ОБ  ОДНОЙ  МНОГОТОЧЕЧНОЙ  КРАЕВОЙ  ЗАДАЧЕ

Митрохин  Сергей  Иванович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент,  старший  научный  сотрудник  НИВЦ  МГУ  им.  М.В.  Ломоносова,  г.  Москва

E-mail: 

ABOUT  ONE  MULTIPOINT  BOUNDARY  VALUE  PROBLEM

Sergey  Mitrohin

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  associate  professor,  senior  research  scientist  of  Research  Computing  Center  of  M.V.  Lomonosov  Moscow  State  University,  Moscow

АННОТАЦИЯ

В  статье  изучена  многоточечная  краевая  задача  для  дифференциального  оператора  нечётного  порядка,  которая  возникает  при  исследовании  колебаний  балок  и  мостов.  Потенциал  предполагается  суммируемой  функцией  на  рассматриваемом  отрезке.  Впервые  изучена  асимптотика  решений  уравнения  с  суммируемым  коэффициентом,  выведено  уравнение  на  собственные  значения  этой  задачи.  Методами  спектральной  теории  дифференциальных  операторов  найдена  асимптотика  собственных  значений  рассматриваемой  краевой  задачи.

ABSTRACT

The  article  studies  a  multipoint  boundary  value  problem  for  a  differential  operator  of  odd  order,  which  appears  during  an  investigation  of  a  variance  of  beams  and  bridges.  The  potential  is  hypothesized  by  a  summable  function  at  a  given  interval.  An  asymptotics  of  solutions  of  an  equation  with  a  summable  coefficient  was  examined  for  the  first  time;  an  equation  on  eigenvalues  of  this  problem  was  established.  Using  methods  of  spectral  theory  of  differential  operators  there  was  found  the  asymptotics  of  eigenvalues  of  the  boundary  value  problem  in  question.

Ключевые  слова:  многоточечная  краевая  задача;  дифференциальный  оператор;  суммируемый  потенциал;  асимптотика  решений;  асимптотика  собственных  значений.

Keywords:  multipoint  boundary  value  problem;  differential  operator;  summable  potential;  asymptotics  of  solutions;  asymptotics  of  eigenvalues. 

Изучим  следующую  краевую  задачу:

                               (1)

с  граничными  условиями

           (2)

потенциал    предполагается  суммируемой  функцией  на  отрезке  .

Впервые  такой  тип  граничных  условий  (для  дифференциального  оператора  четвёртого  порядка)  был  изучен  Ю.  Белабасси  в  работе  [1].

Случай  суммируемого  потенциала  (для  дифференциального  оператора  второго  порядка)  впервые  изучен  в  работах  [2],  [3].  В  работах  [4],  [5],  [6]  автором  изучены  спектральные  свойства  дифференциальных  и  функционально-дифференциальных  операторов  четвёртого  и  шестого  порядков  с  суммируемыми  коэффициентами.  Методами  работ  [7],  [8],  [9]  доказывается  следующее  утверждение.

Теорема  1.  Общее  решение  дифференциального  уравнения  (1)  имеет  следующий  вид:

          (3)

где:    —  произвольные  постоянные,  причём  для  фундаментальной  системы  решений    справедливы  следующие  асимптотические  разложения  при  :

(4)

где:    —  различные  корни  7-ой  степени  из  единицы,

     (5)

Перенумеруем  числа    следующим  образом:

Подставляя  формулы  (3)  в  граничные  условия  (2),  имеем:

      (6)

Система  (6)  —  однородная  система  из  семи  уравнений  с  семью  неизвестными.  Из  метода  Крамера  следует,  что  такие  системы  имеют  ненулевые  решения    только  в  том  случае,  когда  их  определитель  равен  нулю.  Поэтому  верна  следующая  теорема.

Теорема  2.  Уравнение  на  собственные  значения  краевой  задачи  (1)—(2)  имеет  следующий  вид:

            (7)

Подставляя  формулы  (4)—(5)  в  уравнение  (7),  получаем:

                 (8)

где  введены  обозначения: 

   (9)

Раскладывая  определитель    из  (8)—(9)  по  столбцам  на  сумму  определителей,  приходим  к  выводу,  что 

                                       (10)

                    (11)

Основное  приближение  уравнения  (10)  (при  )  имеет  вид 

.             (12)

Вычисляя  определитель    из  (11)—(12),  имеем:

(13)

  при  .

