Статья опубликована в рамках: LVII Международной научно-практической конференции «Инновации в науке» (Россия, г. Новосибирск, 30 мая 2016 г.)

Наука: Математика

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции часть 1, Сборник статей конференции часть 2

Библиографическое описание:
Жораев А.Х. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СВЯЗНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ // Инновации в науке: сб. ст. по матер. LVII междунар. науч.-практ. конф. № 5(54). Часть I. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 145-149.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СВЯЗНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Жораев Адахамжан Хамитжанович

канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызско-Узбекского университета,

Кыргызская Республика, г. Ош

CONDITIONS OF EXISTENCE OF NON-HOMOGENEOUS LOCALLY CONNECTED TOPOLOGICAL SPACES

Adahаmzhan Zhoraev

candidate of Science, assistant professor of Kyrgyz-Uzbek University,

Kyrgyzstan, Osh

 

АННОТАЦИЯ

Найдены достаточные условия локальной неоднородности связных пространств в терминах существования непустых пересечений связных множеств (траекторий).

ABSTRACT

Sufficient conditions for local non-homogeneity of connected space in terms of non-empty intersections of connected sets (trajectories) are found.

 

Ключевые слова: связное пространство; топологическое пространство; неоднородное пространство, кинематическое пространство.

Keywords: connected space; topological space; non-homogeneous space, kinematical space.

 

  1. Общие определения и ранее доказанные результаты.

Известно понятие однородного пространства – множества X вместе с заданным на нем транзитивным действием некоторой группы G: задана такая группа G автоморфизмов g:XX, что для любых двух элементов x1, x2 X существует такое g12 G, что g12(x1)= x2. В этом случае любые два элемента (вместе с положением в пространстве в целом) неразличимы.

Различные обобщения этого понятия рассмотрены в [5]. Все они связаны с различными преобразованиями пространства в целом. Поэтому в [2] предложены более общие понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если две точки топологического пространства имеют гомеоморфные окрестности, то они называются локально однородными.

Соответственно, в [4] предложено

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если хотя бы две точки x1X, x2X не являются локально однородными, то пространство X в целом называется локально неоднородным.

Достаточные условия локальной неоднородности получены в [3; 4] на языке кинематических пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. [1]. Кинематическим пространством называется множество G точек и множество K маршрутов. Каждый маршрут M состоит из числа TM >0 (время маршрута) и функции mM : [0, TM] G (траектория маршрута). Выполняются следующие свойства.

(K1) Для любых различных z0 и z1 существует такое MK, что mM(0) = z0 и mM(TM) = z1, и множество значений TMдля таких M ограничено снизу положительным числом {передвижение между любыми точками возможно, но сколь угодно быстрое передвижение невозможно}.

(K2) Если M= {TM, mM(t)} K, то {TM, mM(TM- t)} также принадлежит K {движение в обратном направлении}.

(K3) Если M= {TM, mM(t)} K и T* (0, TM), то пара: T* и функция m*(t)=mM(t) ( 0 t T*) также принадлежит K {можно остановиться в любой момент}.

(K4) Если {T1, m1(t)} K, {T2, m2(t)} K и m1(T1)=m2(0), то пара:

число T* = T1 + T2 и функция

m*(t)= m1(t) ( 0 t < T1); m*(t)= m2(t-T1) ( T1 t T1+T2)

также принадлежит K {транзитивность}.

Для любой функции – траектории маршрута mM : [0, TM] G множество ее значений естественно называть линией.

Кинематическое пространство является линейно связным (без изолированных точек) метрическим топологическим пространством с метрикой

rK (z0 , z1) = inf {TM :M K, mM(0) = z0 и mM(TM) = z1 }.

Условия существования локально неоднородных кинематических пространств были найдены в [4; 6].

Пусть Х – линейно связное множество на плоскости R2, маршруты – непрерывные отображения m отрезков в Х такие, что

||m(x1)m(x2)||≤ || x1x2||.                                              (1)

Тогда Х – кинематическое пространство.

ТЕОРЕМА 1. [4]. Если 1) внутренность множества Х не пуста; 2) в кинематическом пространстве Х существуют такие точки A, B, C, D, и такая линия [AC], что любая линия [BD] имеет хотя бы одну общую точку с этой линией, то Х не является открытым множеством в R2. Таким образом, Х является локально неоднородным кинематическим пространством.

