ВЕТВЛЕНИЕ В ЗАДАННЫХ ТОЧКАХ ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

BRANCHING AT GIVEN POINTS OF BOUNDARY-LAYER LINES OF SOLUTIONS OF SINGULARLY PERTURBED DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH POLYNOMIAL COEEFICIENT

Kushtarbek Tampagarov

candidate of phys.-math. sciences, director of Kochkor-Ata technical college,

Kyrgyzstan, Kochkor-Ata

АННОТАЦИЯ

Доказана следующая теорема. Для любого конечного набора точек на комплексной плоскости существует такая начальная задача для сингулярно возмущенного линейного обыкновенного дифференциального уравнения с полиномиальным коэффициентом, что ее решение имеет погранслойные линии, для которых заданные точки являются точками ветвления.

ABSTRACT

The following theorem is proven. For any finite set of points on the complex plane there exists such initial value problem for singularly perturbed linear differential equation with polynomial coefficient with initial condition that its solution has boundary-layer lines branching at these points.

Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение, аналитическая функция, сингулярное возмущение, погранслойная линия, многочлен, ветвление.

Keywords: ordinary differential equation, analytical function, singular perturbation, boundary-layer line, polynomial, branching.

Введение

Мы будем использовать следующие обозначения:

R=(-¥,¥), R₊=[0,¥); С – комплексная плоскость, С₁= {q Î С, |q|=1};

( )* – комплексное сопряжение;

Q(G) – пространство аналитических функций в области G Ì С.

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение c малым положительным вещественным параметром e при производной

e z’(t,e)= a(t) z(t,e), zÎWÌ С,                                (1)

с начальным условием

z(t₀,e)= z₀,                                                             (2)

где: W – односвязная область, t₀ – ее внутренняя точка, z₀ÎС, z₀¹ 0, a(t) – ненулевой многочлен.

Известно, что свойства решений дифференциальных уравнений в комплексной плоскости связаны с линиями, на которых некоторые вещественнозначные функции сохраняют свои значения – «линии уровня», см. например [1], а также с линиями, на которых вещественные части некоторых выражений обращаются в нуль, такие линии имеют общее название «линии Стокса».

В [2] получены условия для возникновения на плоскости С «линии Стокса», разделяющей области с различной асимптотикой решения начальной задачи вида (1) – (2) в форме петли, названной авторами «простирающимся пограничным слоем», по аналогии с этим термином для сингулярно возмущенных уравнений на R₊. В [3] показано, что такие линии естественно возникают для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями, также предложено называть их более кратко-погранслойными линиями. В дальнейшем исследовались свойства таких линий.

В данной статье доказано, что точки ветвления таких линий могут возникать в любых заданных местах.

1.  Определения и результаты, используемые в настоящей статье

Определение 1. Если решение задачи (1) – (2) z(t₁,e) ограничено при e ® 0, то точка t₁ называется регулярной для задачи, в противном случае – нерегулярной.

Определение 2. Точка, в любой окрестности которой существуют как регулярные, так и нерегулярные точки, называется погранслойной точкой.

Определение 3. Любое множество регулярных (погранслойных) точек называется регулярным (погранслойным) множеством. Погранслойное множество, являющееся непрерывным, локально взаимно-однозначным образом отрезка, называется погранслойной линией.

Определение 4. Для погранслойной точки t₁Î С число q Î С₁ называется погранслойным направлением, если для любого малого s >0 существует такое малое d>0, что множество {t Î С | |Arg(t- t₁) - Argq | <s, | t- t₁| =d } содержит погранслойные точки.

Определение 5. Если в погранслойной точке имеется более двух погранслойных направлений, то она называется точкой ветвления.

Замены t_w (s)= t₀+w s, w Î С₁, sÎR₊ , W_w (s,e) = z(t_w (s),e), A_w (s)= a(t_w (s)) дают уравнение:

e W_w’(s,e)=w (A_w (s) W(s,e)+ F_w (s))             (3)

с начальным условием

W(0,e)= z₀.                                                  (4)

В силу свойств аналитических функций, существует такое целое неотрицательное n, что

a(t)=(t- t₀)ⁿa_n(t), a_n(t) Î Q (W), a_n(t₀) ¹ 0.             (5)

Уравнение (3) принимает вид

e W_w’(s,e)= w ⁿ⁺¹a_n(t₀+w s) sⁿ W(s,e), sÎR₊ .          (6)

С выбором w=w₀ так, чтобы было

Re(w₀ ⁿ⁺¹a_n(t₀)) = 0,                                                        (7)

получается погранслойное направление. Это можно сделать самое меньшее двумя способами, а при n>0 – (2n+2) способами.

