МАГНИТОУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТОКОНЕСУЩЕЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ ОРТОТРОПИИ ПРОВОДЯЩИХ СВОЙСТВ

MAGNETOELASTIC DEFORMATION OF THE CURRENT CARRYING SHELLS WITH THE ORTHOTROPY OF CONDUCTIVE PROPERTIES

Ravshan Indiaminov

doctor of physical and mathematical sciences, professor Samarkand branch of Tashkent University of Information Technologies,

Uzbekistan, Samarkand

Sharof Bobanazarov

associate professor Tashkent Institute of the Irrigation and Melioration,

Uzbekistan, Tashkent

Mavlanov Sobirjon

assistant Tashkent Institute of the Irrigation and Melioration,

Uzbekistan, Tashkent

АННОТАЦИЯ

В данной работе на примере гибкой токонесущей ортотропной конической оболочки, находящейся в магнитном поле, исследуется влияние учета внешнего магнитного поля при определении напряженно-деформированного состояния токонесущих ортотропных оболочек в геометрически нелинейной постановке. Показано, что с изменением внешней нормальной составляющей магнитной индукции, происходит существенное изменение напряженного состояния оболочки и ее электромагнитного поля.

ABSTRACT

Nonlinear deformation of current-carrying orthotropic shells in the magnetic field is studied in ax symmetric statement. Consideration of nonlinearity is studied for its effect when research of influence of external magnetic induction on intense the determining stressed state of current-carrying orthotropic shells. It is shown that with a change in the normal component of the external magnetic induction, there is a significant change in the stress state of the shell and its electromagnetic field.

Ключевые слова: оболочка, магнитное поле, магнитоупругость.

Keywords: shell, magnetic field, magneto elasticity.

Введение. В механике сопряженных полей важное место занимают вопросы изучения движения сплошной среды с учетом электромагнитных эффектов. Исследования по механике связанных полей в деформируемых телах имеют как фундаментальный, так и прикладной характер, что придает им особую актуальность. В современной технике используются конструкционные материалы, которые в недеформированном состоянии являются анизотропными, причем анизотропия свойств таких материалов возникает в результате применения различных технологических процессов. В последнее время созданы анизотропные материалы с новыми электромагнитными свойствами. Эти материалы могут быть эффективно использованы в различных областях современной техники. Механизм взаимодействия упругой среды с электромагнитным полем разнообразен и обусловлен геометрическими характеристиками и физическими свойствами рассматриваемого тела. В частности, этот механизм получает некоторые специфические особенности, когда рассматриваем проблемы относительно тонких пластин и оболочек, обладающих ортотропной электропроводностью.

Нелинейная постановка задачи. Будем рассматривать гибкие токонесущие конические оболочки переменной вдоль меридиана толщины, находящихся под действием нестационарных электромагнитных и механических полей. Пренебрегая влиянием процессов поляризации и намагничивания, а также температурными напряжениями считаем, что к торцу оболочку подводится переменный электрический ток от внешнего источника. Предполагается, что сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по телу (плотность тока не зависит от координат). Упругие свойства материала оболочки считаются ортотропными, главные направления, упругости которого совпадают с направлениями соответствующих координатных линий, электромагнитные же свойства материала характеризуются тензорами электрической проводимости , магнитной проницаемости , диэлектрической проницаемости . При этом, исходя из кристаллофизики, для рассматриваемого класса проводящих ортотропных сред с ромбической кристаллической структурой считаем, что тензоры ,  и  принимают диагональный вид.

В этом случае произвольная поверхность второго порядка обладает тремя взаимно перпендикулярными осями второго порядка и можно расположить эти оси параллельно кристаллографическим осям второго порядка, а также характеристическая поверхность второго порядка обладает всеми элементами симметрии, которые могут быть у классов орторомбической системы.

Предположим, что геометрические и механические характеристики тела таковы, что для описания процесса деформирования применим вариант геометрически нелинейной теории тонких оболочек в квадратичном приближении. Также предполагаем, что относительно напряженности электрического поля  и напряженности магнитного поля  выполняются электромагнитные гипотезы [1].

Координатную поверхность в недеформированном состоянии отнесем к криволинейной ортогональной системе координат  и , где  длина дуги образующей (меридиана), отсчитываемая от некоторой фиксированной точки,  центральный угол в параллельном круге, отсчитываемый от выбранной плоскости. Координатные линии  и  являются линиями главных кривизн координатной поверхности. Выбирая координату  по нормали к координатной поверхности вращения, относим оболочки к координатной пространственной системе координат . Предполагаем, что на поверхности конической оболочки известен вектор магнитной индукции, а также поверхностные механические силы.

При получении разрешающей системы в нормальной форме Коши выберем в качестве основных функций . Выбрав именно эти функции, в дальнейшем можно выбирать различные комбинации закрепления конуса. Предполагаем, что все компоненты возбужденного электромагнитного поля и поля перемещений входящие в уравнения задачи магнитоупругости не зависит от координаты , а также считаем, что упругие и электро-магнито-механические характеристики материала оболочки не изменяются вдоль параллели.

После некоторых преобразований [2] получаем полную систему нелинейных дифференциальных уравнений магнитоупругости в форме Коши, которая описывает напряженно-деформированное состояние токонесущей ортотропной конической оболочки при нестационарном воздействии механического и магнитного полей:

 (2)

В соотношениях (2) использованы общепринятые в теории оболочек и теории электромагнитоупругости обозначения.

Разработанный методики к численному решению новых класс связанных задач магнитоупругости теории ортотропных конических оболочек вращения обладающей ортотропной электропроводностью, основан на последовательном применении конечноразностной схемы Ньюмарка, метода линеаризации и дискретной ортогонализации [1–2].

В качестве примера рассматриваем нелинейное поведение ортотропной токонесущей конической оболочки переменной толщины м.

Считаем, что оболочка из бериллия находится под воздействием механической силы , стороннего электрического тока  и внешнего магнитного поля , а также что оболочка имеет конечную ортотропную электропроводность .

Сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по оболочке, т. е. плотность стороннего тока не зависит от координат. В этом случае на оболочку действует комбинированное нагружение, состоящее из пондеромоторной силы Лоренца и механической силы.

Исследуем поведение ортотропной оболочки в зависимости от изменения внешней нормальной составляющей магнитной индукции .

Задача для ортотропного конуса из бериллия переменной толщины м рассчитана под действием нормальной составляющей магнитной индукции , которая изменяется следующим образом (8 вариантов): .

Граничные условия:

  Параметры оболочки и материала принимаем следующими:

, , м, , ,

, , , ,

,  ,

, , , ,

,  

Решение задачи определено на интервале времени , шаг интегрирования по времени выбирался равным . Максимальные значения получены при шаге по времени . Отметим, что в рассматриваемом случае анизотропия удельного электрического сопротивления бериллия равно .

На рис. 1 и 2 приведены изменения напряжений  и по внешней и внутренней поверхностях оболочки в зависимости от изменения внешней магнитной индукции при  и .

Рисунок 1. Изменение напряжений  по внешней поверхности оболочки в зависимости от изменения внешней магнитной индукции при  и  для всех вариантов изменения

Рисунок 2. Изменение напряжений по внутренней поверхности оболочки в зависимости от изменения внешней магнитной индукции при  и  для всех вариантов изменения

Выявлено, что с увеличением значения внешней магнитной индукции напряжения на внешней поверхности оболочки меняется в зависимости от изменения направления пондеромоторной силы Лоренца и взаимовлияния с механической нагрузкой.

В рассмотренном случае напряжения на внешней поверхности оболочки достигает своего максимального значения при .

Из рис. 2 следует, что с увеличением значения внешней магнитной индукции напряжения по внутренней поверхности оболочки увеличивается.

В работе, подробно проанализировано влияние внешней магнитной индукции на напряженное состояние ортотропной оболочки в геометрически нелинейной постановке.

Полученные результаты не противоречат механическому и физическому представлению процесса, происходящих в оболочке, находящейся под воздействием электромагнитных и механических полей.

Список литературы:

1. Индиаминов Р.Ш. Об отсутствии влияния тангенциальной составляющей силы Лоренца на осесимметричное напряженное состояние токонесущей конической оболочки // Вычислительные технологии. – Новосибирск, 2008. – № 6 (13). – С. 66–78.

2. Mol`chenko L.V., I.I. Loss., R.SH. Indiaminov. Determining the Stress State of Flexible Orthotropic Shells of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – New York, 2008. – Vol. 44. – № 8. – P. 882–891.