К ВОПРОСУ О ФОРМАЛИЗМЕ В ПРЕПОДАВАНИИ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В СИСТЕМЕ СРЕДНЯЯ ШКОЛА-ТЕХНИЧЕСКИЙ ВУЗ

Конькова Мария Ивановна

аспирант, старший преподаватель кафедры Высшей математики

НИЯУ МИФИ СарФТИ, г. Саров,

E-mail: konkovami1@rambler.ru

Реформы, осуществляемые в последние десятилетия в Российском обществе, направлены на реализацию главной задачи государства: возрождение российской экономики, поднятие ее на уровень, соответствующий западным стандартам. Поставленные государством цели обусловили потребность общества в специалистах высококвалифицированных, творчески мыслящих, способных к непрерывному самообучению. Как следствие, процесс реформирования затронул и систему образования. Целевые ориентации государственной политики в области образования были обозначены в следующих основных документах: закон «Об образовании», «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года», «Постановлении Российского Союза ректоров от 6-7 декабря 2002 г.г».

К тому в последние годы значительно возросла роль математики в связи с появлением новых технологий и всеобщей компьютеризацией. Для того чтобы ориентироваться в потоке этой информации и глубоко понимать суть происходящих процессов, необходимо наличие математической подготовки, основы которой закладываются в школе и дальше развиваются в вузе. Этот процесс формирования математической подготовки в идеале должен быть непрерывным (гладким), без резких скачков и потрясений, должна соблюдаться преемственность в обучении математике, когда в процессе обучения новому опираются на ранее полученные знания.

Одним из самых распространенных и тяжелых недостатков математической подготовки выпускников школ до сих пор остается формализм математических знаний и навыков. Формальный характер приобретаемых учениками в школе математических знаний и навыков действительно служит существенным препятствием на пути ко всем тем целям, какие ставит себе высшая школа. Нет, и не может быть, поэтому разногласий в вопросе о необходимости и неотложности борьбы с этим явлением не только в школе, но и в вузе.

Формализм знаний выпускников школ часто бывает следствием формализма в преподавании основ математического анализа. Многие учителя недостаточно подготовлены к тому, чтобы вести этот курс на современном уровне. Они боятся отступить от текста учебника, дословно его повторяют, не сопровождая изучаемый материал необходимыми разъяснениями и иллюстрациями. К тому же многие математические знания носят фактологический характер.

Так, например, вытеснение из школьного курса математики понятия предела, приводит к еще большему проявлению формализма в математических знаниях и умениях. Вчерашний школьник, у которого даже не сформировались интуитивные представления о понятии предельного перехода, на первом курсе института должен это понятие применить как в математике, так и в других науках. В традиционной системе обучения математике в некоторых школах, введение понятия начинается с его строгого определения, его формально - логического развертывания, без учета психологических особенностей познавательного процесса. В этом случаи школьник может усвоить лишь технику работы с этим понятием без понимания смыслового и функционального содержания. Неподготовленность к восприятию проистекает не из того, что уровень абстракции высок, а из того, что не ясны процессы восхождения к ней, не выявлены механизмы, на которых и происходит формирования общих математических понятий. Таким образом, речь должна идти о создании и отыскании средств, превращающих понятия в доступные и продуктивные. Строгое определение понятия должно быть не началом обучения, а итогом творческого поиска учащихся, руководимых учителем.

Разъяснение связи математических понятий с действительностью очень важно в методическом плане, так как служит основанием использования интуиции, без чего невозможно преподавание основ математического анализа, как в школе, так и в вузе. Трудно себе представить, что можно разъяснить обучаемому связь знака производной с характером монотонности, не опираясь на графические представления, или заставить их выучить терему Ферма, не показав её смысла на рисунке.

Обращение к наглядности, графикам и через них к интуиции совершенно необходимо на всех этапах обучения основам математического анализа.

Развивать интуицию, практическую сметку не менее важно, чем оттачивать логику. При этом важно, чтобы обучаемые понимали роль этих двух сторон мышления: многие факты, теоремы можно «увидеть»; дойти до них теоретическими рассуждениями часто труднее. Но математическая строгость требует, чтобы каждая догадка, каждое наглядно совершенно бесспорное предложение было проверено логическими рассуждениями, то есть доказано. Те учащиеся, которые не понимают этого общего принципа, иногда почти физически страдают, когда вдруг, например, начинают исследовать с помощью производной давным-давно набивший оскомину квадратный трехчлен или выявлять промежутки монотонности для синуса опять-таки с помощью производной. В этих случаях совершенно необходимо объяснить роль этого теоретического исследования как проверки нашей интуиции. Например, разбор графика квадратичной функции с помощью производной является примером, на котором мы убеждаемся, что два способа рассуждения приводят к одному результату. Таким образом, у обучаемых должно постепенно возникать понимание того, что наглядные интуитивные соображения очень важны, но только логическое обоснование дает уверенность в их достоверности.

