РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ ПО МЕТОДУ БУБНОВА-ГАЛЁРКИНА

Метод Бубнова-Галеркина широко применяется для решения краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. [3]

Определим численные значения прогибов и моментов пластинки. Зададимся необходимыми параметрами:

• a=1 м, b=1 м;
• модуль упругости E = 210ГПа;
• коэффициент Пуассона µ = 0,3;
• толщина пластинки H = 10мм.
• равномерно распределенная, интенсивностью 1кПа.

Максимальный прогиб наблюдается при x=0.5625 м и y=b=1 м и равен:

                              (1)

Зависимости распределения кривизн пластинки будут иметь вид:

          (2)

Найдем значения моментов в точке максимального прогиба:

       (3)

(4)

Цилиндрическая жесткость пластинки:

                               (5)

Найдем максимальные напряжения в пластине по формуле (6)

                            (6)

Рисунок 1. Сечения для построения эпюр

Значения вертикальных перемещений  пластины, изгибающих  и крутящих моментов сведены в таблицы.

Для анализа полученных результатов наложим эпюры, полученные по методу Бубнова - Галеркина (черный цвет), и эпюры, полученные по методу конечных элементов в программном комплексе ЛИРА-САПР (красный цвет).

Таблица 1.

Вертикальное перемещение пластины Z в сечениях 1-1 и 2-2

Рисунок 2. Эпюра вертикальных перемещений пластины Z в сечении 1-1, мм (красный цвет - значения по МКЭ, черный цвет - значение по методу Бубнова – Галеркина)

Рисунок 3. Эпюра вертикальных перемещений пластины Z в сечении 2-2,мм (красный цвет - значения по МКЭ, черный цвет - значение по методу Бубнова – Галеркина)

Таблица 2.

Изгибающий момент пластины Мх в сечениях 1-1 и 2-2

Для анализа полученных результатов наложим эпюры, полученные по методу Бубнова - Галеркина (черный цвет), и эпюры, полученные по методу конечных элементов в программном комплексе ЛИРА-САПР (красный цвет). [2]

Рисунок 4. Эпюра изгибающего момента пластины Mх в сечении 1-1, кНм (красный цвет - значения по МКЭ, черный цвет - значение по методу Бубнова – Галеркина)

Рисунок 5. Эпюра изгибающего момента пластины Mх в сечении 2-2,кНм (красный цвет - значения по МКЭ, черный цвет - значение по методу Бубнова – Галеркина)

При использовании тригонометрической функция по оси y, была получена более точная аппроксимирующая функция прогиба пластинки. Так как действительные значения моментов в точке максимального значения прогиба равны нулю, то можно сказать, что с помощью этой функции при сравнении результатов было достигнуто расхождение моментов близкое к нулю. Основным фактором, влияющим на отклонения результатов решения вариационными методами от результата МКЭ, является неточное нахождение функции прогиба пластинки [1].

Список литературы:

1. Душко О.В., Родин С.И. Поиск оптимального решения методом генетических алгоритмов для инженерных задач / III международная научнотехническая конференция "Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций", Волгоград, 27-29 марта 2003 г. С. 81-83.
2. Рекунов, С.С. Формирование матриц откликов конечных элементов с учетом упругого основания / Интернет-журнал Науковедение. - 2014. - № 5 (24). - C. С. 1-11. - URL: naukovedenie.ru.
3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Москва: Физматгиз, 1963. 636 с.