В [4] доказана

Теорема 1. Для любого набора различных ненулевых точек {t_k: k=1.. n }, n ³1, существует такой многочлен a(t), что погранслойные линии решения задачи (1) – (2) проходят через все эти точки.

Для доказательства использована формула для многочлена Лагранжа: построен такой ненулевой многочлен B_n(t) (степени n), чтобы было B_n(0)=0, Re B_n(t_k)= 0, k=1.. n:

          (8)

где: b_k – произвольные ненулевые вещественные числа; тогда B_n(t_k)=ib_k.

При a(t)= B_n¢(t) решение задачи (1)-(2) записывается в виде

2.  Построение обобщенных многочленов Лагранжа

Далее нам понадобится следующее обобщение многочлена Лагранжа.

Теорема 2. Для любого набора различных точек {t_k: k=1.. n }, n ³2, чисел {a_k: k=1.. n }, {b_k: k=1.. n } существует такой многочлен D_n(t), что D_n(t_k)= a_k, D_n¢(t_k)= b_k, k=1.. n.

Доказательство. Для этого нужно найти такие многочлены L_0k(t), L_1k(t), что (с использованием обозначения символа Кронекера)

L_0k(t_j)=d _jk , L_0k¢(t_j)=0; L_1k(t_j)=0, L_1k¢(t_j)= d _jk;j=1..k.                (9)

Для построения этих многочленов используем многочлен – квадрат компоненты многочлена Лагранжа:

Также обозначим

Имеем: P_k(t_j)= d _jk ;P_k¢(t)= 2S_k (t) P_k(t) .

Положим L_0k(t):= P_k(t)(1-2(t- t_k) S_k(t_k)).

Тогда получаем: L_0k(t_k)= P_k(t_k)(1-2(t_k - t_k) S_k(t_k))= P_k(t_k)=1;

при j¹k будет P_k(t_j)=0 и L_0k(t_j)=0.

Далее L_0k¢(t)= P_k(t)( -2S_k(t_k))+ 2S_k (t) P_k(t)(1-2(t- t_k) S_k(t_k))=

= 2P_k(t)(S_k (t) (1-2(t- t_k) S_k(t_k)) - S_k(t_k));

L_0k¢(t_j)= 2d _jk (S_k (t_j) (1-2(t_j- t_k) S_k(t_k)) - S_k(t_k)).

При j=k выражение в скобке равно нулю.

Также положим: L_1k (t): =(t- t_k) P_k(t). Очевидно, что при t= t_j будет L_1k(t_j)=0. Далее L_1k¢(t)= P_k(t) + 2S_k (t_k) P_k(t)(t- t_k).

L_1k¢(t_k)= P_k(t_k)=1. Очевидно, что при t= t_j ¹ t_k будет L_1k¢ (t_j)=0.

Условия (9) выполнены. Имеем:

Теорема доказана.

Приведем пример: n=3; t₁=0; t₂=1; t₃=2; a₁=0; a₂=2; a₃=0;

b₁=8; b₂=0; b₃=4.

3.  Основной результат

Теорема 3. Для любого набора различных ненулевых точек

{t_k: k=1.. n }, n ³1, существует такой многочлен a(t), что погранслойные линии решения задачи (1) – (2) проходят через все эти точки и во всех этих точках имеет место ветвление.

Доказательство. Используя Теорему 2, построим такой многочлен D_n+1(t), что D_n+1(t₀)=0, D_n+1¢(t₀)¹ 0, D_n+1(t_k)¹ 0,

Re D_n+1(t_k)= 0, D_n+1¢(t_k)= 0, k=1.. n,

и положим a(t)= D_n+1¢(t). Тогда получаем:

и имеет все указанные свойства.

Пример. t₀=0, n=1, t₁=2. Выберем z₀=1, D₂¢(0)=3, D₂(2)=5i.

Для проверки ветвления в точке t=2 сделаем замену t=2+s, где s – малое по модулю комплексное число.

Четыре направления ветвления определяются уравнением Re((6-15i)s²/4)=0.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник Кыргызского государственного национального университета. – Серия 3, Выпуск 6, 2001. – С. 190–200.
2. Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. Явление простирающегося пограничного слоя для сингулярно возмущенных уравнений при потере устойчивости // Вестник Жалал-Абадского государственного университета. – 2008, № 1. – С. 122–126.
3. Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.Б., Нарбаев М.Р. Явление погранслойных линий, и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник Ошского государственного университета, 2013. – № 1 (специальный выпуск). – C. 227–231.
4. Тампагаров К.Б. Свойства погранслойных линий решений сингулярно возмущенных линейных дифференциальных уравнений с полиномиальным коэффициентом // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIV Междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 106–112.