Какова же сущность формализма математических знаний? Советский математик А.Я. Хинчин в своей книге «Педагогические статьи» раскрывает сущность этого явления и источники его появления. Рассматривая качество владения математическими знаниями и методами, А.Я. Хинчин отмечает, что во многих случаях можно обнаружить некое нарушение в сознании учащегося правильного взаимоотношения между внутренним содержанием математического факта и его внешним выражением. Далее А.Я. Хинчин поясняет, как понимается их правильное взаимоотношение. Оно состоит в том, что основным объектом изучения служит внутреннее содержание математического факта, а внешнее выражение (словесная формулировка, символическая запись, чертеж) является лишь средством, орудием для его усвоения и запоминания, для передачи этого содержания. Внешнее выражение математического факта должно занимать подчиненное место относительно внутреннего содержания в ходе овладения этим математическим знанием.

Теперь зададимся вопросом, о каком нарушении правильного взаимоотношения между внутренним содержанием математического факта и его внешним выражением идет речь, каков же характер этого нарушения. Это, согласно А.Я. Хинчину, во-первых, «неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта». Во-вторых, это «отрыв внешнего выражения от математического содержания соответствующего факта». В этом случае внешнее выражение знания подменяет собой содержательный смысл, совершенно выпадающий из сознания учащегося. В этом и состоит сущность формализма математических знаний учащихся. Заметим, что рассматривая математический факт или метод как объект изучения в школе или в вузе, А.Я. Хинчин четко расчленяет их внешнее выражение (словесная формулировка, символическая запись, чертеж и др.) и их внутреннее содержание [2, с. 110-112].

Мы, следуя А.Я. Хинчину, рассматривая владение учащимися математическими знаниями и умениями, вычленяем, с одной стороны – усвоение их внешнего выражения, а с другой стороны – понимание их внутреннего содержания. Правильное взаимоотношение этих двух сторон процесса овладения математическим знанием или умением состоит в том, что усвоение сопровождается или характеризуется пониманием его внутреннего содержания. Таким образом, мы будем исходить из того, что владение математическим знанием или умением есть усвоение его внешнего выражения плюс понимание его внутреннего содержания.

В процессе достижения учащимися понимания внутреннего содержания изучаемых математических знаний имеет существенное значение интуитивное понимание, т. е. быстрое, непосредственное схватывание сознанием обучающегося внутреннего содержания изучаемого понятия, закономерности или метода, которое в некоторых случаях может достигать уровня полной интуитивной ясности; эффективными являются знания, полученные в результате непосредственного интуитивного усмотрения или угадывания; полезную роль в достижении понимания внутреннего содержания изучаемых математических знаний играют интуитивные представления, как уже имеющиеся в сознании обучающихся, так и специально формируемые. Заметим, что значение имеют также интуитивные образы, причем не, только при достижении понимания, но и используемые в целях повышения прочности усвоения и запоминания. Вообще, можно полагать, что в процессе достижения понимания переход от непонимания к пониманию имеет характер скачка, который можно рассматривать и как проявление интуиции. При указанном выше ограничении видов внешнего выражения математических знаний и умений, а именно, при рассмотрении лишь логических форм этого выражения, формализм в математических знаниях и умениях будет выражаться, в частности, в нарушении правильного взаимоотношения между усвоением учащимися логических форм выражения знаний и пониманием ими их внутреннего содержания и смысла.

Установление правильного, педагогически целесообразного, соотношения между формальным и интуитивным аспектами изучения основ математического анализа в системе средняя школа – технический вуз, продуманная, методически рациональная расстановка акцентов на формальные и интуитивные аспекты в ходе формирования понятий, утверждений, теорем и освоения методов, разумное использование интуиции учащихся будут способствовать преодолению и предупреждению формализма в их математических знаниях и умениях.

Список литературы:

1.Хрестоматия по методике математики: Обучение через задачи: Пособие для студентов и преподавателей математических специальностей педагогических вузов, учителей математики общеобразовательных школ. Сост. М.И. Зайкин, С.В. Арюткина - Арзамас: АГПИ. 2005. – 320 с.

2.Хинчин А.И. Педагогические статьи. / А.И. Хинчин – М.:Из-во Академии пед. наук, РСФСР, 1963г. – 203 с.