэффициентами теплопроводности  и , коэффициентами удельной теплоемкости  и  соответственно занимают в пространстве область

Область  ограничена снизу границей

и сверху

.

Граница раздела сред Г не пересекается с  и . Жидкость с постоянной плотностью  и динамической вязкостью  расположена в области , ограниченной снизу , а сверху Г. Газ с плотностью , с постоянной молекулярной вязкостью  занимает область , ограниченную снизу Г, а сверху .

Задача состоит в приближенном определении температуры  и вектора скорости движения сред , давления жидкости , плотности газа , перемещения  свободной границы Г в направлении нормали , удовлетворяющих начальным и граничным условиям

                       (1)

здесь:  — удвоенная кривизна Г,

 — коэффициент поверхностного натяжения,

 – тензор напряжений с элементами

 и   — матрица с элементами

 — непрерывно дифференцируемая возрастающая функция

                  (2)

                                                 (3)

                                (4)

где:  — удельная теплота парообразования. Область  может быть продолжена в направлении осей  и  с периодами и  соответственно. Предполагается, что  периодические функции по переменным  и  с периодами и .

Разрешимость задачи о движении вязкого газа была изучена в [4, с. 365]. Разрешимость задачи об испарении жидкости была доказана в [2, с. 26]. Оценки скорости сходимости приближенного решения стационарной задачи о движении жидкости и газа были получены в [3, с. 4]. В работе [1, с. 87] исследовалась полная система уравнений Навье-Стокса и Стефана в нестационарном случае, описывающая процесс испарения жидкости. В настоящей работе получены оценки скорости сходимости единственного приближенного решения к точному решению задачи (1)—(4).

Рассмотрим этапы решения задачи (1)—(4). Пусть Т время испарения, выберем натуральное число , обозначим шаг по времени  а моменты по времени   Процесс начинается с начальных условий (4),

начальная граница  известна. Предположим, сущест­вует единственное приближенное решение  в момент времени . Задача состоит в определении нового приближенного решения в момент времени

Плотность газа  можно найти из уравнения

                                                                   (5)

с известными  и  Интегрируя уравнение (5), имеем

 или

Температура  является решением линейной задачи в фиксированной области           

 (6)

с известными

Следующая задача состоит в определении приближенных  и , удовлетворяющих нестационарной системе уравнений Навье-Стокса в ,

                                                              (7)

с заданными

Наконец, новое приближенное перемещение  границы  получается из уравнений

                                                     (8)

В анализе нестационарных задач (6)—(8) используется разностная схема Кренка-Николсона для переменной по времени. На каждом шаге итераций приближенные решения предлагаемых вариационных формулировок задач (6) и (7) получаются методом конечного элемента.

Рассмотрим непрерывные функции

Существует единственное приближённое решение задачи (1)—(4) [1, с. 90]

Основным результатом работы является следующая теорема

Теорема. Пусть

Если для точного решения задачи (1)—(4) выполняются условия

тогда существует положительное число  такое, что для любого  справедливы неравенства

здесь постоянные ,  и  не зависят от .

Список литературы:

1. Ерунова И. Б. Об оценках скорости сходимости приближенного решения задачи об испарении жидкости // Сборник трудов III Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы управления информационными системами », 2009. - СПб. С. 87—91.
2. Ерунова И. Б., Ривкинд В.Я.. Исследование задачи об испарении жидкости // Вестник Ленингр. университета, 1991, вып. 2, № 8. С. 22—27.
3. Erunova I., Neittaanmaki P. Convergence estimates for approximation of the steady flow liquid and gas over a solid. Report 18, 1997. -Jyvaskyla: University of Jyvaskyla.-15 p.
4. Solonnikov V. A. and Tani A.. Free boundary problem for a viscous compressible flow with surface for the stationary Navier-Stores system // Partial differential equations, Warsaw, 1983, Vol. 10, Р. 361—403.