ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Коммутацией называются внезапные изменения в схеме (включения» отключения, короткие замыкания, разрывы цепей и т.д.), в резуль­тате которых меняется режим работы схемы (токи и напряжения).

Процессы, происходящие в схеме после коммутации до установле­ния нового режима работы, называются переходными. Эти процессы возникают в результате аккумулирования энергии реактивными элемен­тами схемы (цепи) (индуктивностями и емкостями) или, наоборот, в результате расходования ранее аккумулированной энергии. Активные сопротивле­ния не возбуждают переходные режимы, а вызывают их затухание, так как преобразуют электромагнитную энергию в тепло и рассеивают его в окружающем пространстве.

При расчете переходных процессов определяющую роль играют за­коны коммутации, которые дают возможность установить начальные условия для вычисления постоянных интегрирования. Используются два закона (правила) коммутации;

Первый закон. При коммутации ток в индуктивности не может мгно­венно (скачкообразно) измениться, возникнуть или исчезнуть.

Второй закон. При коммутации напряжение на емкости не может мгновенно (скачкообразно) измениться, возникнуть или исчезнуть.

Первое правило коммутации. Величина тока, протекающая через индуктивности до коммутации, равна величине тока в индуктивности сразу после коммутации.

Второе правило коммутации. Величина напряжения на емкости до коммутации равна величине напряжения на емкости сразу после коммутации.

Операторный метод расчета переходных процессов.

Перед тем как приступить к решению самой задачи необходимо определить начальные условия, для этого нужно рассчитать параметры электрической цепи до момента коммутации. Полученные данные будут нужны в дальнейшем расчете. Следующим шагом будет составление системы  сопротивлении ровно  ,на индуктивном  , на емкостном  , то  будет составлена система интегрально-дифференциальных уравнений .Для решения операторным методом нужно составить операторную схему замещения после коммутации, составить систему дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс и перейти от оригиналов функций к их изображениям по Лапласу. Это возможно осуществить с помощью прямого преобразования Лапласа.

Пример перехода наиболее часто встречающихся оригиналов функции к изображениям по Лапласу:

После решения системы уравнений необходимо совершить обратное преобразование Лапласа по таблицам или применив теорему разложения.

Если в результате решения уравнений получается полином следующего вида

при условии того, что  возможно применение теоремы разложения, которую можно представить в следующем виде:

Где  - корни уравнения , то теорема разложения будет иметь следующий вид:

Так же можно воспользоваться таблицей переходов от изображений к оригиналам функций. В следующей таблице представлены наиболее часто встречающиеся изображения функций.

Таблица 1

Таблица обратного преобразования Лапласа.

Важно отметить, что в электротехнике в процессе решения уравнений всегда получается полином вида , удовлетворяющий условиям применения теоремы разложения, которая по сравнению с таблицей обратных преобразований, является более универсальной.

Приведем пример нахождения переходных процессов в электрической схеме операторным методом.

Рис.1. Исследуемая электрическая схема.

Определим начальные условия, для этого рассчитаем цепь в установившемся режиме до коммутации. Цепь питается от источника постоянного напряжения, поэтому в установившемся режиме индуктивность будет представлять собой обыкновенный проводник, то есть не представлять собой индуктивное сопротивление, а емкость на постоянном токе фактически играет разрыв цепи. Учитывая эти обстоятельства рассчитаем схему.

Рис.2. Электрическая схема до коммутации

Применим первый и второй закон коммутации:

Составим операторную схему замещения для цепи после коммутации.

Рис.3. Операторная схема замещения электрической цепи после коммутации

Составим систему уравнений для расчета цепи по методу непосредственного применения законов Кирхгофа.

Решим систему уравнений методом Крамера:

Так как по условиям задачи нам необходимо определить ток , найдем только общий и второй определитель.

Тогда искомый ток будет равен:

Для того что бы применить теорему разложения найдем корни уравнения

Так дискриминант отрицательный корни будут комплексно-сопряженные:

Воспользуемся теоремой разложения:

Подставив числовые данные и воспользовавшись формулой Эйлера  получим:

В данной статье был разобран операторный метод определения переходных процессов, на примере были представлены способы применения первого и второго правил коммутаций и применение операторного метода. Разобранная задача может служить примером нахождения переходных величин в аналогичных цепях.

Список литературы:

1. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: Учеб. Пособ. 7-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 592 с.
2. Бочев А.С. Теоретические основы электротехники: учеб. Пособие.,Издательство РГУПС, 2007.-382 с.
3. Зевеке Г.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975. – 752 с. с ил.