ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ  ИНТЕГРАЛЬНЫХ  ТЕОРЕМ  ТЕОРИИ  ПОЛЯ

Пешкичев  Юрий  Афанасьевич

канд.  физ.-мат.  наук,  исполнитель,  ООО  «Интеллект-Сервис»,  РФ,  г.  Бердск

E-mail: 

PARAMETERIZATION  OF  INTEGRAL  THEOREMS  OF  FIELD  THEORY

Yuriy  Peshkichev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  performer,  LLC  “Intellekt-Servis”,  Russia  Berdsk

АННОТАЦИЯ

В  статье  рассматривается  параметризация  интегральных  теорем  математической  теории  поля  на  плоскости.  Проводится  интегрирование  по  параметру  формул  из  этих  теорем.  В  итоге  возникают  новые  понятия  математической  теории  поля,  проявляются  новые  свойства  скалярных  и  векторных  полей  на  плоскости.

ABSTRACT

The  article  considers  parameterization  of  integral  theorems  of  mathematical  field  theory  in  the  plane.  Integration  by  formulae  parameter  from  these  theorems  has  been  performed.  As  a  result  new  concepts  of  mathematical  field  theory  appear,  and  new  properties  of  scalar  and  vector  fields  in  the  plane  become  apparent. 

Ключевые  слова:  градиент  и  линия  уровня  скалярного  поля;  дивергенция  и  скалярная  ротация  векторного  поля;  формулы  Гаусса;  Грина;  Остроградского  и  Стокса;  интегралы  Римана;  Лебега  и  Радона;  криволинейная  теорема  Фубини;  теорема  Кавальери-Лебега.

Keywords:  gradient  and  contour  line  of  scalar  field;  divergence  and  scalar  rotation  of  vector  field;  formulae  of  Gauss;  Green;  Ostrogradsky  and  Stokes;  integrals  of  Riemann;  Lebesgue  and  Radon;  curvilinear  Fubini  theorem;  Cavalieri-Lebesgue  theorem.

Возможность  параметризации  интегральных  теорем  теории  поля  возникает,  когда  плоскую  область  ограничивает  линия  уровня  гладкого  скалярного  поля.  Сами  же  формулы  интегральных  теорем  подразумевают  интегрирование  по  Риману.  Их  интегрирование  по  параметру  предполагает  использование  интеграла  по  Лебегу.  Чтобы  избавиться  затем  от  повторных  интегралов,  нужно  использовать  интеграл  по  произвольной  мере. 

Предварительные  сведения

Определения  вышеназванных  понятий  интеграла  приведены  в  учебнике  [1].  Различие  в  применении  интегралов  Римана  и  Лебега  поясним  на  примере  основной  леммы  вариационного  исчисления.  При  использовании  интеграла  Римана  эта  лемма  применяется  в  следующей  формулировке.

Лемма.  Пусть  α(х)  —  фиксированная  непрерывная  на  [a,b]  функция.  Если  для  любой  непрерывной  на  [a,b]  вместе  со  своей  производной  функции  h(x)  такой,  что  h(a)  =h(b)  =0,  имеет  место  равенство  _а∫^b  α(x)h(x)dx  =  0,  то  α(х)  =  0  всюду  на  (a,b).

При  использовании  интеграла  Лебега  соответствующее  утверждение  можно  обнаружить  в  учебной  литературе  как  упражнение  в  теории  меры  и  интегрирования.

Свойство  1.  Если  функция  α(х)  интегрируема  на  (a,b)  и  _c∫^d  α(x)dx  =  0  для  всех  чисел  c  <  d  таких,  что  a  <  c  <  d  <  b,  то  α(х)  =  0  почти  всюду  на  (a,b).

Интеграл  Лебега  понадобится  в  следующем  утверждении  при  повторном  интегрировании.  Для  гладкой  в  открытой  плоской  области  G  неотрицательной  функции  u(x)  рассмотрим  множества  уровня

G(t)  =  {xЄ  G:  u(x)>t},  E(t)  =  {xЄG:  u(x)  =  t}.

