МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГНОЗА ТЕПЛОТЫ СГОРАНИЯ УГЛЯ ПО ИЗМЕРЕННЫМ ДАННЫМ (НА ДОСТУПНОЙ ГРАНИЦЕ) МЕСТОРОЖДЕНИЯ (ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ)

Аннотация. В статье рассчитывается математическая модель, используемая для прогноза теплоты сгорания угля. Объектом исследования является вид угля в прямоугольной области.

В целях определения теплоемкости угля методом сеток была решена прямая задача. В последующем, используя математическую модель процесса переноса тепла, при помощи вспомогательной задачи была выведена коэффициентная обратная задача.

Ключевые слова: моделирование, математическая модель, теплота сгорания, коэффициентная обратная задача.

В целях определения теплоемкости угля на первом этапе решается прямая задача. В последующем, для вывода сопряженной задачи и итерационной формулы теплоемкости строится вспомогательная задача. Полученная сопряженная задача решается методом Томаса.

Имеется одномерное, нестационарное дифференциальное уравнение, которое описывает изменения температуры:

,                                                       (1)

 где, θ – функция двух независимых переменных,  теплоемкость угля, 1 – коэффициент теплопроводности.

Помимо этого уравнения, необходимо установить начальные и граничные условия. Начальное условие описывает распределение температурного поля при t=0 в начальном периоде времени, а граничные условия будут описывать информацию на границах угля (когда x=0 и x=H):

                                                               (2)

                                                               (3)

                                          (4)

где θ(t), T₁(t), T_B(t) – функции, α – коэффициент теплоотдачи.

У нас есть математическая модель, которая описывает изменение температуры , где  и .  (1) – (4) называется прямой задачей.

Введем двумерную систему координат, расположив независимую переменную x на ось x, а на вертикальной оси независимую переменную t и отметим на осях заданные интервалы переменных x и t. Разобьем интервал [0, H] на несколько равных частей и проведем от каждой точки разделительную линию, перпендикулярную оси x. Выполним те же шаги, чтобы изменить интервал другой независимой переменной. Построенные прямые составляют так называемую разностную сетку (рисунок 1). Точки на пересечении линий будут называться узлами разностной сетки, и каждая из них будет соответствовать определенным значениям независимых переменных r и t указанных интервалов: 

Рисунок 1. Разностная сетка

Введем следующие обозначения:

i – количество точек деления по оси х;

j – количество точек деления по оси t;

 – расстояние (шаг) между соседними точками по оси x;

 – расстояние (шаг) между соседними точками по оси t;

 – значение функции θ, соответствует точке t^j, xⁱ.

Введем нумерацию сетки разностей точек для каждой оси следующим образом: вдоль оси x - i = 0, 1, 2, ..., N; вдоль оси t - j = 0, 1, 2, ..., M.

Для решения прямой задачи мы будем использовать метод контрольного объема (метод балансов): для создания консервативных дифференциальных схем естественно исходить из законов сохранения (балансов) для отдельных ячеек дифференциальной сетки. Таким образом, мы берем интеграл двух частей уравнения (1) дважды, по r и t (интервал по x между [x_i-1/2, x_i+1/2], интервал по t между [t_j, t_j+1]):

Чтобы избежать непредвиденной ситуации, для точек пересечения двух разных слоев, мы вычислим значения температуры в промежуточных точках i, ± 1/2. Точки xⁱ + 1/2 и t^j + 1/2 будут определены следующим образом:

Чтобы убрать интеграл, мы будем использовать интерполяционные формулы, заменяя θ (x, t) приближенной сеткой-функцией Y_i^j. Формулы представляют собой явные разностные схемы:

Проинтегрировав левую часть ураения (1), сначала по  t=[t_j, t_j+1]  потом по  x=[x_i-1/2 , x_i+1/2]_, получаем следующее:

Таким же способом проинтегрируем правую часть уравнения, но, сначала по x=[x_i-1/2 , x_i+1/2] потом по t=[t_j ,t_j+1]:

На следующем этапе строим разностную схему, которая выглядит следующим образом:

Теперь функция температурного поля будет заменена сеткой:

,

где k – константа.

