ОПИСАНИЕ ГРУППЫ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ГРУППОВОГО КОЛЬЦА ГРУППЫ ФРОБЕНИУСА F_(13,6,4)

A DESCRIPTION OF THE GROUP OF CENTRAL UNITS OF INTEGRAL GROUP RINGS OF FROBENIUS GROUPS

Ekaterina Shumakova

candidate of science(fiz.-mat), associate Professor of Chelyabinsk state pedagogical University,

Russia, Chelyabinsk

АННОТАЦИЯ

В данной работе построена группа центральных единиц целочисленного группового кольца для группы Фробениуса .

ABSTRACT

In this work we find a group of central units of integral group rings of Frobenius group .

Ключевые слова: группа Фробениуса, метациклическая группа, центральные единицы, целочисленные групповые кольца.

Keywords: Frobenius group, metacyclic group, central units, integral group rings.

Классической темой исследований по алгебре является изучение групповых колец, в частности их групп единиц. В 1940 году была опубликована статья Хигмана “Theunitsofgrouprings», результаты которой определили дальнейшее развитие теории единиц групповых колец.

Усилиями Р.Ж. Алеева и его учеников [1; 2; 5] были исследованы группы центральных единиц для некоторых неразрешимых групп, такихкак,  и т. д. С другой стороны, в работе [11] рассматриваются группы центральных единицконечных нильпотентных групп. В работах [7; 8] для натуральных рассматриваются: группы диэдра, обобщенные группы кватернионов , обобщенные полудиэдральные группы . Эти группы в случае, когда n не является степенью 2, являются разрешимыми ненильпотентными группами.

Введем основные обозначения. Пусть G – конечная группа. Тогда: - целочисленное групповое кольцо группы G, – центр кольца ZG, – группа центральных единиц (обратимыхэлементов центра) кольца , – классовая сумма в целочисленном групповом кольце G класса сопряженности .  – метациклическая группа Фробениуса порядка mn с ядромпорядка m и дополнениемпорядка nи .

В работе [10] в теореме 3 получена формула для вычисления ранга группы центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса. Следствия 1–3 [10] подробно рассматривают случай с простым m и рангом, равным 0 и 1.

В теореме 2 из [9] построена группа центральных единиц целочисленного группового кольца для группы Фробениуса , подробное описание дано в работе [6, глава 3.2]. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы имеет вид:  где .

Рассмотрим группу центральных единиц целочисленного группового кольца метациклической группы Фробениуса .

Теорема. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы  имеет вид:

где .

Доказательство.

1. Перечислим классы сопряженных элементов группы , :   

Покажем, что таблица характеров группы  имеет вид:  .

Из теоремы (47.8) и следствия (47.15) в [4] следует, что существует 6 линейных представления и 2 представления степени 6; причем

,  где

Так как то осталось вычислить значения  Обозначим  Заметим, что

По первому соотношению ортогональности [3, 2А4] получаем:

.

Отсюда при указанном  возможно лишь .

2. Будем изучать группу центральных единиц целочисленных групповых колец группы . Рассмотрим два упорядоченных базиса для центра комплексной групповой алгебры ℂ:
1. из классовых сумм 
2. из минимальных центральных идемпотентов .

Пусть  и  – матрицы перехода между базисами, т. е.

 и

По формулам 33.9 и 33.11 [4] и таблице характеров получаем:

3. по теореме 3 [10] группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы имеет вид: .

Пусть , где коэффициенты  целые, а  являются обратимыми элементами колец целых соответствующих полей характеров [1, теорема 3.13]. По формулам 33.9 и 33.11 [4] получаем системы уравнений:

 и

По лемме 1.48 [1] , , а значит  и  Далее из (1):

                (2)

.                (3)

Из (1) и (2) получим

                (4)

 тогда из (4):

         (5)

Cравним  из (3) и (5): , получим . А значит  и тогда  и

Из формул (2) и (3) , а из (1)

, тогда  и тогда

Так как  и  алгебраически сопряжены, то , значит  и

Поскольку , то из (1) получим  причем .

Так как  и  алгебраически сопряжены, то , т.е . Кроме того, . Наименьшее натуральное решение уравнения , не приводящее к тривиальному u, . Тогда  

Итак,

.

Список литературы:

1. Алеев Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дис. … доктора физ.-мат. наук. – Челябинск. – 2000. – 355 с.
2. Алеев Р.Ж, Митина О.В. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL₂(q), где q нечетно// Сиб. электронные мат. Известия. – 2008. – Т. 5. – С. 652–672.
3. Белоногов В.А. Представления и характеры в теории конечных групп. – Свердловск, 1990. – 378 с.
4. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.: Наука, 1969. – 668 с.
5. Митина О.В. Уравнение Пелля и центральные единицы целочисленных групповых колец групп PGL₂(q), где q нечетно // Труды ИММ УрО РАН. – 2008. – Т. 4 № 14. – С. 135–142.
6. Шумакова Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных разрешимых групп: дис. … канд. физ.-мат. наук. – Челябинск. – 2009. – 78 с.
7. Шумакова Е.О. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп диэдра // Ред. ЧГПУ деп. ВИНИТИ, № 1753-В2005, 27.12.2005. – 27 с.
8. Шумакова Е.О. Центральные единицы целочисленных групповых колец диэдральных и близких к ним групп // Труды ИММ УрО РАН. – 2008. – Т. 4 № 14. – С. 172–184.
9. Шумакова Е.О. Центральные единицы целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 39-й Всерос. молодежной конференции. – Екатеринбург. – 2008. – С. 51–55.
10. Шумакова Е.О. Центральные единицы целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса // Сиб. электронные мат. известия. – 2008. – Т. 5. – С. 691–698.
11. Jespers E., Parmenter M.M., Sehga S.K. Central units of integral group rings of nilpotent groups // Proc. Amer. Math. Soc., 1996, V. 124, № 4, С. 1007–1012.