Криволинейная  теорема  Фубини  [2,  c.  318].  Если  существует  двойной  интеграл  Римана  ∫∫f(x)dG  по  области  G,  то  он  равен  повторному  интегралу

∫_u(G)dt  ∫_E(t)(f(x)/|gradu|)dl

с  участием  криволинейного  интеграла  по  длине  дуги  линии  уровня.  В  случае  двойного  интеграла  Лебега  эта  теорема  используется  в  работе  [3]  в  виде 

∫∫_G  |gradu|f(x)dx  =  ∫_u(G)  dt  ∫_E(t)  f(x)dl.

Для  формулировки  следующей  теоремы  понадобится  понятие  интеграла  Лебега-Стилтьеса  по  общей  мере.

Теорема  Кавальери-Лебега  [3].  Пусть  μ  —  неотрицательная  мера  в  G.  Тогда  для  измеримой  на  G  неотрицательной  функции  будет  ∫_G  f(x)μ(dx)  =_o  ∫^∞  μ(G(t))dt.

Такое  название  эта  теорема  получила  в  учебниках  профессоров  НГУ.  В  работе  В.Г.  Мазьи  [3]  она  остаётся  безымянной.

Нам  понадобится  случай,  когда  интеграл  по  общей  мере  сводится  к  интегралу  Лебега.

Свойство  2.  Пусть  функция  φ(х)  суммируема  на  G.  Введём  ограниченную  аддитивную  функцию  μ(А)  для  любого  измеримого  подмножества  А  области  G  формулой  μ(А)  =  ∫_А  φ(х)dx.  Тогда  [1,  c.  280]  ∫_G  f(x)μ(dx)  =  ∫_G  f(x)φ(x)dx.

Формула  Остроградского  для  плоскости

Cогласно  учебнику  [2,  c.  388],  по  теореме  Гаусса  двойной  интеграл  от  дивергенции  плоского  векторного  поля  по  области  G  равен  криволинейному  интегралу  вдоль  границы  области  от  проекции  векторного  поля  на  внешнюю  нормаль:  ∫∫divFdG=∫_C  F·n  dl.

Пусть  впредь  бесконечно  дифференцируемая  функция  u(x)≥0  имеет  компактный  носитель  в  G.  Как  отмечено  в  [3],  множество  тех  уровней  t,  для  которых  {xЄE(t):  gradu(x)  =  0}  ≠  Ø,  имеет  меру  нуль  и  поэтому  E(t)  —  гладкая  линия,  ограничивающая  G(t)  при  почти  всех  t>0.  Тогда  при  почти  всех  значениях  параметра  t  ∫∫_G(t)  divF  dG  =  ∫_E(t)  F·n  dl.  Интегрируем  по  Лебегу  по  параметру  t  с  использованием  криволинейной  теоремы  Фубини:

_o∫^∞  dt  ∫_G(r)  divFdG  =  ∫∫_G  |gradu|F·n  dG.

Согласно  теореме  Кавальери-Лебега,  при  неотрицательной  дивергенции  divF  будет            ∫∫F·gradudG  =  ∫∫u  divFdG.  Значит,  плоский  поток  векторного  поля  при  неотрицательной  дивергенции  через  семейство  линий  уровня  гладкого  скалярного  поля  равен  суммарной  производительности  его  источников,  взятых  с  весом  скалярного  поля.  В  результате  интегрирования  по  параметру  формулы  Остроградского  для  плоскости  возникли  два  новых  понятия  математической  теории  поля  и  проявилось  их  общее  свойство.

Формула  Стокса  для  плоскости 

Согласно  учебнику  [2,  c.  389],  двойной  интеграл  скалярной  ротации  плоского  векторного  поля  по  замкнутой  области  равен  криволинейному  интегралу  касательной  составляющей  векторного  поля  вдоль  граничной  кривой,  пробегаемой  в  положительном  направлении:  ∫∫rotFdG  =  ∫_C  F·τ  dl.  Повторяя  рассуждения  для  формулы  Остроградского,  при  неотрицательной  ротации  векторного  поля  получаем  ∫∫|F  х  gradu|dG  =  ∫∫u  rotFdG.  Значит,  работа  векторного  поля  вдоль  семейства  линий  уровня  гладкого  скалярного  поля  при  неотрицательной  скалярной  ротации  векторного  поля  равна  двойному  интегралу  по  области  G  от  скалярной  ротации,  взятой  с  весом  скалярного  поля.  На  возникшее  при  этом  понятие  работы  векторного  поля  вдоль  семейства  линий  уровня  скалярного  поля  автор  обратил  внимание  ещё  в  работе  [4]. 

Первая  формула  Грина

Согласно  [2,  c.  391],  для  гладких  скалярных  полей  u(x),  v(x)  в  области  G

∫∫(gradu·gradv+ugrad²v)dG  =  ∫_C  uD_nv  dl,

где:  D_n  —  символ  производной  по  направлению  внешней  нормали, 

grad²  —  оператор  Лапласа.  Значит,  при  почти  всех  значениях  параметра  t  будет

∫∫_G(t)  (gradu·gradv+ugrad²v)dG  =  t∫_E(t)  D_nv  dl.

В  случае  неотрицательного  выражения  gradu·gradv+ugrad²v  интегрированием  по  параметру  t  получаем  равенство  двойных  интегралов

∫∫u|gradu|D_nvdG  =  ∫∫u(gradu·gradv+ugrad²v)dG.

Здесь  проявилось  новое  свойство  гладких  скалярных  полей  на  плоскости.  Присутствующие  в  этой  формуле  подынтегральные  выражения  достаточно  сложны,  чтобы  неформально  сформулировать  новые  понятия  математической  теории  поля.  Обратим  только  внимание  на  присутствие  множителя  u(x)  в  обеих  подынтегральных  частях.  Теория  интегрирования  не  допускает  сокращения  на  непостоянный  общий  множитель.  Но  мы  можем  видоизменить  всю  формулу.  А  именно,  если  вместо  первого  скалярного  поля  в  формуле  Грина  взять  его  логарифм,  то  в  случае  неотрицательного  выражения  gradu·gradv  +lnu·grad²v  интегрирование  по  параметру  значений  скалярного  поля  u(x)  даёт  формулу

∫∫|gradu|lnu·D_nv  dG  =  ∫∫(gradu·gradv+u  lnu·grad²v)dG.

Вторая  формула  Грина

Согласно  [2,  c.  391],  для  гладких  скалярных  полей  u(x),  v(x)  в  области  G

∫∫(ugrad²v  –  vgrad²u)dG  =  ∫_C  (uD_nv  -  vD_nu)dl.

Значит,  при  почти  всех  значениях  параметра  t  выполняется  такое  же  равенство  для  открытой  области  G(t)  и  её  границы  E(t).  В  результате  интегрирования  по  параметру  t  значений  скалярного  поля  u(x)  получаем  при  неотрицательном  выражении  ugrad²v  –  vgrad²u  равенство  двойных  интегралов

∫∫|gradu|(uD_nv  –  vD_nu)dG  =  ∫∫u(ugrad²v  –  vgrad²u)dG.

Здесь  также  проявилось  новое  свойство  гладких  скалярных  полей  на  плоскости.

Список  литературы:

1. Вулих  Б.З.  Краткий  курс  теории  функций  вещественной  переменной.  М.:  Наука,  1964.  —  304  с.
2. Курант  Р.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления.  Том  II.  М.:  Наука,  1979.  —  672  с.
3. Мазья  В.Г.  Классы  областей,  мер  и  ёмкостей  в  теории  пространств  дифференцируемых  функций  //  Итоги  науки  и  техн.  Соврем.  пробл.  мат.  Фунд.  направления.  —  1988.  —  №  26.  —  С.  159—228.
4. Пешкичев  Ю.А.  Дифференциальная  геометрия  в  математической  физике  //  Сборник  материалов  VIII  Международной  научно-практической  конференции  «Наука  и  современность  —  2011».  —  Ч.  2  (1  февраля  2011  г.)/  Под  общей  ред.  к.э.н.  С.С.  Чернова.  Новосибирск,  2011.  —  С.  248—253.