Всего  в  уравнении  (13)    слагаемых.  Из  общей  теории  нахождения  асимптотики  корней  (при  )  уравнения  вида  (10)—(13)  (см.  [10,  глава  12])  следует,  что  необходимо  изучить  так  называемую  индикаторную  диаграмму  этих  уравнений,  т.е.  выпуклую  оболочку  показателей  экспонент,  входящих  в  уравнение  (12)—(13).  В  силу  обозначений  (5)  имеем:

(14)

(15)

(16)

Из  формул  (14)—(16)  видно,  что    достигается  в  случае,  когда

при  этом                     (17)

В  формуле  (17)  возможны  8  различных  случаев  выбора  точек  ,  поэтому  одной  из  сторон  индикаторной  диаграммы  уравнений  (8)—(9),  (10)—(11)  или  (12)—(13)  является  вертикальный  отрезок  ,  при  этом  координаты  точек  равны  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .  Это  означает,  что  одна  из  серий  собственных  значений  краевой  задачи  (1)—(2)  находится  в  секторе  малого  раствора,  биссектриса  которого  перпендикулярна  отрезку    и  проходит  через  середину  этого  отрезка,  т.е.  через  точку  .

Точки    соответствуют  следующим  перестановкам  чисел  :  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  знаки  этих  перестановок  равны  .

Поэтому  из  представления  (13)  с  учётом  формул  (11),  (10)  и  (12)  следует  справедливость  следующего  утверждения.

Теорема  3.  В  секторе  уравнение  на  собственные  значения  краевой  задачи  (1)—(2)  имеет  следующий  вид:

         (19)

Проведя  необходимые  преобразования,  уравнение  (19)  можно  привести  к  следующему  виду:

                            (20)

Из  (20)  видно,  что  серия  собственных  значений,  соответствующая  сектору  ,  распадается  на  три  отдельные  подсерии,  например, 

(21)

Изучая  уравнение  на  (21),  получим  одну  из  трёх  подсерий  первой  серии  собственных  значений  краевой  задачи  (1)—(2).

Список  литературы:

1.Белабасси  Ю.  Регуляризованный  след  многоточечной  задачи  //  Вестник  Московского  университета.  Серия:  математика.  —  1981.  —  №  2.  —  С.  35—41.

2.Беллман  Р.,  Кук  К.  Л.  Дифференциально-разностные  уравнения.  М.:  Мир,  1967.  —  548  с.

3.Винокуров  В.А.,  Садовничий  В.А.  Асимптотика  любого  порядка  собственных  значений  и  собственных  функций  краевой  задачи  Штурма-  Лиувилля  на  отрезке  с  суммируемым  потенциалом  //  Дифференциальные  уравнения.  —  1998.  —  Т.  34,  —  №  10.  —  С.  1423—1426.

4.Винокуров  В.А.,  Садовничий  В.А.  Асимптотика  любого  порядка    собственных  значений  и  собственных  функций  краевой  задачи  Штурма-Лиувилля  на  отрезке  с  суммируемым  потенциалом  //  Известия  РАН.  Серия:  матем.  —  2000.  —  Т.  64,  —  №  4.  —  С.  47—108.

5.Митрохин  С.И.  Асимптотика  собственных  значений  дифференциального    оператора  четвёртого  порядка  с  суммируемыми  коэффициентами  //  Вестник  Московского  университета.  Сер.1,  математика,  механика.  —  2009.  —  №  3.  —  С.  14—17.

6.Митрохин  С.И.  Спектральные  свойства  краевых  задач  для    функционально-дифференциальных  уравнений  с  интегрируемыми  коэффициентами  //  Дифференциальные  уравнения,  —  2010.  —  Т.  46,  —  №  8.  —  С.  1085—1093. 

7.Митрохин  С.И.  Асимптотика  собственных  значений  дифференциального  оператора  десятого  порядка  с  суммируемым  потенциалом  //  Успехи  современного  естествознания.  —  2010.  —  №  3.  —  С.  146—149.

8.Митрохин  С.И.  О  спектральных  свойствах  дифференциального  оператора  с  суммируемым  потенциалом  и  гладкой  весовой  функцией.  //  Вестник  СамГУ  —  естественнонаучная  серия.  —  2009.  —  №  8/1(67).  —  С.  172—187. 

9.Митрохин  С.И.  О  некоторых  спектральных  свойствах  дифференциальных    операторов  второго  порядка  с  разрывной  весовой  функцией  //  Доклады  РАН.  —  1997.  —  Т.  356,  —  №  1.  —  С.  13—15.

10.Митрохин  С.И.  Асимптотика  решений  дифференциального  уравнения  третьего  порядка  с  суммируемыми  коэффициентами  //  М.:  МГСУ,  2010.  —  Сборник  научных  трудов.  Выпуск  12.  —  С.  38—48.