МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ В НЕЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

В настоящее время одной из активно развиваемых и востребованных областей деятельности человека является космическая отрасль. Изучение состояния Земли, посредством съемок с орбиты, мониторинг верхних слоев атмосферы, обеспечение спутниковой связи и телевидения – все это осуществимо благодаря космическим летательным аппаратам, вращающимся вокруг Земли. А математическое моделирование – удобнейший инструмент, позволяющий без значительных затрат средств и времени предсказать поведение летательного аппарата, и продемонстрировать его реакцию на изменение исходных условий движения.

В данной работе происходит моделирование движения космической тросовой системы (КТС) — комплекса искусственных космических объектов (спутников, кораблей, грузов), соединенных длинными тонкими гибкими элементами (тросами, кабелями, шлангами), совершающий орбитальный полет. В наиболее простом виде КТС — это связка двух космических аппаратов (в данной работе – космический аппарат (КА) и спускаемая капсула (СК)), соединенных тросом длиной в десятки или даже сотни километров [3].

Уравнения движения КТС представляют собой совокупность уравнений движения центров масс КА и СК, движения относительно центра масс, а также уравнения, описывающие работу механизма управления развёртыванием троса.

Для вывода уравнений движения требуется определить возмущающие силы. При движении космической тросовой системы в гравитационном поле Земли возмущающими силами являются: аэродинамические силы, действующие как на трос, так и на концевые тела, а также силы связанные с нецентральностью гравитационного поля Земли.

Для составления уравнений движения центров масс концевых тел используется второй закон Ньютона, где в правой части уравнения добавляются слагаемые, связанные с действием внешних сил (1).

где К – гравитационный параметр Земли, r – радиус-вектор центра массы тела, а F – сумма внешних сил (силы упругости троса и гравитационной силы).

Уравнения вращательного движения описываются динамическими (2) и кинематическими (3) уравнениями Эйлера [2]:

где I_X, I_Y, I_Z – моменты инерции груза в главных связанных осях; w_i и ∑M_i (i = x,y,z) – проекции угловых скоростей вращения груза и действующих на него моментов на оси главной связанной системы координат; , ,  - углы Эйлера, определенные относительно связанной системы координат; ,  - момент от силы упругости троса.

Момент от силы упругости троса ( ) определяется из выражения  (4), где  - радиус-вектор точки крепления троса относительно центра масс концевого тела;  - сила упругости.

Для определения модуля силы упругости применяется односторонний закон Гука

                                     (5)

где   - расстояние между точками крепления троса на КА и на грузе,  - длина выпущенного из механизма троса,  - жесткость троса,  и  - модуль Юнга и площадь поперечного сечения троса.

Уравнения, описывающие работу механизма управления, записываются в виде

                                                            (6)

где  - управляющая сила в механизме развертывания,  - коэффициент, характеризующий инерционность механизма;  и  - коэффициенты обратной связи системы управления;  - скорость троса.

В работе рассматривается нецентральное гравитационное поле, гравитационный потенциал которого, определяется следующим образом:

                                             (7)

Для практических исследований гравитационный потенциал Земли, часто записывают с учётом только трёх составляющих гравитационного потенциала (7), в следующей форме [1]:

                     (8)

где

В ортогональной геоцентрической системе координат, гравитационные силы имеют вид:

                                                          (9)

Здесь - масса тела, движение которого исследуется.

Описанная выше математическая модель реализована в программном продукте, позволяющем проводить моделирование с учетом и без учета вращательного движения концевых тел, а также с учетом и без учета нецентральности гравитационного поля Земли. Результаты моделирования программа позволяет сохранять в виде таблицы (таблица 1).

Таблица 1.

Фрагмент таблицы результатов моделирования

На рисунке 1 приведен график изменения длины выпущенного троса и график изменения расстояния между КА и СК, в зависимости от времени.

Рисунок 1. График зависимости от времени длины выпущенного троса и расстояния между КА и СК.

Полученная математическая модель движения космической тросовой системы в нецентральном поле Земли, можем быть использована для расчёта траектории развёртывания КТС, и определения начальных условий дальнейшего спуска СК в плотных слоях атмосферы.

Список литературы:

1 Анучин О.Н., Комарова И.Э., Порфирьев Л.Ф. Бортовые системы навигации и ориентации искусственных спутников Земли. – СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ “Электроприбор”, 2004. – 326 c.

2 Заболотнов Ю.М., Наумов О.Н. Анализ пространственного вращательного движения концевого тела при развертывании орбитальной тросовой системы [Текст]/Ю.М. Заболотнов, О.Н. Наумов // Управление и навигация летательных аппаратов. – Самара. СГАУ, 2012 г. – С. 104-107

3 Осипов В.Г., Шошунов Н.Л. Космические тросовые системы: история и перспективы // Земля и Вселенная – 1998. - №4. [электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://epizodsspace.airbase.ru/bibl/ziv/1998/4/kos-tros-sis.html (дата обращения 17.05.2016)