КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЯ  ПРОЦЕССА  РАСПРОСТРАНЕНИЯ  УПРУГИХ  ВОЛН  В  ОДНОМЕРНОЙ  СРЕДЕ  СО  СФЕРИЧЕСКОЙ  СИММЕТРИЕЙ

Гуш  Максим  Николаевич

аспирант,  кафедра  прикладной  математики 
Новосибирского  государственного  технического  университета, 
РФ,  г.  Новосибирск

E-mail:  

FINITE-ELEMENT  MODELING  OF  ELASTIC  WAVES  IN  ONE-DIMENSIONAL  MEDIUM  WITH  SPHERICAL  SYMMETRY

Maxim  Gush

postgraduate  student  Department  of  Applied  Mathematics
Novosibirsk  State  Technical  University, 
Russia,  Novosibirsk

АННОТАЦИЯ

В  данной  статье  рассматривается  конечноэлементное  моделирование  процесса  распространения  упругих  волн  в  одномерной  среде,  обладающей  сферической  симметрией.  Приводятся  вывод  эквивалентной  вариационной  постановки  и  построение  конечноэлементного  аналога.  Оценивается  порядок  аппроксимации  разработанной  схемы.

ABSTRACT

The  article  discusses  the  finite  element  modeling  of  elastic  wave  propagation  in  one-dimensional  medium  with  spherical  symmetry.  An  equivalent  variation  formulation  has  been  developed  and  finite  element  discretization  has  been  carried  out.  The  order  of  approximation  has  been  estimated.

Ключевые  слова:   упругие  волны;  метод  конечных  элементов;  вариационная  постановка;  дискретный  аналог. 

Keywords:   elastic  waves;  finite  element  method;  variation  formulation;  finite  element  discretization.

Распространение  упругих  волн  в  изотропной  среде  обладающей  сферической  симметрией  описывается  одномерным  волновым  уравнением  и  является  наиболее  простым  случаем  распространения  упругих  волн.  При  этом  в  силу  симметрии  в  такой  среде  будут  наблюдаться  только  продольные  упругие  волны,  в  которых  смещение  направлено  вдоль  вектора  распространения  самой  волны.  В  практических  задачах  среды,  обладающие  сферической  симметрией,  встречаются  крайне  редко,  однако,  данная  задача  может  быть  использована  для  исследования  качественного  характера  получаемых  численных  решений  в  задачах  распространения  упругих  волн  и  для  отладки  более  сложных  процедур  (моделирование  распространения  упругих  волн  в  двух-  и  трёхмерных  средах,  решение  обратной  задачи  сейсмической  разведки  и  т.  д.).

Математическая  модель  одномерной  задачи  в  сферических  координатах  описывается  следующим  уравнением  [1,  с.  513]:

где:  u(r,t)  —  деформация  среды  в  точке  r, 

(r,t)  —  функция  задающая  внешние  силы,   

  —  плотность, 

  —  модуль  сдвига, 

  —  коэффициент  Пуассона.

Начальные  условия:

Краевые  условия:

Получим  вариационную  формулировку  в  форме  уравнения  Галёркина  [2,  с.  84].  Для  этого  потребуем,  чтобы  невязка  дифференциальных  уравнений  была  ортогональна  (в  смысле  скалярного  произведения  пространства  )  некоторому  пространству    пробных  функций  ,  т.  е.

Расписывая  скалярное  произведение,  получим:

По  свойствам  дивергенции:

где:    —  скалярное  поле, 

  —  векторное  поле.  Тогда  справедливо:

По  теореме  о  дивергенции:

где    —  вектор  нормали  к  поверхности  .

Учитывая  (8),  соотношение  (7)  примет  вид:

Тогда

Подставим  полученные  соотношения  (10)  в  (5):

Поскольку  на  границе    краевыми  условиями  не  определяется  значение  ,  то  слагаемое    следует  исключить  из  уравнения,  потребовав,  чтобы  пространство  пробных  функций  Φ  содержало  только  функции,  которые  принимали  бы  только  нулевые  значения  на  границе  .  Обозначим  их  .

Обратим  внимание,  что  в  полученное  выше  уравнение  входят  производные  пробных  функций  .  Поэтому  в  качестве  пространства  пробных  функций  Φ  мы  можем  выбрать    —  пространство  функций,  имеющих  суммируемые  с  квадратом  производные  и  равные  0  на  границе  .

Таким  образом,  получаем  систему  вариационных  уравнение  вида:

В  силу  (3)  приходим  к  уравнению

Сделаем  дискретизацию  по  времени  [2,  c.  364].  Будем  полагать,  что  ось  времени    разбита  на  так  называемые  временные  слои  значениями  ,  ,  а  значения  искомой  функции    на  k-м  временном  слое  обозначим  через  ,  которые  не  зависят  от  времени,  но  остаются  функциями  пространственных  координат.

