ПРИМЕНЕНИЕ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИЗНАШИВАНИЯ ПОРОШКОВЫХ ПОКРЫТИЙ

В последнее время в промышленности широко применяются методы порошковой металлургии. В частности, напылением получают порошковые покрытия для упрочнения различных компонентов узлов трения, структура которых состоит из большого количества сцепленных случайным образом частиц. Это обуславливает применение статистических и вероятностных методов описания изнашивания порошковых покрытий. В данной статье рассматривается применение Марковских цепей для расчета основных характеристик износа и изнашиваемой поверхности.

Порошковое покрытие будем представлять двумерной матрицей, каждая клетка которой заполнена частицей. Известно, что прочность сцепления частиц на порядок меньше прочности самой частицы. В основном это обусловлено наличием тонких оксидных пленок между тугоплавкими частицами и их слоями, возникающими в процессе напыления покрытия [1]. Поэтому будем считать, что при изнашивании порошкового покрытия частицы удаляются целиком. На начальном этапе моделирования с целью упрощения модели предположим, что удаление частиц по столбцам матрицы является независимым. Тогда для расчета основных характеристик износа и изнашиваемой поверхности (линейный износ, распределение линейного износа, шероховатость [2]) вместо всей матрицы, интерпретируемой как порошковое покрытие, достаточно рассматривать только один столбец. Удаление частиц в столбце будет происходить согласно матрице переходных вероятностей A[i, j] (таблица1), где

а_0, а_1, …, а_s,                                                                                               (1)

конечное распределение  вероятностей.

Таблица 1

Матрица переходных вероятностей A[i, j]

При этом начальное состояние поверхности материала задается распределением , что соответствует гладкой поверхности.

Распределение линейного износа после l испытаний определим рекуррентным соотношением

,                                                                                                   (2)

где – вектор длины n+1, l – число испытаний, n – число частиц в столбце.

Методом производящих функций можно вывести аналитическое выражение данного распределения вероятностей на l-ом испытании

.                                                               (3)

Здесь

 , где  - целые неотрицательные числа, такие что ;

;

;

s+1 – число вероятностей в распределении (1);

l – номер испытания;

k – номер позиции в векторе  (k=0,1,2..., n).

Таким образом, выражение (3) есть значение k-ой позиции в векторе x_l (n).

Полученное распределение имеет математическое ожидание

                                                                                                     (4)

и среднеквадратическое отклонение

Т.к. при установившемся износе за единицу времени удаляется в среднем одинаковое число частиц [2], а математическое ожидание Lq (4) есть линейная функция от l, то в качестве единицы измерения пути трения можно взять число испытаний l.

При s=1 формула (3) примет вид:

 ,                                                                                      (5)

известной, как биномиальное распределение с математическим ожиданием

и со среднеквадратическим отклонением

                                                                                                 (6)

Если же s=2, то формула (3) примет вид:

.

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение данного распределения соответственно равны:

                                                                          (7)

Результаты проведенных расчетов шероховатости Rq в зависимости от числа испытаний l (умножений матрицы) для:

1. биномиальной модели (s=1) при =0.57, a₁=0.43; 

2. полиномиальной модели (s=2) при , ,  , полученные нормировкой чисел 1, t, t², где      - нормировочный множитель равный 0.57;

представлены графиками на рис. 1.

Интуитивно ясно, что шероховатость по модели s=2, должна быть больше, чем шероховатость по биномиальной модели. Этому не противоречат графики 1 и 3, однако сравнение этих графиков при одинаковом количестве испытаний не правомерно, так как величина пути трения  (несмотря на то, что  у обоих моделей равны), соответствующая одному испытанию, для этих моделей разная. Сравнение графиков 1 и 4, рассчитанных с учетом равенства линейных износов, показывает, что различие между ними существенно сократилось, однако шероховатость Rq при s=2 также выше, чем шероховатость при s=1.

Рисунок 1. Зависимость шероховатости Rq от числа испытаний l (умножений матрицы) для биномиальных и полиномиальных моделей

1 - Rq биномиальная модель s=1, полученная по формуле (2);      

2 - Rq биномиальная модель s=1, рассчитанная по формуле (6);   

3 - Rq полиномиальная модель s=2, рассчитанная по формуле (7);

4 - Rq полиномиальная модель s=2, рассчитанная по формуле (7) с учетом равенства линейных износов с биномиальной моделью.

Отметим, что данная модель удовлетворительно описывает шероховатость Rq только в начальной стадии установившегося износа. Это связано с принятым упрощением, что удаление частиц по столбцам является независимым (не учитывается геометрия изнашиваемой поверхности). Для более адекватного описания изнашивания требуется усложнение модели.

Список литературы:

1. Тушинский Л.И., Плохов А.В., Токарев А.О., Синдеев В.И. Методы исследования материалов: Структура, свойства и процессы нанесения неорганических покрытий. – М.: Мир, 2004. – 384 с.
2. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. - 526 с.
3. Горицкий Ю.А., Главатских С.Б., Бражникова Ю.С. Марковская модель взаимодействия шероховатых поверхностей. // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2014. №2. - С.11-20.