                                           (5)

Преобразуем все это в трехточечный вид:

                                   (6)

Перепишем (6) в более удобную форму для нашего дальнейшего решения, введя коэффициенты a, b, c, F_i^j, где:

После вышеуказанных манипуляций получаем:

                                              (7)

                                            (8)

Здесь альфа и бета – это коэффициенты, которые мы найдем из (7) с помощью граничных условий. Подставив (8) в (7), мы получим следующие рекуррентные выражения:                                        

Где:

Можно использовать эти граничные условия при нахождении граничных температур:

Далее получаем значения α1 и β1 по этой формуле:

Разностные шаблоны для разностной схемы (7) имеют вид (рисунок 2):

Рисунок 2. Неявная схема

Получив все коэффициенты альфа и бета, можно вычислить аппроксимированное температурное поле Y_i^j+1 по формуле. Теперь, зная температуру в каждой точке, можно начать выводить обратную задачу.

Для преобразования прямой задачи в сопряженную задачу используется вспомогательная задача. Сначала перепишем уравнение (1) и его граничные условия для n:

                                               (12)

                                                (13)

                                    (14)

Во-вторых, напишем аналогичные уравнения, но для n+1:

                                              (15)

                                                (16)

                                  (17)

В-третьих, отнимем n от n+1, где θ_n+1-θ_n=Δθ, и получим следующее уравнение:

                        (18)

                                          (19)

                                    (20)

Таким образом, вводим вспомогательную функцию ψ (x, t), граничные условия которой равны ψ (x, T) = 0, ψ (0, t) = 0. Умножим скалярно уравнение (18) и вспомогательную функцию:

Разделение последнего уравнения на три части дает нам возможность интегрировать каждую из них по частям:

Рассмотрим взятие интеграла по частям по t первой части:

Используя граничные условия ψ(x,T)=0 и θ(x,0)=0, поэтому =0:

                                                   (22)

Вторая часть уравнения (21) не будет интегрирована и преобразована. Если говорить о третьей части уравнения (21), мы возьмем интеграл по частям через r, он будет выглядеть так:

(23)

Используя граничные условия преобразуем  в следующий вид:

Нам известно, что Δθ (0, t)=0, поэтому .

                (24)

Отсюда получаем сопряженную задачу:

                                                        (1’)

                                                                                       (2’)

                              (3’)

Также как и с прямой задачей построим разностную схему для сопряженной задачи:

,

где, k – константа:

                                          (4')

Уравнение (1’) приводим к трехточечному виду:

                                 (5’)

                                                                   (6' )

Из этого уравнения находим   U_i^j:

где:

Используя граничные условия, находим температуру на границе:

Таким образом находим значения и :

Следом находим функционал:

Итерационная формулаа для :

                                      (10')

Заключение. Согласно математической модели была сделана компьютерная модель для получения результатов. Объединив все полученные теплоемкости угля в графике, можно увидеть, что она уменьшается с 0,7 до 0,5. Конечный результат равен .

Рисунок 3. Изменение теплоемкости угля в прямоугольной области

Была найдена удельная теплоемкость. Чтобы найти просто теплоемкость, используется формула:

Учитывая что плотность угля равна  ,

Список литературы:

1. Агроскин А.А. Тепловые и электрические свойства углей. Металлургиздат, 1959.
2. Барский Ю.П. Метод и прибор для одновременного измерения теплофизических коэффициентов и тепловых эффектов фазовых превращений в широком температурном интервале. Труды НИИ Стройкерамики, 1962, вып. 20, с. 118-139.
3. Гладков Л.И., Лебедев А.Н. Теплоемкость твердого топлива и угольной пыли. Изд. ВТИ, 1948, №8, с. 18-20.
4. Померанцев В.В., Термические константы твердого топлива. Сб. "Исследование процессов горения натурального топлива" Энергоиздат, 1948, с. 97.