Рассмотрим  процедуру  построения  неявной  четырехслойной  схемы  для  решения  дифференциального  уравнения  гиперболического  типа. 

Представим  искомое  решение    на  интервале    в  следующем  виде:

где  функции    являются  значениями  искомой  функции  при  ,  а  функции    являются  кубическими  полиномами  и  имеют  вид:

Применим  представление  (14)  для  аппроксимации  второй  производной  по  времени  в  уравнениях    на  временном  слое  :

Подставим  (20)  в  уравнения  (13)  и  получим:

Перейдём  к  конечноэлементной  СЛАУ.  При  построении  численного  решения  по  методу  Галёркина  минимум  невязки  ищется  не  на  пространствах    и  ,  а  на  аппроксимирующих  их  конечномерных  подпространствах    и  .  При  этом  конечномерное  пространство  ,  подпространствами  которого  являются    и  ,  мы  определим  как  линейное  пространство,  натянутое  на  базисные  функции  .

Заменим  функции    аппроксимирующие  их  функции  ,  а  функцию    функцией  :

Любая  функция    может  быть  представлена  в  виде  линейной  комбинации  базисных  функций  пространства  :

Функции    так  же  можно  представить  в  виде  линейной  комбинации  базисных  функций  пространства  :

причём    компонент  векторов  весов    должны  быть  фиксированы  и  могут  быть  определены  из  условий

Подставляя  (23)  и  (24)  в  (22)  получим  дискретный  аналог  для  (13):

В  результате  мы  получили  систему  из    уравнений  с    неизвестными  .  Чтобы  определить  матрицу  и  вектор  правой  части  полученной  конечноэлементной  СЛАУ,  пронумеруем  её  уравнения  и  неизвестные  следующим  образом.

Систему  уравнений  (26)  можно  записать  в  матричном  виде:

где

Используемые  в  МКЭ  базисные  функции  являются  финитными,  т.е.  каждая  функция    не  равна  0  только  на  нескольких  примыкающих  к  определяющему  её  i-му  узлу  конечных  элементах  .  Следовательно,  для  фиксированной  функции    только  небольшое  число  функций    отличны  от  0  в  подобласти,  где  .  Тогда  из  соотношений  (28)  очевидно,  что  в  каждой  строке  матрицы  содержится  мало  ненулевых  элементов,  поэтому  для  хранения  и  обработки  матрицы  будет  использован  разреженный  формат  хранения.

Поскольку  базисные  функции  кусочно-полиномиальные,  то  интегралы  в  (28)  практично  вычислять,  как  сумму  интегралов  по  конечным  элементам  на  которые  разбита  расчётная  область  и  тогда  матрица    представляется  в  виде  суммы  вкладов    от  соответствующих  конечных  элементов  :

При  этом  фактически  все  ненулевые  компоненты  матрицы    (размера  )  можно  разместить  в  локальной  матрице  размера  ,  где  –  количество  базисных  функций,  отличных  от  нуля  на  конечном  элементе  .

Локальные  лагранжевы  базисные  функции  на  конечном  элементе    представляются  в  виде  [2,  c.  68]:

Каждая  базисная  функция  равна  единице  в  узле  соответствующем  её  номеру  и  нулю  в  остальных.

Локальные  матрицы  для  линейных  лагранжевых  базисных  функций  будем  вычислять  численно  по  схеме  Гаусс-4.

Протестируем  аппроксимацию  решения  по  пространству.

Расчётная  область:   ; 

Параметры  среды: ;

Аналитическое  решение: 

Определим  по  правилу  Рунге  порядок  аппроксимации:

Вывод:   Решение  с  дроблением  сетки  по  пространству  сходится  к  правильному.  Порядок  пространственной  аппроксимации    совпадает  с  теоретическим.

Протестируем  аппроксимацию  решения  по  времени.

Расчётная  область:   ; 

Расчётный  интервал  времени:   ;   

Параметры  среды: ;

Аналитическое  решение: 

Определим  по  правилу  Рунге  порядок  аппроксимации:

Вывод:   Решение  с  дроблением  сетки  по  времени  сходится  к  правильному.  Порядок  аппроксимации  по  времени    совпадает  с  теоретическим.

Список  литературы:

1.Новацкий  В.  Теория  упругости:  учебное  пособие.  М.:  «Мир»,  1975.  —  872  с.

2.Соловейчик  Ю.Г.,  Рояк  М.Э.,  Персова  М.Г.  Метод  конечных  элементов  для  решения  скалярных  и  векторных  задач:  учебное  пособие.  Новосибирск:  Изд-во  НГТУ,  2007.  —  896  с.