УПРОЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ КАВИТАЦИОННОГО ПУЗЫРЯ В ИДЕАЛЬНОЙ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ЗАКРУГЛЕННОЙ НОСОВОЙ ЧАСТИ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ

При работе лопастных механизмов, таких как гидравлические насосы, гребные винты, гидравлические турбины, наступление кавитации влечет за собой изменение характера течения, приводящее к уменьшению КПД и тяги, рассогласованию между рабочими механизмами и приводными машинами (двигателями).

Также схлопывание кавитационных пузырей  влечет за собой:

- Кавитационную эрозию, разрушающую рабочие поверхности насосов, винтов и турбин и заключающуюся в импульсном воздействии высокого давления, создаваемого схлопывающимся кавитационным пузырьком, на рабочую поверхность механизма.

- Сосредоточение энергии окружающей жидкости в очень небольших объёмах. Тем самым, образуются места повышенной температуры и возникают ударные волны, которые являются источниками шума. Шум, создаваемый кавитацией, является особой проблемой на подводных лодках, так как снижает их скрытность.

Для понимания всего многообразия процессов, протекающих при кавитации ансамбля пузырьков, задача о сжатии отдельного одиночного пузырька имеет фундаментальное значение, что продемонстрировал еще Рэлей своим классическим решением задачи о коллапсе одиночной сферической каверны [4]. Его решение, несмотря на простоту постановки задачи, позволило определить первопричину эрозии вследствие кавитации -резкое и значительное по величине изменение давления в локальной области жидкости. После этого активно стали изучаться процессы, сопровождающие  сжатие одиночного пузырька. При проведении эксперимента, прямые измерения параметров коллапсирующих пузырьков, оказываются крайне затруднительными. Исходя из этого, наиболее перспективным инструментом для решения подобных задач являются расчетно-теоретические исследования и математические модели.

В данной работе рассматривается упрощенная математическая модель динамики парового кавитационного пузырька при его движении по линии тока течения в непосредственной близости от закругленной передней кромки крылового профиля относительно малой толщины δ. В качестве крылового профиля рассматривается эллипс с малой осью равной 2δ (Рис1.).Для рассмотрения области вблизи кромки вводим растянутые переменные.

Рисунок 1. Спектр обтекания закругленной передней кромки

Из решения задачи обтекания полубесконечной параболы (предполагая, что при рассмотрении искомой области, линия тока движения кавитационного пузырька совпадает с контуром параболы) следует выражение для скорости потока идеальной несжимаемой жидкости на верхней поверхности параболы:

α  - угол атаки, X-растянутая абсцисса

Для получения коэффициента давления вне пузырька p(X), предположим, что пузырек, возникший точке минимального давления при достижении скорости начала кавитации, в дальнейшем движется по линии тока, непосредственно примыкающей к профилю. Тогда с учетом (1) запишем:

 для эллипса

Найдем время t, за которое пузырек пройдет по дуге:

Чтобы получить зависимость размерного давления от времени P(t) нужно также учесть скорость набегающего потока :

Для рассмотрения динамики пузырька используем упрощенное (без учета сил поверхностного натяжения и газосодержания) уравнение Релея-Плесетта [1]:

где R=R(t)-радиус пузырька, t-время.

Предполагается, что давление вне пузырька всегда оказывается равным давлению в соответствующей точке линии тока.

Для решения этого уравнения используем RandModelDesigner6.2.36.- среду для создания и отладки интерактивных многокомпонентных моделей сложных динамических систем. В качестве начальных условий рассмотрим:

Изначально способ решения был опробован на частном случае уравнения (4) при постоянном давлении P(t)=const, полученные данные совпали с результатами, приведенными в статье [3], что говорит о возможности его применения для более сложных случаев.

В работе рассмотрен случай решения данного уравнения с переменным полем давления и исходными параметрами; . Используя приведенные ранее формулы(1) и (2) нетрудно найти параметрические зависимости времени и коэффициента давления от растянутой абсциссы, однако нам нужна еще зависимость P(t). Для ее получения используется среднеквадратичная аппроксимация по точкам, полученным из параметрической зависимости. Теперь мы имеем все данные и параметры для решения уравнения (4).

При решении уравнения рассматриваются два пузырька с начальными радиусами  и . Для них получены значения времени коллапса  и . Величины, изменение на которые привело к схлопыванию пузырьков, составляют порядка 2397Па для первого и 13846Па для второго. Результаты изучения зависимости радиуса пузырька от времени R(t) изображены на Рис 2. и Рис 3.

Рисунок 2. Зависимость радиуса парового сферического пузырька от времени при

Рисунок 3. Зависимость радиуса парового сферического пузырька от времени при

При учете влияния поверхностного натяжения и вязкости изложенное моделирование можно распространить на случай нестационарного обтекания.

Список литературы:

1. Рождественский В.В. Кавитация.: Судостроение,1977г.-246c.
2. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла.: Судостроение,1979г.- 205 c.
3. Stefan C. Mancas, Haret C. Rosu. Cavitation of spherical bubbles: closed-form, parametric, and numerical solutions.: 2015г. [электронный ресурс] — Режим доступа.—URL: https://www.researchgate.net/publication/280772989_Cavitation_of_spherical_bubbles_closed-form_parametric_and_numerical_solutions(дата обращения 08.06.2016)
4. Rayleigh Lord. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity: Physical Magazine, 1917. Vol. 34, № 200. P. 94-98.