В [6] этот результат обобщен на многомерный случай:

ТЕОРЕМА 2. Если в кинематическом пространстве Х 1) существует точка, имеющая окрестность, изометричную шару в Rn; 2) существуют такие точки A, B, C, D, и такая линия [AC], что любая линия [BD] имеет хотя бы одну общую точку с этой линией, то Х является локально неоднородным кинематическим пространством.

  1. Основной результат.

Поскольку подмножество кинематического пространства, даже связное, может не быть кинематическим пространством, понятие локальной связности нуждается в уточнении.

Докажем:

ТЕОРЕМА 3. Если в кинематическом пространстве Х 1) существует точка D, что для шаровой окрестности Sr(D) множество Sr(D)\{D} является кинемати-ческим пространством для любого радиуса r>0; 2) существуют такие различные точки A, B, C, что любая линия [AC] проходит через точку B, то Х является локально неоднородным пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Sr(B)\{B} является кинематическим пространством для любого r>0.

Выберем r<min{r(A, B), r(C,B)}, тогда ASr(B), CSr(B). Пусть E – первая точка пересечения линии [AB] с Sr(B), F – последняя точка пересечения линии [BС] с Sr(B). Поскольку Sr(B)\{B} – кинематическое пространство, существует линия [EF]Sr(B)\{B}. Следовательно, [AEFC] – линия, не проходящая через B, что противоречит условию. Теорема доказана.

Более обшая

ТЕОРЕМА 4. Если 1) выполняется условие 1) Теоремы 3; 2) существуют такие различные точки A, B1, B2,…, Bn,C, что любая линия [AC] проходит хотя бы через одну из точек B1, B2,…, Bn, то Х является локально неоднородным пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Sr(Bk)\{Bk} – кинематические пространства для любых k=1..n, r>0.

Выберем

r < min{min{min{r(A,Bk), r(C,Bk)}: k=1..n}, min{r( Bk, Bj): k,j=1..n; k¹ j}/2},

тогда множества {A}, Sr(Bk), k=1..n, {C} попарно не пересекаются. Предположим, что траектория [AС] проходит через точку B1. Пусть E – первая точка пересечения линии [AB1] с Sr(B1), F – последняя точка пересечения линии [B1С] с Sr(B1). Поскольку Sr(B1)\{B1} – кинематическое пространство, существует линия [EF]Sr(B1)\{B1}. Следовательно, [AEFC] – линия, не проходящая через B1. Продолжая этот процесс, получим траекторию, не проходящую ни через одну из точек Bk, что противоречит условию. Теорема доказана.

Аналогично доказываются.

ТЕОРЕМА 5. Если в отделимом связном топологическом пространстве Х 1) существует точка D, имеющая такую базу окрестностей {S(D)}, что множества {S(D)\{D}} являются связными; 2) существуют такие различные точки A, B, C, что любое связное множество, содержащее точки A и C, содержит также точку B, то Х является локально неоднородным пространством.

ТЕОРЕМА 6. Если в отделимом связном топологическом пространстве Х 1) выполняется условие 1) Теоремы 5; 2) существуют такие различные точки A, B1, B2,…, Bn,C, что любое связное множество, содержащее точки A и C, содержит также хотя бы одну из точек B1, B2,…, Bn, то Х является локально неоднородным пространством.

 

Список литературы:

  1. Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. – Бишкек: Кыргызский государственный национальный университет, 1999. – 131 с.
  2. Борубаев А.А., Панков П.С. Распознаваемость размеченных топологических пространств // Вестник Кыргызского национального университета. – 2007. – Серия 3, выпуск 4. – С. 5–8.
  3. Жораев А.Х. Кинематическое построение и исследование топологических пространств. – Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. – Бишкек, 2012. – 16 с.
  4. Жораев А.Х. Условия существования неоднородных кинематических пространств // Вестник Международного Университета Кыргызстана. – № 1(27). – 2015. – С. 45–47.
  5. Hart K.P., Nagata J.-I., Vaughan J.E. Encyclopedia of General Topology. Elsevier Science Ltd, 2004. – h4 Homogeneous Spaces. – P. 376–378.
  6. Zhoraev A. Conditions of existence of multidimensional locally non-homo-geneous kinematical spaces // Abstracts of the Issyk-Kul International Mathematical Forum. – Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2015. – P. 22.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий