СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ПРИ НАРУШЕНИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

SINGULARLY PERTURBED EQUATIONS WITH ANALYTIC FUNCTIONS IN VIOLATION OF THE UNIQUENESS OF THE SOLUTIONS OF A DEGENERATE EQUATION

Aitbu Murzabaeva

senior lecturer of Osh Technological University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматриваются сингулярно возмущенные уравнения с аналитическими функциями при нарушении единственности вырождения и решается задача о возможности предельного перехода в некоторой области комплексной плоскости.

ABSTRACT

In this paper we consider the singularly perturbed equations with analytic functions in violation of the uniqueness of the degeneracy and solve the problem of the possibility of passing to the limit in some region of the complex plane.

Ключевые слова: сингулярное возмущение, обыкновенное дифференциальное уравнение, аналитическая функция, вырожденное уравнение.

Keywords: singulary perturbed, ordinary differential equation, analytic function, the degenerate equation.

Объектом исследования данной работы будут сингулярно возмущенные обыкновенные дифференциальные уравнения [10]. Центральной проблемой в теории сингулярно возмущенных уравнений является выявление множеств притяжения таких систем при стремлении малого параметра к нулю. В первую очередь, такими устойчивыми множествами могут быть решения таких систем, которые являются вырожденными по отношению к исходным системам.

В наиболее общем виде эта проблема применительно к начальной задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений формулируется следующим образом.

Пусть дана система

,                                 (1)

где:– вектор-функция,  – гладкая вектор функция,  – малый положительный параметр, с начальным условием

,                                                          (2)

Вырожденная система, соответствующая (1),

                                                                   (3)

имеет единственный непрерывный корень  на всем отрезке.

При каких требованиях к функции  будет выполняться предельное соотношение

для  при

В наиболее общем виде задача решена в работе [10]. Случаи, когда структура корней (3) является более сложной и возникают новые явления, рассмотрены в работах [2; 3; 4; 5; 7; 9].

В работах [1; 6; 8; 11] рассматривались случаи, когда нарушается условие устойчивости точки покоя присоединенной системы, сформулированное в [10].

В данной работе рассмотрим сингулярно возмущенные уравнения с аналитическими функциями при нарушении единственности вырождения и решим задачу о возможности предельного перехода в некоторой области комплексной плоскости.

В общем виде эту задачу можно сформулировать следующим образом.

Пусть

,                                              (4),

где:  иодносвязная область; – вектор функция; – аналитическая функция по переменным и непрерывна по параметру .

Вырожденная система, соответствующая (4)

                                                         (5)

имеет корни– пространство аналитических функций в .

Задача. Пусть – решение системы (4), удовлетворяющее начальному условию

,.                                        (6)

При каких условиях к  будут выполняться предельные соотношения

для  при              (7)

Определение 1. Если для решения , удовлетворяющего условию (6), существует область  и, то область  назовем областью притяжения корня .

Определение 2. Если  является областью притяжения корня , а областью притяжения корня  и , имеют общую границу, то эту границу назовем пограничной линией.

Рассмотрим следующие сингулярно возмущенные уравнения с аналитическими функциями.

1. Пусть

                                                      (8)

с начальным условием

.                                                       (9)

Вырожденное уравнение имеет корень .

Решение задачи (8) – (9) можно представить в виде

и это решение не стремится к нулю только в некоторой малой окрестности точки . В данном случае областью притяжения является вся комплексная плоскость, без малой окрестности точки.

2. Пусть

,                                          (10)

,,                               (11)

Вырожденное уравнение, соответствующее (10), имеет корни

В (10) произведя замену

– новая неизвестная функция, получим решение

                                     (12)

где:

Из (12) следует: если то  еслито

Таким образом, при  имеем при имеем

На прямой предел  не существует. Полуплоскость  является областью притяжения корня  а полуплоскость  областью притяжения корня

Прямая является пограничной линией.

3. Теперь рассмотрим следующее сингулярно возмущенное уравнение

                                     (13)

с начальным условием

,                                                   (14)

Функции  и являются корнями вырожденного уравнения. Поставим задачу определения областей притяжения для корней  и пограничных линий.

В (13) произведем замену

– новая неизвестная функция. Получим следующее уравнение

.                                  (15)

с начальным условием

                                                            (16)

Поставленная задача для  будет гласить так: Определить область , где выполняется предельный переход при.

Для решения задачи (15) – (16) заменим следующим уравнением

               (17)

Определим область , где будем рассматривать уравнение (17).

Полагая , рассмотрим функцию

Линии, определяемые уравнением , являются прямыми  и Эти прямые всю комплексную плоскость разбивают на четыре сектора с вершинами в точке Сектор, содержащий положительную часть мнимой оси, обозначим  Далее против часовой стрелки обозначим оставшиеся сектора

Сектора имеют общие границы. Из секторов исключим границы с малыми их окрестностями. Окрестности определяются как полосы, ограниченные прямыми

где: . Оставшиеся части также обозначим.

Выполняются соотношения

(17) будем рассматривать в области

Теперь, применяя к (17) метод последовательных приближений и выбирая соответствующие пути интегрирования, доказываем существование, единственность решения (17) и справедливость оценки

                                                       (18)

где:– некоторая постоянная не зависящая от в области

Пути интегрирования выбираются так, чтобы по этим путям функция

была невозрастающей.

В силу громоздкости проводимых вычислений их опускаем.

Из (18) следует, что  является искомой областью. Таким образом область  является областью притяжения корня

Для нахождения области притяжения корня в (13) произведем замену– новая неизвестная функция и получим уравнение

                       (19)

с начальным условием

                                                   (20)

Поставим задачу: Определить областьгде выполняется предельный переход при .

Задачу (19) – (20) заменим следующим уравнением

          (21)

Для решения уравнения в области  доказывается оценка

.                                                       (22)

Из (22) следует, что область  является областью притяжения корня

Прямыеи  являются пограничными линиями.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник КГНУ. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190–200.
2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. – М.: Издательство МГУ, 1978. – 106 с.
3. Иманалиев М.И., Панков П.С. Явление вращающегося пограничного слоя в теории сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Доклады АН СССР. – 1986. – Т. 289. – № 3. – C. 356–361.
4. Иманалиев М.И., Панков П.С. Явление всплеска для скалярных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений первого порядка // Изв. АН Кирг. ССР, сер. ф.-м. и техн наук. – 1987. – № 3. – С. 45–51.
5. Иманалиев М.И., Панков П.С. Явление удаляющегося пограничного слоя в теории сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. РАН. – 1993. – Т. 333. – № 5. – С. 575–577.
6. Каримов С.К. Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений»: дисс. … д-ра физ.-мат.наук: 01.01.02 / С.К. Каримов. – Ош, 1983. – 260 с.
7. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. – М.: Наука, 1975. – 248 с.
8. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях // Успехи мат.наук. – 1986. – Т. 41. – Вып. 4. – С. 295–299.
9. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. – 1957. – Т. 21. – № 5. – С. 605–626.
10. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных: мат. сб. – 1952. – Т. 31 (73), № 3. – C. 575–586.
11. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Докл. АН СССР. – 1973. – Т. 209. – № 3. – С. 576–579.